Anula: Utworzono nową stronę "NOTOC ==Szereg potęgowy== ''Szeregiem potęgowym'' nazywamy szereg $S(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ Wyrażenia bardzo..."

2015-05-22T12:10:40Z

Utworzono nową stronę "__NOTOC__ ==Szereg potęgowy== ''Szeregiem potęgowym'' nazywamy szereg <equation id="eq:1"> <math> S(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n </math></equation> Wyrażenia bardzo..."

Nowa strona

__NOTOC__

==Szereg potęgowy==
''Szeregiem potęgowym'' nazywamy szereg
<equation id="eq:1">
<math>
S(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n
</math></equation>

Wyrażenia bardzo podobne pojawiały się przy omawianiu wzoru Taylora; tyle że tam suma
była '' skończona'' i na końcu figurowała tam reszta. Ale jeśli resztę można uczynić
dowolnie małą, to otrzyma się wyrażenie dokładnie takie, jak <xr id="eq:1">(%i)</xr>.
Żeby to dokładniej zobaczyć, przypomnijmy sobie wzór Taylora:

<equation id="eq:2">
<math>
f(b)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(b-a) + \frac{f''(a)}{2!}(b-a)^2+ \dots +\frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!} (b-a)^{n-1}+ R_n,
</math></equation>

Dla ustalenia uwagi weźmy <math>a=0\;</math> oraz oznaczmy <math>x=b\;</math> Wtedy
widać, że jeśli zachodzi <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} R_n=0\;</math> , to funkcja <math>f(x)\;</math> daje się rozwinąć w szereg potęgowy:
<equation id="eq:3">
<math>
f(x)=f(0) +\frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^2+ \dots
=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{n}(0)}{n!} x^n
</math></equation>
Podamy teraz proste kryterium, kiedy funkcję można rozwinąć w szereg <xr id="eq:3">(%i)</xr>.
===Stwierdzenie===
Załóżmy, że ''wszystkie '' pochodne <math>f^{(n)}\;</math> są ograniczone w przedziale <math>[0,x]\;</math> , tzn. istnieje taka liczba <math>M\;</math> , że nierówność <math>|f^{(n)}(\theta x)|<M\;</math> zachodzi dla każdego <math>n\;</math> i dla każdego <math>\theta\in ]0,1[\;</math>. Wtedy <math>f(x)\;</math> ma rozwinięcie <xr id="eq:3">(%i)</xr> w szereg potęgowy.
====Dowód====
Mamy:
<center><math>
|R_n| = \left| \frac{x^n}{n!}f^{(n)}(\theta x)\right|\leq\left| \frac{x^n}{n!}\right|M,
</math></center>
a ponieważ
<center><math>
\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} \frac{x^n}{n!} =0, \;\;\;\mbox{wiec tez}\;\; \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} R_n=0.
\;</math></center>
'''CBDO'''

==Tw. (bez dowodu) o możliwości różniczkowania wyraz za wyrazem wewnątrz przedziału zbieżności==

Szeregi potęgowe - Historia wersji

Anula: Utworzono nową stronę "__NOTOC__ ==Szereg potęgowy== ''Szeregiem potęgowym'' nazywamy szereg S(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n Wyrażenia bardzo..."

Anula: Utworzono nową stronę "NOTOC ==Szereg potęgowy== ''Szeregiem potęgowym'' nazywamy szereg $S(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ Wyrażenia bardzo..."