Anula o 11:52, 22 maj 2015

2015-05-22T11:52:53Z

Anula: Utworzono nową stronę "NOTOC ==Funkcja wykładnicza== Funkcję wykładniczą definiuje się najsampierw dla wykładników naturalnych. Dla dowolnego $a\in \mathbb R \;$ oraz <..."

2015-05-22T11:48:40Z

Utworzono nową stronę "__NOTOC__ ==Funkcja wykładnicza== Funkcję wykładniczą definiuje się najsampierw dla wykładników naturalnych. Dla dowolnego <math>a\in \mathbb R \;</math> oraz <..."

Nowa strona

__NOTOC__

==Funkcja wykładnicza==

Funkcję wykładniczą definiuje się najsampierw dla wykładników naturalnych.
Dla dowolnego <math>a\in \mathbb R \;</math> oraz <math>n\in \mathbb N \;</math> można zapisać:
<equation id="eq:1">
<math>a^n= a\cdot a \dots a \;\;</math> (n-razy)
</equation>
Stąd od razu wynika, że:
<equation id="eq:2">
<math>a^n \cdot a^m = a^{n+m}\;\;
</math>
</equation>
oraz
<equation id="eq:3">
<math>
\left(a^n\right)^m=a^{n m}\;\;
</math></equation>

Przyjmujemy, że <math>a^0=1\;</math>.
'''Ujemną potęgę''' definiujemy rozszerzając zasadę <xr id="eq:2">(%i)</xr> przez dopuszczenie, aby <math>n,m\;</math> były dowolnymi liczbami całkowitymi. Weźmy:
<math>
a^{-n} a^n = a^{-n+n}=a^0=1
\;</math>
skąd
<equation id="eq:4">
<math>
a^{-n}=\frac{1}{a^n}\;\;
</math></equation>
(zakładamy tu, że <math>a\ne 0\;</math>).

Stąd od razu mamy
<equation id="eq:5">
<math>
\left( \frac{a}{b} \right)^n = \frac{a^n}{b^n}\;
</math>
</equation>

Definiujemy następnie potęgi '''ułamkowe'''. Tu zakładamy, że <math>a>0\;</math> (zaraz się okaże dlaczego).

Oznaczmy: <math>b=a^\frac{1}{n}\;</math>. Mamy:

<math>
b^n = \left( a^\frac{1}{n}\right)^n = a^{\frac{1}{n}\cdot n} = a^1=a
\;</math>

co znaczy, że <math>b=\sqrt[n]{a}\;</math>, czyli
<equation id="eq:6">
<math>
a^\frac{1}{n} = \sqrt[n]{a}.\;
</math></equation>

Dowolną potęgę wymierną liczby <math>a\;</math> definiujemy teraz jako
<equation id="eq:7">
<math>a^\frac{p}{n} = (\sqrt[n]{a})^p\; ,
</math>
</equation>
gdzie <math>n\in \mathbb N, p\in \mathbb N\;</math>

Mamy też: Jeśli <math>a>1\;</math> i <math>b>0\;</math>, to <math>a^b>1 \;</math> i, w konsekwencji, jeśli <math>c_1>c_2\;</math>, to <math>a^{c_1}>a^{c_2}\;</math>. (Dla <math>a<1\;</math> znaki trzeba odwrócić). To pozwala przez ciągłość zdefiniować <math>a^b\;</math> dla dowolnych <math>a>0\;</math> i <math>b\in \mathbb R\;</math>. Widać też, że funkcja wykładnicza jest '''monotoniczna''' (rosnąca dla <math>a>1\;</math> i malejąca dla <math>a<1\;</math>).

[[file:plus exp.png|thumb|300px|right|Wykres funkcji wykładniczej typu <math>a^x</math>, gdzie a>1]]
[[file:minus exp.png|thumb|300px|right|Wykres funkcji wykładniczej typu <math>a^x</math>, gdzie a<1]]

==Funkcja logarytmiczna==

Jako że funkcja wykładnicza <math>f(x)=a^x\;</math> jest rosnąca (weźmy, dla ustalenia uwagi, <math>a>1\;</math>) w całej swojej dziedzinie, (dziedziną jest <math>\mathbb R\;</math> a zbiorem wartości <math>\mathbb R_+\;</math>) to istnieje funkcja do niej odwrotna. Zwiemy ją ''logarytmem''.

Zakładamy, że <math>a>0\;</math>, <math>a\ne 1\;</math>.

'''Def.''' Dla danych <math>a\;</math> oraz <math>y\;</math>, jeśli <math>x\;</math> jest takie, że <math>a^x=y\;</math>, to <math>x\;</math> nazywamy '''logarytmem''' o podstawie <math>a\;</math> z <math>y\;</math> i oznaczamy: <math>x=\log_a y\;</math>. Dziedziną logarytmu jest <math>\mathbb R_+\;</math>, a zbiorem wartości <math>\mathbb R\;</math>.

===Własności===
Mamy więc dla dowolnego <math>a\;</math>: <math>\log_a a = 1\;</math> (ponieważ <math>a^1 = a\;</math>) oraz <math>\log_a 1 = 0\;</math>

(ponieważ <math>a^0=1\;</math>).

Własności <xr id="eq:2">(%i)</xr> odpowiada:

<equation id="eq:8">
<math>
\log_a(b \cdot c) = \log_a b + \log_a c\;\;</math> oraz <math>\log_a \tfrac{b}{c} = \log_a b - \log_a c\;\;
</math>
</equation>

a własności <xr id="eq:3">(%i)</xr>:
<equation id="eq:9">
<math>\log_a b^c = c\cdot \log_a b\;\;
</math>
</equation>

W szczególności:
<center><math>
\log_a( \sqrt[n]{b}) =\frac{1}{n} \log_a b \;
</math></center>

===Przeliczanie logarytmów o różnych podstawach===

Często się zdarza, że trzeba przeliczać logarytmy o różnych podstawach. Najbardziej chyba rozpowszechnione są logarytmy '' dziesiętne'' (tzn. o podstawie 10) i '''naturalne''' o podstawie <math>e\approx 2,718...\;</math> (o liczbie <math>e\;</math> powiemy więcej za kilka wykładów).

Jak przeliczać jedne na drugie?

Rozważmy ogólniejszą sytuację — logarytmów o dwóch podstawach <math>a\;</math> oraz <math>b\;</math>.

Wyraźmy teraz <math>\log_ax \;</math> przez <math>\log_b x\;</math>.

Wyraźmy najsampierw <math>a\;\;</math> jako pewną potęgę <math>b\;\;</math>. Napiszmy: <math>a = b^A\;\;</math> i obustronnie zlogarytmujmy. Mamy: <math>\log_a a = 1 = \log_a (b^A) = A\log_a b\;\;</math>, skąd <math> A=\frac{1}{\log_a b}\;</math>

Weźmy teraz: <math>y=a^x\;</math>; mamy więc: <math>x=\log_a y\;</math>. Z drugiej strony, <math>\log_b y = \log_b(b^{Ax}) = Ax = \frac{1}{\log_a b} x\;</math> czyli
<equation id="eq:10">
<math>\log_a b \log_b y = \log_a y\;\;</math>
</equation>

====Przykład====

Biorąc <math>a=e\;</math>, <math>b=10\;</math>, mamy: <math>\ln y = \ln 10 \log_{10} y \approx 2,303 \log_{10} y\;</math>.

Wielomiany - Historia wersji

Anula o 11:52, 22 maj 2015

Anula: Utworzono nową stronę "__NOTOC__ ==Funkcja wykładnicza== Funkcję wykładniczą definiuje się najsampierw dla wykładników naturalnych. Dla dowolnego a\in \mathbb R \; oraz <..."

Anula: Utworzono nową stronę "NOTOC ==Funkcja wykładnicza== Funkcję wykładniczą definiuje się najsampierw dla wykładników naturalnych. Dla dowolnego $a\in \mathbb R \;$ oraz <..."