Anula: Utworzono nową stronę "NOTOC ==Pochodna funkcji odwrotnej== Niech będzie dana w przedziale $[a,b]\;$ funkcja różniczkowalna i różnowartościowa $y=f(x)\;$ . Wiad..."

2015-05-22T12:06:00Z

Utworzono nową stronę "__NOTOC__ ==Pochodna funkcji odwrotnej== Niech będzie dana w przedziale <math>[a,b]\;</math> funkcja różniczkowalna i różnowartościowa <math>y=f(x)\;</math>. Wiad..."

Nowa strona

__NOTOC__

==Pochodna funkcji odwrotnej==
Niech będzie dana w przedziale <math>[a,b]\;</math> funkcja różniczkowalna i różnowartościowa <math>y=f(x)\;</math>. Wiadomo, że istnieje wówczas funkcja odwrotna <math>f^{-1}\;</math> (którą oznaczymy tu <math>g\;</math> : <math>x=g(y)\;</math> ), ciągła w przedziale <math>[f(a), f(b)]\;</math> (lub <math>[f(b), f(a)]\;</math> — zależnie od tego, czy <math>f\;</math> jest rosnąca czy malejąca). Pokażemy, że w tym przedziale funkcja <math>g\;</math> też jest różniczkowalna, a przy okazji wyprowadzimy wzór na pochodną funkcji odwrotnej. Mianowicie mamy
===Twierdzenie===
Jeśli <math>f(x)=y\;</math> tzn. <math>x=g(y)\;</math>, to
<equation id="eq:1">
<math>
g'(y)\equiv \frac{d g(y)}{d y} = \frac{1}{f'(x)} =\frac{1}{\frac{d f(x)}{d x}}.
\;</math>
</equation>
przy założeniu że <math>f'(x)\ne 0\;</math>.
====Dowód====
Przy zadanym <math>x\;</math> weźmy <math>k= f(x+h)-f(x)\;</math>. Mamy więc <math>f(x+h)=y+k\;</math>, tzn. <math>x+h=g(y+k)\;</math>, skąd <math>h=g(y+k)-g(y)\;</math>. Możemy więc traktować <math>h\;</math> jako funkcję <math>k\;</math>. Ze względu na ciągłość funkcji <math>g\;</math>, mamy <math>\lim_{h \to 0} h(k)=0\;</math>, a ponadto dla <math>k\ne 0\;</math> mamy <math>h\ne 0\;</math>, ponieważ funkcja <math>g\;</math> jest różnowartościowa. Mamy więc:
<center><math>
g'(y)=\lim_{k\to 0}\frac{g(y+k)-g(y)}{k}
=\lim_{h \to 0}\frac{h}{f(x+h)-f(x)}
=\frac{1}{f'(x)}.
\;</math></center>
Przy drugiej równości powyżej korzystaliśmy z faktu, iż dla funkcji ciągłych <math>F(x)\;</math>, <math>G(y)\;</math> mamy: Jeśli <math>y_0 = F(x_0)\;</math>, to <math>\lim_{x\to x_0} G(F(x)) = \displaystyle\mathop{\lim}_{y \to y_0} G(y)\;</math>.

'''CBDO'''

====Uwaga====
Twierdzenie powyższe ma ilustrację/interpretację geometryczną. Rozpatrzmy krzywą daną równaniem <math>y=f(x)\;</math>. Poprowadźmy w jakimś punkcie <math>(x_0,y_0\;</math> (tu <math>y_0=f(x_0)\;</math>) styczną do tej krzywej i znaczmy przez <math>\alpha\;</math> kąt utworzony przez styczną z osią <math>OX\;</math>, a przez <math>\beta;</math> — kąt utworzony przez styczną z osią <math>OY\;</math>. Oczywiście <math>\alpha=\frac{\pi}{2}-\beta\;</math>. Wówczas <math>\tg\; \beta = \ctg\; \alpha\;</math> czyli <math>\tg\;\beta=\frac{1}{\tg\;\alpha}\;</math> — zgodnie z wzorem <xr id="eq:1">(%i)</xr>. Za pomocą powyższego twierdzenia policzymy pochodne kolejnych funkcji elementarnych.

===Twierdzenie===
<math>(e^x)'=e^x\;</math> i, ogólniej, <math>(a^x)'= a^x \ln a\;</math>.
====Dowód====
Weźmy <math>y=f(x)=e^x\;</math> ; wtedy <math>x=f^{-1}(y)\equiv g(y)=\ln y\;</math>. Mamy: <math>g'(y)=\frac{1}{y}=\frac{1}{e^x}=\frac{1}{f'(x)}\;</math>, a ostatnia równość to właśnie <math>f'(x)=(e^x)' =e^x\;</math>.

W ogólniejszym przypadku <math>(a^x)'\;</math>, bierzemy <math>y=f(x)=a^x\;</math>, a dla funkcji odwrotnej <math>x=g(y)=\log_a y\;</math>. Pamiętamy, że <math>g'(y)=\frac{1}{y\ln a}=\frac{1}{f'(x)}\Longrightarrow f'(x)=a^x\ln a\;</math>.

'''CBDO'''
===Twierdzenie===
#<math>(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\;</math>
#<math>(\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\;</math>.
====Dowód====
#Weźmy <math>y=f(x)=\arcsin x\;</math> i wtedy <math>x=g(y)=\sin\; y\;</math>. Mamy: <math>g'(y)=\cos\; y =\sqrt{1-\sin\;^2 y}=\sqrt{1-x^2}=\frac{1}{f'(x)}\;</math>, (znak pierwiastka to plus, bo <math>x\in[-\frac{\pi}{2},+\frac{\pi}{2}]\;</math> ), a ostatnia równość to <math>f'(x)=(\arcsin x)'= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\;</math>.
#Rozważania są analogiczne: <math>y=f(x)=\arccos x\;</math>, <math>x=g(y)= \cos\; y\;</math> ; jedyna różnica jest w znaku, bo <math>g'(y)=-\sin\; y\;</math> i dalej jak w a), z wynikiem końcowym <math>(\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\;</math>.

'''CBDO'''
===Twierdzenie===
<math>(arctg x)' = \frac{1}{1+x^2}\;</math>.
====Dowód====
Dla <math>y=f(x)=arctg x\;</math> jest <math>x=g(y)=\tg\; y\;</math>, <math>g'(y)=\frac{1}{\cos\;^2 y}\;</math> ; stąd <math>f'(x)=\cos\;^2 y=\frac{1}{1+\tg\;^2 y}=\frac{1}{1+(\tg\;(arctg(x))^2}= \frac{1}{1+x^2}\;</math>.

==Ekstrema funkcji. Twierdzenie Rolle'a==
===Maksimum i minimum===
Niech funkcja <math>f\;</math> będzie określona w otoczeniu punktu <math>a\;</math> (tzn. w jakimś przedziale otwartym, zawierającym <math>a\;</math> ). Jeśli istnieje takie <math>\delta>0\;</math>, że
<equation id="eq:2">
<math>
\forall_{h: |h|<\delta}: f(a+h)\leq f(a),
\;</math>
</equation>
to mówimy, że funkcja <math>f(x)\;</math> ma ''maksimum'' w punkcie <math>a\;</math>. Jeśli zaś przy analogicznych założeniach mamy nierówność:
<equation id="eq:3">
<math>
f(a+h)\geq f(a),
\;</math>
</equation>
to mówimy, że funkcja <math>f(x)\;</math> ma ''minimum'' w punkcie <math>a\;</math>.

Innymi słowy, w punkcie <math>a\;</math> występuje maksimum (minimum), jeśli istnieje takie otoczenie <math>U\;</math> punktu <math>a\;</math>, że <math>f(a)\;</math> jest największą (najmniejszą) liczbą w zbiorze wartości, jakie funkcja <math>f\;</math> przyjmuje na <math>U\;</math>.

Jeśli we wzorach <xr id="eq:2">(%i)</xr> i <xr id="eq:3">(%i)</xr> zastąpić znaki <math>\geq\;</math> (<math>\leq\;</math> ) przez <math>>\;</math> (<math><\;</math> ), to mamy do czynienia z maksimum (minimum) ''właściwym''.

====Przykłady====
#Funkcja <math>x^2\;</math> posiada minimum w punkcie <math>x=0\;</math> ;
#funkcja <math>\cos\; x\;</math> posiada maksima w punktach <math>2 k \pi\;</math>, <math>k\in \mathbb Z \; \;</math> oraz minima w punktach <math>(2k+1)\pi\;</math>, <math>k\in \mathbb Z \; \;</math>.
#funkcja <math>|x|\;</math> posiada minimum w <math>x=0\;</math>.

===Esktrema===

Maksima i minima obejmujemy wspólną nazwą ''ekstremów'' funkcji <math>f\;</math>. Z pojęciem ekstremum ściśle jest związane (ale różne) pojęcie ''kresów wartości funkcji na zbiorze''. Ekstrema są pojęciami ''lokalnymi'': Aby stwierdzić, czy funkcja posiada ekstremum w danym punkcie <math>a\;</math>, wystarczy znać wartości funkcji ''w dowolnie małym otoczeniu'' punktu <math>a\;</math>. Natomiast wyznaczenie kresów zbioru wartości funkcji na zbiorze <math>X\;</math>
wymaga znajomości funkcji na ''całym'' <math>X\;</math>.

Z definicji maksimum wynika natychmiast

===Twierdzenie===
Jeśli funkcja <math>f\;</math> określona w przedziale <math>[a,b]\;</math> osiąga kres górny w punkcie <math>c\;</math> należącym do wnętrza tego przedziału (tzn. <math>a<c<b\;</math> ), to funkcja posiada maksimum w <math>c\;</math>. (analogicznie dla kresu dolnego i minimum).

'''CBDO'''

===Kresy===

Jeśli okaże się, że kres górny funkcji jest osiągany w jednym z końców przedziału <math>[a,b]\;</math> (np. w <math>a\;</math> ), to ''nie mówimy'', iż w tym punkcie funkcja posiada maksimum, ponieważ funkcja nie jest określona w otoczeniu <math>a\;</math>. Np. funkcja <math>y=x\;</math> na zbiorze <math>X=[0,1]\;</math> posiada kres górny równy 1; nie nazywamy go jednak maksimum.

===Twierdzenie===
Jeśli funkcja <math>f\;</math> jest różniczkowalna w punkcie <math>c\;</math> i posiada w tym punkcie ekstremum, to <math>f'(c)=0\;</math>.
====Dowód====
Załóżmy, że <math>f\;</math> posiada w punkcie <math>c\;</math> maksimum (jeśli minimum, to rozumowanie jest analogiczne). Weźmy więc takie <math>\delta>0\;</math>, aby dla dowolnego <math>h\;</math> takiego, że<math>|h|<\delta\;</math>, zachodziła nierówność <math>f(c+h)-f(c)\leq 0\;</math>. Dzieląc przez <math>h\;</math>, otrzymujemy
<center><math>\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\leq 0\;\;\;</math> dla <math>h>0,
\;\;\;\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\geq 0\;\;\;</math> dla <math>\;\;\;h<0.
\;</math></center>
Ponieważ z założenia istnieje pochodna <math>f'(c)\;</math>, to
<center><math>
f'_+(c)=f'_-(c)=f'(c).
\;</math></center>
Z poprzednich nierówności wynika jednak, że <math>f'_+(c)\leq 0\leq f'_-(c)\;</math>. Musi więc być
<center><math>
f'_+(c)=0=f'_-(c),\;\;\mbox{co znaczy, ze}\;f'(c)=0.
\;</math></center>

'''CBDO'''
====Uwaga====
Twierdzenie odwrotne ''nie zachodzi'': Równość <math>f'(c)=0\;</math> może być spełniona, mimo iż funkcja <math>f\;</math> nie posiada ekstremum w <math>c\;</math>. Jest tak np. dla funkcji <math>f(x)=x^3\;</math> w punkcie <math>x=0\;</math>.

===Punkt krytyczny===
Jeśli funkcja jest różniczkowalna w <math>x=a\;</math> i <math>f'(a)=0\;</math>, to punkt <math>x=a\;</math> nazywamy ''punktem krytycznym'' funkcji <math>f\;</math>.
====Uwaga====
Istnienie ekstremum funkcji różniczkowalnej w punkcie <math>c\;</math> oznacza, że styczna do krzywej <math>y=f(x)\;</math> w punkcie <math>(c,f(c)\;</math> jest równoległa do osi <math>OX\;</math> (z możliwością, że się z tą osią pokrywa).

===Twierdzenie (Rolle'a)===
Niech funkcja <math>f\;</math> będzie ciągła w przedziale domkniętym <math>[a,b]\;</math> i różniczkowalna wewnątrz tego przedziału. Jeśli <math>f(a)=f(b)\;</math>, to istnieje takie <math>c\;</math>, że <math>a<c<b\;</math> oraz <math>f'(c)=0\;</math>.
[[Image:Tw_Rolle%27a.png|right|thumb|Jeżeli funkcja jest ciągła na przedziale domkniętym [a,b] i f(a)=f(b) to istnieje taki punkt '''c''', że <math>f'(c)=0</math> dla <math> c \in ]a,b[</math>]]
====Dowód====
Jeśli funkcja <math>f\;</math> jest stała, to <math>\forall_{x\in[a,b]} f'(x)=0\;</math>. Można wtedy wziąć dowolny <math>x\in]a,b[\;</math> i teza tw. Rolle'a będzie spełniona.

Załóżmy więc, że funkcja <math>f\;</math> nie jest stała; np. niech przyjmuje wartości większe od <math>f(a)\;</math>. Oznaczając przez <math>M\;</math> kres górny zbioru wartości funkcji na przedziale <math>[a,b]\;</math>, mamy: <math>M>f(a)\;</math>. Zatem, z tw. Weierstrassa, istnieje takie <math>c\in[a,b]\;</math>, że <math>f(c)=M\;</math>. Przy tym <math>a\ne c\ne b\;</math>, ponieważ z założenia <math>f(a)=f(b)\;</math> ; zatem <math>a<c<b\;</math>. To znaczy, że funkcja <math>f\;</math> osiąga kres górny w punkcjie <math>c\;</math> położonym wewnątrz przedziału <math>[a,b]\;</math>. Zgodnie z twierdzeniem niedawno udowodnionym funkcja <math>f\;</math> posiada w punkcie <math>c\;</math> ''maksimum'', co z kolei implikuje (pamiętając o różniczkowalności <math>f\;</math> wewnątrz przedziału), że <math>f'(c)=0\;</math>.

'''CBDO'''
====Uwaga====
Twierdzenie Rolle'a można sformułować w następujący sposób:

Jeśli <math>f(x)=f(x+h)\;</math>, to istnieje takie <math>\theta: 0<\theta<1\;</math>, że
<equation id="eq:4">
<math>
f'(x+\theta h)=0.
</math>
</equation>
przy tych samych założeniach, tzn. funkcja <math>f\;</math> ma być różniczkowalna wewnątrz przedziału <math>[x,x+h]\;</math> (lub <math>[x+h,x]\;</math>, jeśli <math>h<0\;</math> ; nie zakładamy tu, że <math>h>0\;</math> lecz jedynie że <math>h\ne 0\;</math> ) i ciągła w <math>x\;</math> oraz <math>x+h\;</math>.

==Twierdzenie Lagrange'a i Cauchy'ego==
===Twierdzenie (Lagrange'a)===
Załóżmy (podobnie jak w tw. Rolle'a), że funkcja <math>f\;</math> jest ciągła w przedziale <math>[a,b]\;</math> i różniczkowalna wewnątrz tego przedziału. Zachodzi wówczas wzór
<equation id="eq:5">
<math>
\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(a+\theta h),
\;</math>
</equation>
[[Image:Tw_Lagrange'a.png|right|thumb|'''Twierdzenie Lagrange'a'''<math>f'(a+\theta h)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>]]
gdzie <math>h=b-a\;</math> oraz <math>\theta\in]0,1[\;</math>.
====Uwaga====
Wzór ten nazywany jest też wzorem Lagrange'a na wartość średnią, lub twierdzeniem o przyrostach skończonych. Widać, że szczególnym przypadkiem (gdy <math>f(a)=f(b)\;</math> ) jest tw. Rolle'a. Okazuje się, że dowód tw. Lagrange'a można sprowadzić do tw. Rolle'a.
====Dowód====
Weźmy mianowicie funkcję
<math>
g(x)=f(a)-f(x)+(x-a)\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
\;</math>
i ponadto <math>g(x)\;</math> jest ciągła na <math>[a,b]\;</math> i różniczkowalna w <math>]a,b[\;</math> ; jej pochodna jest
<center><math>
g'(x)=-f'(x)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
\;</math></center>
Ponadto <math>g(b)=0=g(a)\;</math>, zatem <math>g(x)\;</math> spełnia założenia tw. Rolle'a. Skoro tak, to pochodna <math>g'(x)\;</math> znika w pewnym punkcie między <math>a\;</math> i <math>b\;</math>. Możemy to wypowiedzieć
tak, że istnieje takie <math>\theta: 0<\theta<1\;</math>, że
<center><math>
g'(a+\theta h)=0\;\;\;{\rm tzn.}\;\;\;0=-f'(a+\theta h)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a},
\;</math></center>
czyli zachodzi wzór z tezy tw. Lagrange'a.

'''CBDO'''
====Uwaga====
W sposób podobny, jak wzór <xr id="eq:4">(%i)</xr> przy tw. Rolle'a, można tezę tw. Lagrange'a sformułować w następujący sposób:

Dla funkcji <math>f\;</math> różniczkowalnej wewnątrz przedziału <math>[x,x+h]\;</math> i ciągłej na <math>[x,x+h]\;</math> (to dla <math>h>0\;</math> ; dla <math>h<0\;</math> jest to przedział <math>[x+h,x]\;</math> ) istnieje takie <math>\theta:
0<\theta<1\;</math>, że
<equation id="eq:6">
<math>
f(x+h)=f(x)+f'(x+\theta h) \cdot h.
\;</math>
</equation>

====Wnioski wypływające z twierdzenia Lagrange'a====
Z tw. Lagrange'a wypływają dwa wnioski, bardzo ważne dla rachunku całkowego:
=====Twierdzenie=====
Jeśli <math>\forall_{x\in ]a,b[}\;</math> zachodzi <math>f'(x)=0\;</math>, to funkcja w tym przedziale jest stała.
======Dowód======
Na mocy udowodnionego dopiero co wzoru <xr id="eq:6">(%i)</xr>, mamy bowiem dla każdego <math>x\;</math> i <math>h\;</math>: <math>f(x)=f(x+h)\;</math>, co oznacza, że <math>f(x)=\;</math> const.

'''CBDO'''
=====Twierdzenie=====
Jeśli <math>\forall_{x\in ]a,b[}\;</math> zachodzi <math>f'(x)=g'(x)\;</math>, to <math>f(x)=g(x)+\;</math> const.
======Dowód======
Mamy: <math>(f(x)-g(x))'= f'(x)-g'(x)=0\;</math>, czyli funkcja <math>f(x)-g(x)\;</math> ma pochodną równą zeru. Na mocy dopiero co udowodnionego twierdzenia znaczy to, że <math>f(x)-g(x)\;</math> jest stała, tzn. <math>f(x)=g(x)+\;</math> const.

'''CBDO'''
===Twierdzenie (Cauchy'ego; (czasem z przydomkiem: O wartości średniej))===
Jeśli funkcje <math>f\;</math> i <math>g\;</math> są ciągłe na przedziale <math>[a,b]\;</math> i różniczkowalne wewnątrz oraz jeśli <math>\forall_{x\in ]a,b[}\;</math> jest <math>g'(x)\ne 0\;</math>, to istnieje takie <math>\theta\in]0,1[\;</math>, że
<equation id="eq:7">
<math>
\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(a+\theta h)}{g'(a+\theta h)},
\;</math>
</equation>
gdzie <math>h=b-a\;</math>.

Przed dowodem
====Uwaga====
Twierdzenie Lagrange'a otrzymuje się z tw. Cauchy'ego, jeśli podstawić <math>g(x)=x\;</math>. Okazuje się, że także tw. Cauchy'ego wynika z tw. Lagrange'a, ale tu trzeba zaargumentować następująco:
====Dowód====
Weżmy funkcję
<center><math>
G(x)= f(a)-f(x) + (g(x)-g(a)) \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}
\;</math></center>
(mianownik <math>g(b)-g(a)\;</math> jest różny od zera ze względu na założenie, że wszędzie w przedziale <math>]a,b[\;</math> mamy <math>g'(x)\ne 0\;</math> i tw. Rolle'a).

Funkcja <math>G(x)\;</math> spełnia założenia tw. Rolle'a: Jest różniczkowalna i ciągła jak trzeba, oraz <math>G(a)=0=G(b)\;</math>. Pochodna funkcji <math>G(x)\;</math> jest
<equation id="eq:8">
<math>
G'(x)=-f'(x) + g'(x) \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)};
\;</math>
</equation>
zatem (z tw. Rolle'a) istnieje takie <math>\theta\in]a,b[\;</math>, że <math>G'(a+\theta h)=0\;</math>. Podstawiając <math>x=a+\theta h\;</math> we wzorze <xr id="eq:8">(%i)</xr>, otrzymujemy <xr id="eq:7">(%i)</xr>.

Analogicznie do sposobu, w jaki tw. Rolle'a i Lagrange'a były wyrażane wzorami <xr id="eq:4">(%i)</xr> i <xr id="eq:6">(%i)</xr>, można tw. Cauchy'ego sformułować tak: Istnieje <math>\theta\in]0,1[\;</math> takie, że
<equation id="eq:9">
<math>
\frac{f(x+h)-f(x)}{g(x+h)-g(x)}=\frac{f'(x+\theta h)}{g'(x+\theta h)}.
\;</math>
</equation>
=====Uwaga=====
W powyższym wzorze <math>\theta\;</math> jest TO SAMO w liczniku i mianowniku.

==Różniczkowanie funkcji złożonych==

Niech <math>y=f(x)\;</math>, <math>z=g(y)\;</math>, przy tym funkcja <math>g\;</math> jest określona na zbiorze wartości funkcji <math>f\;</math> ; ponadto niech <math>f\;</math> i <math>g\;</math> będą różniczkowalne, a pochodna <math>g'\;</math> niech będzie ciągła. Następujący wzór wyraża pochodną funkcji złożonej <math>g(f(x))\;</math> przez pochodne <math>f'\;</math> i <math>g'\;</math>.
===Twierdzenie===
<equation id="eq:10">
<math>(g(f(x)))' = f'(x) \cdot g'(f(x)), \;\;\;</math> tzn. <math>\frac{d (g(f(x))}{d x} = \frac{d f(x)}{d x} \cdot \left[\frac{d g(y)}{d y}\right]_{y=f(x)}.
\;</math>
</equation>
====Dowód====
Przy danych <math>x\;</math> i <math>h\ne 0\;</math> weźmy <math>k=f(x+h)-f(x)\;</math>, tzn. <math>f(x+h)=y+k\;</math>. Zastosujmy teraz wzór Lagrange'a na wartość średnią w wersji <xr id="eq:6">(%i)</xr> do funkcji <math>g\;</math> ; otrzymamy <center><math> \frac{g(f(x+h)) - g(f(x))}{h}=\frac{g(y+k)-g(y)}{h}=g'(y+\theta k)\cdot \frac{k}{h}=g'(y+\theta k) \cdot \frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
</math></center>
dla pewnego <math>\theta \in ]0,1[\;</math> (pamiętajmy, że <math>\theta\;</math> jest pewną funkcją <math>h\;</math> ). Co stanie się z powyższym wyrażeniem, gdy weźmiemy jego granicę przy <math>h\to 0\;</math>? Otóż ze względu na ciągłość funkcji <math>g\;</math>, mamy <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{h\to 0} k =0\;</math>, a ponieważ <math>0<\theta<1\;</math>, to również <math> \displaystyle\mathop{\lim}_{h\to 0} \theta k =0\;</math>. Skoro tak, to <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{h\to 0} (y+\theta k)=y\;</math>, co — w połączeniu z ciągłością funkcji <math>g'\;</math> — daje
<center><math>
\displaystyle\mathop{\lim}_{h\to 0} g'(y+\theta k)= g'(y) =g'(f(x)).
\;</math></center>
Mamy więc:
<center><math>
\frac{d g(f(x))}{d x}=\displaystyle\mathop{\lim}_{h\to 0} \frac{g(f(x+h))-g(f(x))}{h} =\displaystyle\mathop{\lim}_{h\to 0} g'(y+\theta k) \displaystyle\mathop{\lim}_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=g'(f(x))\cdot f'(x).
\;</math></center>

====Przykłady====
<ol>
<li><math>(\sin\;^2 x)'\;</math> na dwa sposoby:
#<math>(\sin^2(x))'=(\sin(x) \sin(x))'=\sin(x) \cos(x) + \cos(x) \sin(x) = 2\sin(x) \cos(x) \;</math>
#(różniczkowanie funkcji złożonej) <math>(\sin^2(x))' = (\sin(x))' 2(\sin(x)) = 2\sin(x) \cos(x)\;</math></li>
<li><math>(e^{\sin(x)})'=(\sin(x))'e^{\sin(x)} = \cos(x) e^{\sin(x)}\;</math></li>
<li>Udowodnimy teraz anonsowany wcześniej wzór
<center><math>
(x^a)'=a x^{a-1}\;\;\;{\rm dla}\;\;\; a\in\mathbb R \; .
\;</math></center>
'''Dow.''' Napiszmy <math>x^a\;</math> w postaci: <math>x^a=e^{a\ln x}\;</math> i ze wzoru na pochodną funkcji złożonej
<center><math>
(x^a)'=(e^{a\ln x})' =\frac{d e^{a\ln x}}{d x}=\frac{d a \ln x}{d x} \cdot \left. \frac{d e^y}{d y}\right|_{y=a\ln x}=a\frac{1}{x} e^y|_{y=a\ln x}= a x^{-1}x^a
=a x^{a-1}
</math></center>
'''CBDO'''</li></ol>

Niejednokrotnie trzeba kilkakrotnie zastosować twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej. Mamy np. pochodną funkcji trzykrotnie złożonej:
<center><math>
h(g(f(x)))' = f'(x) \cdot g'(f(x)) \cdot h'(g(f(x))
\;</math></center>
=====Sztuczka mnemoteczniczna=====
Wzór powyższy można zapamiętać np. w następujący sposób:

Oznaczmy: <math>y=f(x)\;</math>, <math>z=g(y)\;</math>, <math>w=h(z)\;</math>, oraz <math>W(x)=h(g(f(x)))\;</math>. Można wtedy napisać <center><math> \frac{d W}{d x}= \frac{d w}{d z}\cdot \frac{d z}{d y }\cdot\frac{d y }{d x}, \;</math></center> pamiętając,w jakich punktach są liczone wszystkie pochodne.

W powyższym wzorze pochodne zachowują się jak ''ułamki''. Ale UWAGA! Jest to zbieżność przypadkowa; inne pochodne (zwł. cząstkowe) już siętak nie zachowują!

====Uwaga — wzór na pochodną funkcji odwrotnej====
ze wzoru na pochodną funkcji złożonej: <math>f^{-1}(f(x))=x,\;</math> biorąc pochodną: <math>f'(x)(f^{-1})' (f(x))'=1\;</math> i <math>(f^{-1})'(f(x))=\frac{1}{f'(x)}</math> lub <math>(f^{-1})'(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}\;</math>

==Związek między znakiem pochodnej a monotonicznością funkcji==

Z tw. Lagrange'a wynika następujący związek pomiędzy znakiem pochodnej a tym, czy funkcja rośnie, czy maleje.

===Twierdzenie *===
Jeśli <math>\forall_{x\in [a,b]}\;</math> zachodzi nierówność <math>f'(x)>0\;</math>, to funkcja <math>f\;</math> jest w tym przedziale ściśle rosnąca. Jeśli mamy <math>f'(x)<0\;</math>, to funkcja <math>f\;</math> jest ściśle malejąca.
====Dowód====
Ze wzoru <xr id="eq:6">(%i)</xr> mamy, dla <math>h>0\;</math> : <math>f(x+h)>f(x)\;</math> jeśli w przedziale <math>[x,x+h]\;</math> pochodna jest stale dodatnia, bądź <math>f(x+h)<f(x)\;</math>, jeśli pochodna jest stale ujemna. Czyli funkcja jest ściśle rosnąca w pierwszym przypadku, a ściśle malejąca w drugim.

'''CBDO'''
====Uwaga====
Jeśli założyć, że zachodzi nierówność nieostra <math>f'(x)\geq 0\;</math> (<math>f'(x)\leq 0\;</math> ), to w tezie mamy, że funkcja jest rosnąca (malejąca).

Zachodzi również twierdzenie odwrotne do powyższego:
===Twierdzenie===
Jeśli funkcja <math>f\;</math> jest różniczkowalna w punkcie <math>c\;</math> i rośnie (maleje) w jakimś przedziale <math>]a,b[\;</math> zawierającym ten punkt, to <math>f'(c)\geq 0\;</math> (odpowiednio <math>f'(c)\leq 0\;</math> ).
====Dowód====
Jeśli <math>f\;</math> rośnie, to dla <math>h>0\;</math> mamy
<center><math>
f(c+h)-f(c)\geq 0 \Longrightarrow \frac{f(c+h)-f(c)}{h}\geq 0
\;</math></center>
i przechodząc do granicy <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{h\to 0}\;</math> otrzymujemy <math>f'(c)\geq 0\;</math>.

Jeśli funkcja <math>f\;</math> maleje, to rozumowanie jest analogiczne.

'''CBDO'''

Z tw. *(https://brain.fuw.edu.pl/edu/Matematyka:Pochodne1#Twierdzenie_.2A) wynika
===Twierdzenie (wynikające z tw. *)===
Jeśli <math>f'(c)>0\;</math> i pochodna <math>f'(x)\;</math> jest ciągła w punkcie <math>c\;</math>, to funkcja <math>f\;</math> jest ściśle rosnąca w pewnym otoczeniu punktu <math>c\;</math>.

Analogicznie: Jeśli <math>f'(c)<0\;</math> i pochodna <math>f'(x)\;</math> jest ciągła w punkcie <math>c\;</math>,to funkcja <math>f\;</math> jest ściśle malejąca w pewnym otoczeniu punktu <math>c\;</math>.
====Dowód====
Ponieważ funkcja <math>f'(x)\;</math> jest ciągła w <math>c\;</math>, to nierówność <math>f'(c)>0\;</math> mówi, że w pewnym otoczeniu punktu <math>c\;</math> funkcja <math>f'(x)\;</math> jest dodatnia: <math>\exists_{\delta>0}: \forall_{h<\delta}: f'(c+h)>0\;</math>. Znaczy to, że pochodna <math>f'\;</math> jest dodatnia <math>\forall_x: c-h<x<c+h\;</math>. Na mocy https://brain.fuw.edu.pl/edu/Matematyka:Pochodne1#Twierdzenie_.2A, funkcja <math>f\;</math> jest rosnąca w tym przedziale.

'''CBDO'''

====Uwaga====
Powyższe twierdzenie można przeformułować w następujący sposób:

#Jeśli <math>f'(c)\ne 0\;</math>, to (przy założeniu ciągłości pochodnej) funkcja <math>f\;</math> jest różnowartościowa w pewnym otoczeniu punktu <math>c\;</math>, tzn. dla <math>]c-\delta, c+\delta[\;</math> (<math>\delta > 0\;</math> ). Skoro tak, to funkcja <math>f\;</math> posiada w tym przedziale funkcję odwrotną <math>x=g(y)\;</math>, czyli równanie: <math>y=f(x)\;</math> posiada w tym przedziale dokładnie jedno rozwiązanie..
#Jak wiemy, pochodna tejże funkcji odwrotnej <math>g'(y)\;</math> jest odwrotnością pochodnej funkcji <math>f'(x)\;</math>.
# Powyższe fakty: Przy założeniu <math>f'(c)\ne 0\;</math> istnieje w otoczeniu punktu <math>f(c) \;</math> funkcja odwrotna, lub że równanie: <math>y=f(x)\;</math> ma dokładnie jedno rozwiązanie w otoczeniu punktu <math>c\;</math> — przenoszą się na wyższe wymiary, tzn. zachodzą dla odwzorowań <math>\mathbb R \; ^n \to \mathbb R \; ^n\;</math>. Oczywiście konieczne jest stosowne uogólnienie pojęć. Będzie o tym mowa w semestrze II.

==Wyrażenia nieoznaczone i reguła de l'Hospitala==

Często zdarza się konieczność obliczania granic postaci następującej:
<math>\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}, \;\;\;\; {\rm gdzie}\;\;\; f(a)=0=g(a).\;</math> Wyrażenia tego rodzaju noszą nazwę ''wyrażeń nieoznaczonych typu'' <math>\frac{0}{0}\;</math>.
===Twierdzenie===
Jeśli funkcje <math>f\;</math> i <math>g\;</math> są ciągłe w przedziale domkniętym <math>[a,b]\;</math> i są różniczkowalne wewnątrz tego przedziału i jeśli <math>f(a)=0=g(a)\;</math>, to
<equation id="eq:11">
<math>
\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to a^+} \frac{f(x)}{g(x)} =\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)}
\;</math>
</equation>
przy założeniu, że ta ostatnia granica istnieje.
====Dowód====
Kluczem do dowodu jest [[Matematyka:Pochodne1#Twierdzenie_.28Cauchy.27ego.3B_.28czasem_z_przydomkiem:_O_warto.C5.9Bci_.C5.9Bredniej.29.29|twierdzenie Cauchy'ego o wartości średniej]].

Oznaczmy: <math>x=a+h\;</math>. Należy dowieść, że <math> \lim_{h\to 0^+} \frac{f(a+h)}{g(a+h)} =\lim_{h \to 0^+} \frac{f'(a+h)}{g'(a+h)}.\;</math> Ale: Równości: <math>f(a)=0=g(a)\;</math> i wzór Cauchy'ego <xr id="eq:7">(%i)</xr> dają:
<center><math>
\frac{f(a+h)}{g(a+h)}= \frac{f(a+h)-f(a)}{g(a+h)-g(a)}=\frac{f'(a+\theta h)}{g'(a+\theta h)}
\;</math></center>
dla pewnego <math>\theta\in]0,1[\;</math>.

Oznaczmy <math>F(x)=\frac{f'(x)}{g'(x)}\;</math>. Z założenia <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{h\to 0^+} F(a+h)\;</math> istnieje.

Ponieważ zaś <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{h\to 0^+} x= 0 \;</math>, to też <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{h\to 0^+} x\theta= 0 \;</math> i, co za tym idzie, <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to 0^+} F(a+\theta h)\;</math> też istnieje i jest równe <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to 0^+} F(a+ h)\;</math>; mamy więc
<center><math>
\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to 0^+} \frac{f'(x+\theta h)}{g'(x+\theta h)} = \displaystyle\mathop{\lim}_{x\to 0^+} \frac{f'(x+h)}{g'(x+h)}
\;</math></center>
skąd otrzymujemy wzór (de l'Hospitala).

'''CBDO'''

Analogiczne twierdzenie mamy w przypadku granicy lewostronnej.

===Wzór de l'Hospitala===
W przypadku, gdy pochodne <math>f'\;</math> i <math>g'\;</math> są ciągłe w punkcie <math>a\;</math>, a ponadto <math>g'(a)\ne 0\;</math>, ze wzoru <xr id="eq:10">(%i)</xr> (plus jego odpowiednika dla granicy lewostronnej) natychmiast wynika '' wzór de l'Hospitala'':
<equation id="eq:12">
<math>
\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}
\;</math></equation>
====Uwaga====
Po prawej stronie powyższego wzoru nie ma granicy!

Analogiczne wzory mamy w przypadku granic jednostronnych i pochodnych jednostronnych.
====Przykład====
<center><math>
\begin{matrix}
\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}= \displaystyle\mathop{\lim}_{x\to 0}\frac{\frac{1}{1+x}}{1}=1\\
\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x} = \displaystyle\mathop{\lim}_{x\to 0}\frac{e^x}{1}=1
\end{matrix}
</math></center>
====Uwaga====
Jeśli zdarzy się, że po prawej stronie wyrażenia <xr id="eq:12">(%i)</xr> mamy <math>f'(a)=g'(a)=0\;</math>, to tegoż wzoru ''nie daje'' się stosować. Ale można postępować rekurencyjnie! tzn. badać wyższe pochodne.
===Uwaga===
Powyższe twierdzenia dotyczyły wyrażeń typu <math>\frac{0}{0}\;</math>. Przez sztuczki z zamianą zmiennych i inne, można też liczyć inne wyrażenia nieoznaczone: <math>\frac{\infty}{\infty}\;</math> ; <math>\infty-\infty\;</math> ; <math>1^\infty\;</math> ; <math>0^0\;</math> ; <math>\infty^0\;</math>.

Pochodne 2 - Historia wersji

Anula: Utworzono nową stronę "__NOTOC__ ==Pochodna funkcji odwrotnej== Niech będzie dana w przedziale [a,b]\; funkcja różniczkowalna i różnowartościowa y=f(x)\;. Wiad..."

Anula: Utworzono nową stronę "NOTOC ==Pochodna funkcji odwrotnej== Niech będzie dana w przedziale $[a,b]\;$ funkcja różniczkowalna i różnowartościowa $y=f(x)\;$ . Wiad..."