Jarekz: Utworzono nową stronę "===Przekształcenie Fouriera sygnałów dyskretnych, aliasing=== Przypomnijmy wzór na odwrotną transformację Fouriera..."

2015-05-28T12:43:13Z

Utworzono nową stronę "===Przekształcenie Fouriera sygnałów dyskretnych, aliasing=== Przypomnijmy wzór na odwrotną transformację Fouriera..."

Nowa strona

===Przekształcenie Fouriera sygnałów dyskretnych, aliasing===

Przypomnijmy [[STAT:Przekształcenie Fouriera#label-eq:21|wzór na odwrotną transformację Fouriera]] sygnału ciągłego

<math>
s(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(f)e^{-i 2\pi t f} d f
</math>

Dyskretne wartości tego sygnału, próbkowane w chwilach <math>n \Delta t</math>, możemy odtworzyć
z powyższgo równania dla <math>t = n \Delta t</math>

<equation id="eq:34">
<math>
s(n\Delta t) =\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(f)e^{-i 2\pi n \Delta t f} d f =
</math>
<math>
\sum_{r=-\infty}^\infty \int_\frac{(2r - 1)}{2\Delta t}^\frac{(2r + 1) }{2\Delta t} \hat{s}(f)e^{-i 2\pi n \Delta t f} d f
\;\; \stackrel{f \rightarrow f+\frac{r}{\Delta t}}{=} \;\;
</math>
<math>
\sum_{r=-\infty}^\infty \int_\frac{-1}{2\Delta t}^\frac{1}{2\Delta t} \hat{s}\left(f + \frac{r}{\Delta t}\right)e^{-i 2\pi n \Delta t (f + \frac{r}{\Delta t})} d f
</math>

<math>
= \int_\frac{-1}{2\Delta t}^\frac{1}{2\Delta t} \sum_{r=-\infty}^\infty \hat{s}\left(f + \frac{r}{\Delta t}\right)e^{-i 2\pi n \Delta t f} d f
</math>
</equation>

Szukając wartości sygnału w dyskretnych chwilach czasu, dostaliśmy w
miejsce [[STAT:Przekształcenie Fouriera|odwrotnej transformaty Fouriera]] całkę w ograniczonym zakresie
z funkcji będącej (nieskończoną) sumą powtórzeń [[STAT:Przekształcenie Fouriera|transformaty Fouriera]]
sygnału ciągłego, przesuwanej o wielokrotności odwrotności
<math>\Delta t</math>. Ilustruje to rysunek <xr id="fig:36"> %i</xr>.

[[Plik:klasyczna_rys_5.jpg|thumb|center|400px|<figure id="fig:36"></figure>Próbkowanie (<math>\Delta t = 1</math>) sygnałów o częstościach: (a) 0.27, (b) 1.27 i (c) 0.6.
Widzimy, że sygnał (b) o częstości 1.27 daje w chwilach próbkowania wartości dokładnie takie same,
jak sygnał (a) o częstości 0.27 ''(aliasing)'' .
Sygnał (d) jest sumą (a), (b) i (c).
(e) — dodatnia część modułu [[STAT:Przekształcenie Fouriera|transformaty Fouriera]] sygnału ciągłego (d).
(f) — jak e), ale obliczane dla sygnału dyskretnego (wartości tylko w miejscach oznaczonych kropkami).
Porównując równanie <xr id="eq:35">(%i)</xr> z przejściem od (e) do (f) widać,
że częstość 1.27 zlewa się z częstością 0.27 (<math>r = -1</math>) — wysokość odpowiadającego im piku
wzrasta dwukrotnie w stosunku do mniejszego piku częstości 0.6, który "zawija się" z kolei na 0.4
(w tym przypadku <math>r = 1</math> a "zawija się" dokładnie częstość <math>-0.6</math>)]]

<references/>

{{następny|STAT:Twierdzenie_o_próbkowaniu}}

STAT:Aliasing - Historia wersji

Jarekz: Utworzono nową stronę "===Przekształcenie Fouriera sygnałów dyskretnych, aliasing=== Przypomnijmy wzór na odwrotną transformację Fouriera..."