Twierdzenie o próbkowaniu - Historia wersji

Durka: /* Twierdzenie o próbkowaniu */

2015-11-11T19:28:30Z

Twierdzenie o próbkowaniu

Durka: /* Twierdzenie o próbkowaniu */

2015-11-11T19:25:51Z

Twierdzenie o próbkowaniu

Durka: /* Twierdzenie o próbkowaniu */

2015-11-11T19:24:01Z

Twierdzenie o próbkowaniu

Durka: /* AS/ Twierdzenie o próbkowaniu */

2015-10-04T11:23:33Z

AS/ Twierdzenie o próbkowaniu

Durka: /* Twierdzenie o próbkowaniu */

2015-10-04T11:23:06Z

Twierdzenie o próbkowaniu

Durka: /* AS/ Twierdzenie o próbkowaniu */

2015-10-04T11:22:19Z

AS/ Twierdzenie o próbkowaniu

Durka: /* Twierdzenie o próbkowaniu */

2015-10-04T09:17:32Z

Twierdzenie o próbkowaniu

Jarekz: Utworzono nową stronę "==Twierdzenie o próbkowaniu== Twierdzenie o próbkowaniu odpowiada na kluczowe pytanie, które winniśmy postawić decydując się na pracę z dyskretnymi (próbkowa..."

2015-05-21T19:26:40Z

Utworzono nową stronę "==Twierdzenie o próbkowaniu== Twierdzenie o próbkowaniu odpowiada na kluczowe pytanie, które winniśmy postawić decydując się na pracę z dyskretnymi (próbkowa..."

Nowa strona

==Twierdzenie o próbkowaniu==

Twierdzenie o próbkowaniu odpowiada na kluczowe pytanie, które winniśmy
postawić decydując się na pracę z dyskretnymi (próbkowanymi)
wersjami sygnałów ciągłych z natury.

===Twierdzenie o próbkowaniu===
Sygnał ciągły <math>s(t)</math> możemy odtworzyć z wektora jego wartości
w dyskretnych chwilach czasu <math> n \Delta t</math>, jeśli nie było w nim
częstości wyższych niż <math>\frac{1}{2\, \Delta t}</math>.

'''Dowód'''
Dla uproszczenia przyjmijmy <math>\Delta t =
1</math>. Wtedy <math>\hat{s}(f)</math>, czyli transformata Fouriera
sygnału <math>s(t)</math>, będzie niezerowa co najwyżej pomiędzy
<math>-\frac{1}{2}</math> a <math>\frac{1}{2}</math>. Oznaczmy
<math>u(f)</math> funkcję o okresie <math>1</math>, tożsamą z
<math>\hat{s}(f)</math> na przedziale <math> \left [ -\frac{1}{2},
\frac{1}{2} \right ] </math>.

Przedstawia ją [[Szereg_Fouriera#label-eq:15|szereg Fouriera]]:
<math>u(f) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{2 \pi i f n}</math>

Współczynniki <math> c_n </math> tego rozwinięcia dane są [[Szereg_Fouriera#label-eq:15|wzorem]]: <math> c_{n} = \int_{0}^{1} u(f) e^{{2\pi i n
f}} d f = \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \hat{s}(f)e^{{2\pi i n
f}} d f = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{s}(f) e^{{2\pi i n f}} d f =
s(-n) </math>

Współczynniki <math>c_n</math>, dane przez wartości sygnału
<math>s</math> w punktach próbkowania, jednoznacznie określają
funkcję <math>u(f)</math>, ta z kolei zawiera w sobie
<math>\hat{s}(f)</math> — [[Przekształcenie Fouriera|transformatę Fouriera]] ''ciągłego'' sygnału
<math>s(t)</math>, czyli określa jednoznacznie również sam sygnał.

Znajdźmy ''explicite'' formułę rekonstrukcji:
<math>
s(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{s}(f) e^{-2\pi i f t } d f
= \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \hat{s}(f) e^{-2\pi i f t } d f
= \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}
\left ( \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{-2\pi i f n} \right )e^{-2\pi i f t} df
</math>
<math>
= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} s(n) e^{2 \pi i f n} e^{-2\pi i f t} df
= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} s(n) \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} e^{2 \pi i f (n-t)} df
</math>
ponieważ
<math>
\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} e^{2 \pi i f (n-t)} df
= \left[{\frac{1}{2\pi i (n-t)}} e^{2 \pi i f (n-t)}
\right]_{f=-\frac{1}{2}}^{f=\frac{1}{2}}
=\frac{\sin\left( \pi (n-t)\right)}{\pi(n-t)}
</math>
dostajemy
<math>
s(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} { {s(n)} }
\frac{\sin\left(\pi (n-t)\right)}{\pi(n-t)}
</math>

Tak więc, jeśli spełnione jest główne założenie o ograniczonym paśmie
sygnału ciągłego i odpowiednio dobranej częstości próbkowania, w
procesie próbkowania nie tracimy informacji ani też nie wprowadzamy
przekłamań, obliczając widmo (rozdział
[[Twierdzenia_o_splocie_i_o_próbkowaniu_(aliasing)#Przekszta.C5.82cenie_Fouriera_sygna.C5.82.C3.B3w_dyskretnych.2C_aliasing|o aliasingu]]).

===Twierdzenie o próbkowaniu w praktyce===
W praktyce przed próbkowaniem sygnał jest zwykle filtrowany
dolnoprzepustowym filtrem analogowym o częstości odcięcia poniżej częstości
Nyquista.

<references/>

← poprzednia wersja		Wersja z 09:17, 4 paź 2015
Linia 1:		Linia 1:
−	==Twierdzenie o próbkowaniu==	+	==[[Analiza_sygnałów_-_lecture\|AS/]] Twierdzenie o próbkowaniu==

	Twierdzenie o próbkowaniu odpowiada na kluczowe pytanie, które winniśmy		Twierdzenie o próbkowaniu odpowiada na kluczowe pytanie, które winniśmy

@@ Linia 31: / Linia 31: @@
 f}} d f = \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \hat{s}(f)e^{{2\pi i n
 f}} d f = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{s}(f) e^{{2\pi i n f}} d f =
-s(-n) </math>
+s(n) </math>
 Współczynniki <math>c_n</math>, dane przez wartości sygnału

@@ Linia 28: / Linia 28: @@
 Współczynniki <math> c_n </math> tego rozwinięcia dane są [[Szereg_Fouriera#label-eq:15|wzorem]]:
-<math> c_{n} = \int_{0}^{1} u(f) e^{{2\pi i n
+<math> c_{n} =\frac{1}{1} \int_{0}^{1} u(f) e^{{2\pi i n
 f}} d f = \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \hat{s}(f)e^{{2\pi i n
 f}} d f = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{s}(f) e^{{2\pi i n f}} d f =

@@ Linia 24: / Linia 24: @@
 Przedstawia ją [[Szereg_Fouriera#label-eq:15|szereg Fouriera]]:
-<math>u(f) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{2 \pi i f n}</math>
+<math>u(f) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{-2 \pi i f n}</math>
 Współczynniki <math> c_n </math> tego rozwinięcia dane są [[Szereg_Fouriera#label-eq:15|wzorem]]:

@@ Linia 17: / Linia 17: @@
 <math>-\frac{1}{2}</math> a <math>\frac{1}{2}</math>.
- Oznaczmy
+Oznaczmy
 <math>u(f)</math> funkcję o okresie <math>1</math>, tożsamą z
 <math>\hat{s}(f)</math> na przedziale <math> \left [ -\frac{1}{2},

@@ Linia 15: / Linia 15: @@
 </math>. Wtedy <math>\hat{s}(f)</math>, czyli transformata Fouriera
 sygnału <math>s(t)</math>, będzie niezerowa co najwyżej pomiędzy
-<math>-\frac{1}{2}</math> a <math>\frac{1}{2}</math>.  Oznaczmy
+<math>-\frac{1}{2}</math> a <math>\frac{1}{2}</math>.
 <math>u(f)</math> funkcję o okresie <math>1</math>, tożsamą z
 <math>\hat{s}(f)</math> na przedziale <math> \left [ -\frac{1}{2},
@@ Linia 21: / Linia 23: @@
 Przedstawia ją [[Szereg_Fouriera#label-eq:15|szereg Fouriera]]:
 <math>u(f) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{2 \pi i f n}</math>
-Współczynniki <math> c_n </math> tego rozwinięcia dane są [[Szereg_Fouriera#label-eq:15|wzorem]]: <math> c_{n} = \int_{0}^{1} u(f) e^{{2\pi i n
+Współczynniki <math> c_n </math> tego rozwinięcia dane są [[Szereg_Fouriera#label-eq:15|wzorem]]:
 f}} d f = \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \hat{s}(f)e^{{2\pi i n
 f}} d f = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{s}(f) e^{{2\pi i n f}} d f =
@@ Linia 35: / Linia 40: @@
 Znajdźmy ''explicite''  formułę rekonstrukcji:
 <math>
 s(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{s}(f) e^{-2\pi i f t } d f
@@ Linia 45: / Linia 51: @@
 = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} s(n) \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} e^{2 \pi i f (n-t)} df
 </math>
 ponieważ
 <math>
 \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} e^{2 \pi i f (n-t)} df
@@ Linia 52: / Linia 60: @@
 =\frac{\sin\left( \pi (n-t)\right)}{\pi(n-t)}
 </math>
 dostajemy
 <math>
 s(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} { {s(n)} }
@@ Linia 63: / Linia 73: @@
 przekłamań, obliczając widmo (rozdział
 [[Twierdzenia_o_splocie_i_o_próbkowaniu_(aliasing)#Przekszta.C5.82cenie_Fouriera_sygna.C5.82.C3.B3w_dyskretnych.2C_aliasing|o aliasingu]]).
 ===Twierdzenie o próbkowaniu w praktyce===

@@ Linia 11: / Linia 11: @@
 '''Dowód'''
 Dla uproszczenia przyjmijmy <math>\Delta t =
 </math>. Wtedy <math>\hat{s}(f)</math>, czyli transformata Fouriera