TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych/Optymalizacja - Historia wersji

Jginter: /* Optymalizacja wielowymiarowa */

2017-02-16T13:18:02Z

Optymalizacja wielowymiarowa

Tgubiec: /* Zadanie - Data Container */

2015-06-09T14:17:45Z

Zadanie - Data Container

Tgubiec: /* Zadanie - Data Container */

2015-06-09T14:17:07Z

Zadanie - Data Container

Tgubiec: /* Rozwiązanie */

2015-06-09T14:15:03Z

Rozwiązanie

Tgubiec: /* Zadanie - rozkład Cauchy'ego */

2015-06-09T14:13:20Z

Zadanie - rozkład Cauchy'ego

Tgubiec: /* Zadanie - rozklad Cauchy'ego */

2015-06-09T14:12:18Z

Zadanie - rozklad Cauchy'ego

Tgubiec: /* Optymalizacja wielowymiarowa */

2015-06-09T14:11:02Z

Optymalizacja wielowymiarowa

Tgubiec: /* Optymalizacja jednowymiarowa */

2015-06-09T14:05:32Z

Optymalizacja jednowymiarowa

Tgubiec: /* Optymalizacja jednowymiarowa */

2015-06-09T14:02:57Z

Optymalizacja jednowymiarowa

Tgubiec: /* Optymalizacja jednowymiarowa */

2015-06-09T14:01:17Z

Optymalizacja jednowymiarowa

@@ Linia 113: / Linia 113: @@
 #najlepsze dopasowanie metoda golden ration
-print so.fmin(squares,(1,0),args=(kwadratowa,xlist,ylist))
+print so.fmin(squares,(1,0),args=(liniowa,xlist,ylist))
 </source>
 Oczywiście dopasowywanie możemy przeprowadzać nie tylko metodą najmniejszych kwadratów.

@@ Linia 192: / Linia 192: @@
 ===Zadanie - Data Container===
-Napisz klasę funkcja przyjmującą w konstruktorze parametry funkcji i posiadającą reprezentację tekstową. Napisz dowolna funkcję dziedziczącą po klasie funkcja, której metoda call przyjmuje jeden argument i zwraca wartość funkcji dla podanego argumentu i parametrów podanych w konstruktorze.
+Napisz klasę funkcja przyjmującą w konstruktorze parametry funkcji i posiadającą reprezentację tekstową. Napisz dowolną funkcję dziedziczącą po klasie funkcja, której metoda call przyjmuje jeden argument i zwraca wartość funkcji dla podanego argumentu i parametrów podanych w konstruktorze.
 Napisz klasę DataContainer przyjmującą w konstruktorze dwie serie danych empirycznych o  tej samej długości odpowiadające współrzędnym x i y. Obiekt klasy DataContainer powinien być wyposażony w metodę o nazwie fit, która przyjmuje jako  argument obiekt klasy funkcja. Metoda fit powinna zwracać obiekt takiej samej klasy jak otrzymany w argumencie, ale z parametrami, dla których funkcja jest najlepiej (metodą najmniejszych kwadratów) dopasowana do przechowywanych w obiekcie danych.

@@ Linia 192: / Linia 192: @@
 ===Zadanie - Data Container===
-Napisz klasę funkcja przyjmującą w konstruktorze parametry funkcji i posiadającąreprezentacje tekstową. Napisz dowolna funkcję dziedziczącą po klasie funkcja, której metoda call przyjmuje jeden argument i zwraca wartość funkcji dla podanego argumentu i parametrów podanych w konstruktorze.
+Napisz klasę funkcja przyjmującą w konstruktorze parametry funkcji i posiadającą reprezentację tekstową. Napisz dowolna funkcję dziedziczącą po klasie funkcja, której metoda call przyjmuje jeden argument i zwraca wartość funkcji dla podanego argumentu i parametrów podanych w konstruktorze.
-Napisz klasę DataContainer przyjmującą w konstruktorze dwie serie danych empirycznych o  tej samej długości odpowiadające wspólrzędnym x i y. Obiekt klasy DataContainer powinien być wyposażony w metodę o nazwie fit, która przyjmuje jako  argument obiekt klasy funkcja. Metoda fit powinna zwracać obiekt takiej samej klasy jak otrzymany w argumencie ale z parametrami dla których funkcja jest najlepiej (metodą najmniejszych kwadratów) dopasowana do przechowywanych w obiekcie danych.
+Napisz klasę DataContainer przyjmującą w konstruktorze dwie serie danych empirycznych o  tej samej długości odpowiadające współrzędnym x i y. Obiekt klasy DataContainer powinien być wyposażony w metodę o nazwie fit, która przyjmuje jako  argument obiekt klasy funkcja. Metoda fit powinna zwracać obiekt takiej samej klasy jak otrzymany w argumencie, ale z parametrami, dla których funkcja jest najlepiej (metodą najmniejszych kwadratów) dopasowana do przechowywanych w obiekcie danych.
 ===Rozwiązanie===
 <source lang="python">

@@ Linia 134: / Linia 134: @@
-#losujemy 10000 liczb z rozkladu Caychyego o loc=1.23 i scale=2.0
+#losujemy 10000 liczb z rozkladu Cauchyego o loc=1.23 i scale=2.0
 x=2*np.random.standard_cauchy(10000)+1.23
 N=len(x)

@@ Linia 117: / Linia 117: @@
 Oczywiście dopasowywanie możemy przeprowadzać nie tylko metodą najmniejszych kwadratów.
 ===Zadanie - rozkład Cauchy'ego===
-Wylosuj 1000 liczb z rozkładu Cauchy'ego z parametrami loc=1.23 i scale=2.0. Do wylosowanych danych dopasuj rozkład Cauche'ego trzema metodami
+Wylosuj 10000 liczb z rozkładu Cauchy'ego z parametrami loc=1.23 i scale=2.0. Do wylosowanych danych dopasuj rozkład Cauche'ego trzema metodami
 *METODA 1 - stwórz histogram otrzymanych wartości, znormalizuj  go i metodą najmniejszych kwadratów dopasauj gęstość rozkładu do histogramu
 *METODA 2 - dopasuj gęstość rozkładu do wylosowanych danych metodą największej wiarygodności

@@ Linia 94: / Linia 94: @@
 ==Optymalizacja wielowymiarowa==
-Przejście od optymalizacji jedno- do wielowymiarowej fundamentalnie komplikuje problem. Pierwszym problemem jest istnienie tak zwanych punktów siodłowych. Nie istnieją zatem metody które zawsze znajdują szukane minimum, nawet jezeli wiadomo że takie istnieje. Najpopularniejszą metodą jest downhill symplex lub inaczej metoda Neldera-Meada. Z powodu znaczengo stopnia komplikacji nie ędziemy jej samodzielnie implementować, a jedynie poslużymy sie implementacją z biblioteki scipy.optimize. Dziki niej możemy np. dopasowywać funkcję z więcej niż  jednym parametrem do danych eksperymentalnych.
+Przejście od optymalizacji jedno- do wielowymiarowej fundamentalnie komplikuje problem. Pierwszym problemem jest istnienie tak zwanych punktów siodłowych. Nie istnieją zatem metody które zawsze znajdują szukane minimum, nawet jeżeli wiadomo że takie istnieje. Najpopularniejszą metodą jest downhill symplex lub inaczej metoda Neldera-Meada. Z powodu znacznego stopnia komplikacji nie będziemy jej samodzielnie implementować, a jedynie posłużymy się implementacją z biblioteki scipy.optimize. Dzięki niej możemy np. dopasowywać funkcję z więcej niż jednym parametrem do danych eksperymentalnych.
 <source lang="python">
 import scipy.optimize as so

@@ Linia 31: / Linia 31: @@
 *podzielmy przedział [xmin,xmax] na 3 równe część: [xmin,xL],[xL,xR] oraz [xR,xmax]
 *jeżeli wartość funkcji w xL jest mniejsza od wartości funkcji w xR to powtórz procedurę dla przedziału [xmin,xR]. W przeciwnym przypadku powtórz procedurę dla przedziału [xL,xmax].
-*zakończ działanie gdy badany przedział jest krótszy niż xtol
+*zakończ działanie gdy badany przedział jest krótszy niż xtol.
 Przykładowa implementacja tej metody wygląda następująco
 <source lang="python">

@@ Linia 21: / Linia 21: @@
 Na rozważanym przedziale [0.2,2] powyższa funkcja ma tylko jedno ekstremum lokalne. Taką funkcję nazywamy unimodalną. Zmienna licznikTestowej umożliwi nam zliczanie wywołań funkcji testowej przez analizowane procedury.
-Zagadnienie, którym teraz będziemy się zajmować to problem numerycznego znajdowania takiego ekstremum. Jak każdy problem numeryczny ekstremum szukać będziemy zakładając pewną dokładność otrzymanego wyniku, którą oznaczmy xtol. Na wstępie przyjmijmy, że poszukujemy ekstremum z dokładnością xtol=0.01. Najprostszą metodą będzie policzenie wartości funkcji dla wszystkich wartości x z podanego przedziału co xtol. Jest to metoda siłowa i wielokrotnie licząca wartość funkcji. Jej kod możemy znaleźć poniżej.
+Zagadnienie, którym teraz będziemy się zajmować to problem numerycznego znajdowania takiego ekstremum. Jak w każdym problemie numerycznym ekstremum szukać będziemy zakładając pewną dokładność otrzymanego wyniku, którą oznaczmy xtol. Na wstępie przyjmijmy, że poszukujemy ekstremum z dokładnością xtol=0.01. Najprostszą metodą będzie policzenie wartości funkcji dla wszystkich wartości x z podanego przedziału co xtol. Jest to metoda siłowa i wielokrotnie licząca wartość funkcji. Jej kod możemy znaleźć poniżej.
 <source lang="python">
 def bruteForce(func,xmin,xmax,args=(),xtol=0.01):

@@ Linia 28: / Linia 28: @@
      return xlist[ylist.index(max(ylist))]
 </source>
-Innym, znacznie efektywniejszym sposobem znajdowania minimum możebyć nastepująca procedura rekurencyjna:
+Innym, znacznie efektywniejszym sposobem znajdowania minimum może być następująca procedura rekurencyjna:
-*podzielmy przedzial [xmin,xmax] na 3 równe część: [xmin,xL],[xL,xR] oraz [xR,xmax]
+*podzielmy przedział [xmin,xmax] na 3 równe część: [xmin,xL],[xL,xR] oraz [xR,xmax]
-*jeżeli wartość funkcji w xL jest mniejsza od wartości funkcji w xR to powtórz procedurę dla przedziału [xmin,xR]. W przeciwnym przypadku powtórz proceduę dla przedziału [xL,xmax].
+*jeżeli wartość funkcji w xL jest mniejsza od wartości funkcji w xR to powtórz procedurę dla przedziału [xmin,xR]. W przeciwnym przypadku powtórz procedurę dla przedziału [xL,xmax].
-*zakończ działanie gdy badany przedział jest krótszy nić xtol
+*zakończ działanie gdy badany przedział jest krótszy niż xtol
-Przykładowa imlementacja tej metody wygląda  nastepująco
+Przykładowa implementacja tej metody wygląda następująco
 <source lang="python">
 def twoMidPointsR(func,xmin,xmax,args=(),xtol=0.01):
@@ Linia 45: / Linia 45: @@
          return twoMidPointsR(func,xL,xmax,args,xtol)
 </source>
-Tą metodą możemy już szukać minimum ze dowolną dokładnością, co nie będzie skutowało znacznie większym czasem obliczeń. Zauważmy jednak że w każdej iteracji wartość minimalizowanej funkcji liczona jest dwukrotnie. Jeżeli mamy doczynienia z funkcją dla której obliczenie pojedynczej wartości jest bardzo czasochłonne to warto się zastanowić czy nie można tego wyniku poprawić. Zauważmy że dla  działania tej metody wcale nie jest konieczne  dzielenia badanego odcinka dokładnie na trzy równe części. Można dokonać tego podziału w zupełnie innej proporcji. Warto tak dobrać punkty xL i xR aby xR pokrywał się  z xL (lub xL z xR) w kolejnym  kroku iteracji. Jeżeli dodatkowo stworzymy zmienne przechowujące wcześniej liczone wartości funkcji to uda nam sie ograniczyć liczbe wywołań funkcji o  połowę. Opisana metoda to tak zwana '''metoda złotego podziału'''. Przykladowa implementacja wygląda nastepująco
+Tą metodą możemy już szukać minimum z dowolną dokładnością, co nie będzie skutkowało znacznie większym czasem obliczeń. Zauważmy jednak, że w każdej iteracji wartość minimalizowanej funkcji liczona jest dwukrotnie. Jeżeli mamy do czynienia z funkcją, dla której obliczenie pojedynczej wartości jest bardzo czasochłonne to warto się zastanowić czy nie można tego wyniku poprawić. Zauważmy, że dla działania tej metody wcale nie jest konieczne dzielenie badanego odcinka dokładnie na trzy równe części. Można dokonać tego podziału w zupełnie innej proporcji. Warto tak dobrać punkty xL i xR, aby xR pokrywał się z xL (lub xL z xR) w kolejnym  kroku iteracji. Jeżeli dodatkowo stworzymy zmienne przechowujące wcześniej liczone wartości funkcji to uda nam się ograniczyć liczbę wywołań funkcji o połowę. Opisana metoda to tak zwana '''metoda złotego podziału'''. Przykładowa implementacja wygląda następująco
 <source lang="python">
@@ Linia 72: / Linia 72: @@
 </source>
-Napisanej metody optymalizacji możemy użyć w celu dopasowania funkcji do danych empirycznych metodą njamniejszych kwadratów. Przykład takiego zastosowania poniżej.
+Napisanej metody optymalizacji możemy użyć w celu dopasowania funkcji do danych empirycznych metodą najmniejszych kwadratów. Przykład takiego zastosowania poniżej.
 <source lang="python">