Twierdzenia o splocie i o próbkowaniu (aliasing) - Historia wersji

Durka: /* Twierdzenie o próbkowaniu */

2025-10-16T15:12:19Z

Twierdzenie o próbkowaniu

Durka: /* AS/ Twierdzenie o splocie */

2025-10-16T15:11:45Z

AS/ Twierdzenie o splocie

Durka: /* Korelacja i splot */

2024-10-16T12:06:11Z

Korelacja i splot

Durka: /* AS/ Twierdzenie o splocie */

2024-07-23T07:48:31Z

AS/ Twierdzenie o splocie

Durka: /* AS/ Twierdzenie o splocie */

2024-07-23T07:46:45Z

AS/ Twierdzenie o splocie

Durka: /* AS/ Twierdzenie o splocie */

2023-10-27T09:14:11Z

AS/ Twierdzenie o splocie

Durka: /* Korelacja i splot */

2023-10-27T09:13:44Z

Korelacja i splot

Durka: /* Korelacja i splot */

2023-10-20T06:57:36Z

Korelacja i splot

Durka: /* Korelacja i splot */

2023-10-20T06:57:17Z

Korelacja i splot

Durka: /* Twierdzenie o splocie */

2023-10-20T06:45:58Z

Twierdzenie o splocie

@@ Linia 224: / Linia 224: @@
 ==Twierdzenie o próbkowaniu==
-Twierdzenie o próbkowaniu, inaczej twierdzenie Nyquista-Shannona, czasem w skrócie twierdzenie Nyquista mówi, że sygnał ciągły możemy odtworzyć z zapisanych próbek, jeśli częstość próbkowania <math>f_s</math> była wyższa niż dwukrotność najwyższej z występujących w sygnale częstości <math>f_{max}</math>, nazywana częstością Nyquista <math>f_N</math>:
+Twierdzenie o próbkowaniu, inaczej twierdzenie Nyquista-Shannona (czasem w skrócie twierdzenie Nyquista) mówi, że sygnał ciągły możemy odtworzyć z zapisanych próbek, jeśli częstość próbkowania <math>f_s</math> była wyższa niż dwukrotność najwyższej z występujących w sygnale częstości <math>f_{max}</math>, nazywana częstością Nyquista <math>f_N</math>:
 <div align = "center>
 <math> f_s = \dfrac{1}{\Delta t} > 2* f_{max} = f_N</math>

← poprzednia wersja	Wersja z 15:11, 16 paź 2025
Linia 223:	Linia 223:


	+	==Twierdzenie o próbkowaniu==
	+	Twierdzenie o próbkowaniu, inaczej twierdzenie Nyquista-Shannona, czasem w skrócie twierdzenie Nyquista mówi, że sygnał ciągły możemy odtworzyć z zapisanych próbek, jeśli częstość próbkowania <math>f_s</math> była wyższa niż dwukrotność najwyższej z występujących w sygnale częstości <math>f_{max}</math>, nazywana częstością Nyquista <math>f_N</math>:
	+	<div align = "center>
	+	<math> f_s = \dfrac{1}{\Delta t} > 2* f_{max} = f_N</math>
	+	</div>
	+	Jeśli częstość próbkowania nie była wystarczająco wysoka, nie tylko stracimy informację o zmianach amplitudy sygnału "pomiędzy próbkami", ale dojdzie też do zafałszowania sygnału w niższych częstościach, które z pozoru nie powinny być zaburzone. Efekt ten jest bliżej omówiony w rozdziale [[Aliasing]].
	+
	+	[[Plik:Aliasing gif.gif\|590px\|bezramki]]
	+
	+	[[Plik:Nyquist1.png\|600px\|bezramki]]

@@ Linia 90: / Linia 90: @@
-<math>
+<math> \displaystyle
 s(\tau)=\int f(t) g(t+\tau) dt
 </math>
@@ Linia 96: / Linia 96: @@
 <equation id="eq:29">
-<math>
+<math>\displaystyle
 \hat{s}(\omega)=
 \int e^{-i\omega \tau} \left( \int f(t) g(t+\tau) dt \right) d\tau
@@ Linia 102: / Linia 102: @@
-<math>
+<math>\displaystyle
 \hat{s}(\omega)=
 \int e^{i\omega t} e^{-i\omega t} e^{-i\omega \tau} \left( \int f(t) g(t+\tau) dt \right) d\tau
@@ Linia 108: / Linia 108: @@
-<math>
+<math>\displaystyle
 =\int e^{-i\omega (t+\tau)} g(t+\tau)\; d\tau \int e^{i\omega t} f(t) \; dt
 </math>
-<math>
+<math>\displaystyle
 = \int e^{-i\omega u} g(u) du \int e^{i\omega t } f(t) dt =
 \hat{g}(\omega) \overline{\hat{f}(\omega)}

@@ Linia 231: / Linia 231: @@
 <div align="right">
-  [[wierdzenia_o_splocie_i_o_próbkowaniu_(aliasing)|⬅]] [[Analiza_sygnałów_-_wykład|⬆]] [[Estymacja_widma_na_podstawie_FT|⮕]]
+  [[Przekształcenie_Fouriera|⬅]] [[Analiza_sygnałów_-_wykład|⬆]] [[Estymacja_widma_na_podstawie_FT|⮕]]
 </div>

← poprzednia wersja		Wersja z 07:46, 23 lip 2024
Linia 228:		Linia 228:

	<references/>		<references/>
		+
		+
		+	<div align="right">
		+	[[wierdzenia_o_splocie_i_o_próbkowaniu_(aliasing)\|⬅]] [[Analiza_sygnałów_-_wykład\|⬆]] [[Estymacja_widma_na_podstawie_FT\|⮕]]
		+	</div>

@@ Linia 109: / Linia 109: @@
 <math>
-=\int e^{-i\omega (t+\tau)} g(t+\tau)\; d\tau \int e^{i\omega t} f(t) \; d\t
+=\int e^{-i\omega (t+\tau)} g(t+\tau)\; d\tau \int e^{i\omega t} f(t) \; dt
 </math>

@@ Linia 11: / Linia 11: @@
 zwykle większą moc obliczeniową &mdash; im mniej przypadków przeciwnych,
 tym korelacja silniejsza.
 Silna korelacja sygnałów <math>x</math> i

@@ Linia 64: / Linia 64: @@
 [[Plik:klasyczna_rys_3.jpg|thumb|center|400px|Od góry: sygnał <math>s(t)</math>, ten sam sygnał przesunięty w czasie o <math>\tau</math>, i jego funkcja autokorelacji.]]
 Funkcja autokorelacji będzie miała oczywiście maksimum w zerze, a istnienie
@@ Linia 69: / Linia 70: @@
 powtarzających się zjawisk. [[Model_autoregresyjny_(AR)#Twierdzenie Wienera-Chinczyna|Twierdzenie Wienera-Chinczyna]] mówi wręcz,
 że widmo mocy obliczać możemy jako [[Przekształcenie Fouriera|transformatę Fouriera]] funkcji autokorelacji.
 <math>
@@ Linia 75: / Linia 77: @@
 {\sqrt{ \int (x(t)-\mu_x)^2 dt  \int (y(t)-\mu_y)^2 dt }}
 </math>
 lub
 <math>
@@ Linia 82: / Linia 86: @@
 {\sqrt{\sum_j (x_j-\mu_x)^2 \sum_k (y_k-\mu_y)^2}}
 </math>
 Rozważmy [[Przekształcenie Fouriera|transformatę Fouriera]] funkcji korelacji sygnałów <math>f</math> i <math>g</math>, dla uproszczenia pomijając normalizację:
@@ Linia 119: / Linia 124: @@
 Fouriera iloczynowi transformaty jednego sygnału ze sprzężeniem
 zespolonym transformaty drugiego.
 ===Twierdzenie o splocie===

@@ Linia 125: / Linia 125: @@
 <equation id="eq:30">
-<math>
+<math> \displaystyle
 s(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(u) g(t-u) du
 \;\; \Longrightarrow \;\;\;
@@ Linia 144: / Linia 144: @@
-<math>
+<math>\displaystyle
 \hat{s}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i \omega t} s(t) d t =
 \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i \omega t}
@@ Linia 151: / Linia 151: @@
-<math>
+<math>\displaystyle
 = \int_{-\infty}^{\infty} e^{- i \omega u} f(u) \left( \int_{-\infty}^{\infty}  e^{-i \omega (t-u)}g(t-u) dt \right) du
 </math>
@@ Linia 159: / Linia 159: @@
-<math>
+<math>\displaystyle
 = \int_{-\infty}^{\infty} e^{- i \omega u} f(u) \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{- i \omega t}g(t) dt \right) du =
 \hat{f}(\omega) \hat{g}(\omega)
@@ Linia 170: / Linia 170: @@
-<math>
+<math>\displaystyle
 ((f*g)*h)(u)
 = \int_{-\infty}^{\infty} (f*g)(x) h(u-x)\,dx
@@ Linia 176: / Linia 176: @@
-<math>
+<math>\displaystyle
 = \int_{-\infty}^{\infty} \left[ \int_{-\infty}^{\infty} f(y) g(x-y)\,dy\right] h(u-x)\,dx
 </math>
 <math>
 = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(y) g(x-y) h(u-x)\,dy\,dx.
 </math>
@@ Linia 188: / Linia 189: @@
-<math>
+<math>\displaystyle
 ((f*g)*h)(u)
 = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(y) g(x-y) h(u-x)\,dx\,dy
@@ Linia 198: / Linia 199: @@
-<math>
+<math>\displaystyle
 \int_{-\infty}^\infty g(x-y) h(u-x)\,dx
 = \int_{-\infty}^\infty g((x+y)-y) h(u-(x+y))\,dx
@@ Linia 204: / Linia 205: @@
-<math>
+<math>\displaystyle
 = \int_{-\infty}^{\infty} g(x) h((u-y)-x)\,dx = (g*h)(u-y).
 </math>
@@ Linia 212: / Linia 213: @@
-<math>
+<math>\displaystyle
 ((f*g)*h)(u) = \int_{-\infty}^{\infty} f(y)(g*h)(u-y)\,dy
   = (f*(g*h))(u)</math>