WnioskowanieStatystyczne/Momenty - Historia wersji

Durka: /* Kowariancja i współczynnik korelacji */

2026-09-08T13:58:05Z

Kowariancja i współczynnik korelacji

Durka: /* Kowariancja i współczynnik korelacji */

2026-09-08T13:57:42Z

Kowariancja i współczynnik korelacji

Durka: /* Wariancja sumy i wariancja przeskalowanej zmiennej */

2026-09-08T08:55:05Z

Wariancja sumy i wariancja przeskalowanej zmiennej

Durka: /* Wariancja sumy i wariancja przeskalowanej zmiennej */

2026-09-08T08:51:39Z

Wariancja sumy i wariancja przeskalowanej zmiennej

Durka: /* Wariancja sumy i wariancja przeskalowanej zmiennej */

2026-09-08T08:47:43Z

Wariancja sumy i wariancja przeskalowanej zmiennej

Durka: /* Kowariancja i współczynnik korelacji */

2026-09-08T08:45:52Z

Kowariancja i współczynnik korelacji

Durka: /* Wariancja */

2024-03-17T21:09:23Z

Wariancja

Durka: /* Mediana */

2023-07-03T13:04:19Z

Mediana

Durka: /* Wartość oczekiwana */

2020-03-05T17:53:53Z

Wartość oczekiwana

Durka: /* Kowariancja i współczynnik korelacji */

2017-03-02T10:38:22Z

Kowariancja i współczynnik korelacji

@@ Linia 71: / Linia 71: @@
 ===Kowariancja i współczynnik korelacji===
 [[Plik:Korelacja.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:rozw2"></figure>Przykładowe wartości współczynnika korelacji dla 300 par <math>(x, y)</math> o
 różnych stopniach współzależności.
 ]]
 Miarą związku między zmiennymi <math>x</math> i <math>y</math> jest kowariancja

@@ Linia 72: / Linia 72: @@
 ===Kowariancja i współczynnik korelacji===
-[[Plik:Korelacja.png|300px|thumb|left|<figure id="fig:rozw2"></figure>Przykładowe wartości współczynnika korelacji dla 300 par <math>(x, y)</math> o
+[[Plik:Korelacja.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:rozw2"></figure>Przykładowe wartości współczynnika korelacji dla 300 par <math>(x, y)</math> o
 różnych stopniach współzależności.
 ]]
@@ Linia 101: / Linia 101: @@
 Por. także [https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d4/Correlation_examples2.svg ilustracje z Wikipedii].
 ===Wariancja sumy i wariancja przeskalowanej zmiennej===

@@ Linia 145: / Linia 145: @@
 </equation>
-Zwróćmy uwagę, że dodają się '''wariancje''', a nie odchylenia standardowe: <math>\sigma(x \pm y)=\sqrt{\sigma^2(x)+\sigma^2(y)}</math>, czyli mniej niż <math>\sigma(x)+\sigma(y)</math>
+Zwróćmy uwagę, że dodają się '''wariancje''', a nie odchylenia standardowe: <math>\sigma(x \pm y)=\sqrt{\sigma^2(x)+\sigma^2(y)}</math>.
 Ze wzoru <xr id="eq:62">(%i)</xr> korzystamy dalej wielokrotnie: przy [[WnioskowanieStatystyczne/Rozklady-przyklady|wariancji rozkładu dwumianowego]], w dowodzie [[WnioskowanieStatystyczne/CLT|Centralnego Twierdzenia Granicznego]], przy [[WnioskowanieStatystyczne/Statystyki_i_estymatory|wariancji wartości średniej]] (<math>\sigma^2(\overline{x})=\sigma^2(x)/n</math>) oraz przy wariancji różnicy średnich w [[WnioskowanieStatystyczne/Test_t|teście t]].

@@ Linia 108: / Linia 108: @@
 ===Wariancja sumy i wariancja przeskalowanej zmiennej===
 '''Skalowanie zmiennej a wariancja.''' Z liniowości <xr id="eq:61">(%i)</xr> mamy <math>E(ax+b)=a\mu+b</math>, a zatem
@@ Linia 134: / Linia 135: @@
 </math>
 '''Zmienne niezależne.''' Dla zmiennych niezależnych kowariancja &mdash; a z nią współczynnik korelacji, o czym była mowa na końcu poprzedniego podrozdziału &mdash; wynosi zero. Wariancje po prostu się wtedy dodają, i to również dla różnicy:

@@ Linia 101: / Linia 101: @@
 Por. także [https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d4/Correlation_examples2.svg ilustracje z Wikipedii].
@@ Linia 106: / Linia 108: @@
 ===Wariancja sumy i wariancja przeskalowanej zmiennej===
 '''Skalowanie zmiennej a wariancja.''' Z liniowości <xr id="eq:61">(%i)</xr> mamy <math>E(ax+b)=a\mu+b</math>, a zatem
 <math>
-\sigma^2(ax+b)=E\left(\left((ax+b)-(a\mu+b)\right)^2\right)=E\left(a^2(x-\mu)^2\right)=a^2 E\left((x-\mu)^2\right)=a^2\sigma^2(x).
+\sigma^2(ax+b)=E\left(\left((ax+b)-(a\mu+b)\right)^2\right)=E\left(a^2(x-\mu)^2\right)=a^2 E\left((x-\mu)^2\right)=a^2\sigma^2(x)
 </math>
 Jak widać, przesunięcie zmiennej <math>x</math> o stałą <math>b</math> nie zmienia rozrzutu, a przeskalowanie stałą <math>a</math> zmienia odchylenie standardowe proporcjonalnie do <math>|a|</math>, wariancję &mdash; z kwadratem:
-<math>\sigma(ax+b)=|a|\,\sigma(x).</math>
+<math>\sigma(ax+b)=|a|\,\sigma(x)</math>
 '''Suma zmiennych.''' Oznaczmy <math>\mu_x=E(x)</math>, <math>\mu_y=E(y)</math>. Ponieważ <math>E(x+y)=\mu_x+\mu_y</math>, to znów wprost z definicji wariancji
@@ Linia 123: / Linia 125: @@
 <math>
 \sigma^2(x+y)=E\left(\left((x-\mu_x)+(y-\mu_y)\right)^2\right)=
-E\left((x-\mu_x)^2\right)+E\left((y-\mu_y)^2\right)+2E\left((x-\mu_x)(y-\mu_y)\right).
+E\left((x-\mu_x)^2\right)+E\left((y-\mu_y)^2\right)+2E\left((x-\mu_x)(y-\mu_y)\right)
 </math>
@@ Linia 129: / Linia 131: @@
 <math>
-\sigma^2(x+y)=\sigma^2(x)+\sigma^2(y)+2\sigma_{x,y}.
+\sigma^2(x+y)=\sigma^2(x)+\sigma^2(y)+2\sigma_{x,y}
 </math>
@@ Linia 135: / Linia 137: @@
 <math>
-\sigma^2(x-y)=\sigma^2(x)+\sigma^2(y)-2\sigma_{x,y}.
+\sigma^2(x-y)=\sigma^2(x)+\sigma^2(y)-2\sigma_{x,y}
 </math>
@@ Linia 146: / Linia 148: @@
 </equation>
-Zwróćmy uwagę, że dodają się '''wariancje''', a nie odchylenia standardowe: <math>\sigma(x \pm y)=\sqrt{\sigma^2(x)+\sigma^2(y)}</math>, czyli mniej niż <math>\sigma(x)+\sigma(y)</math>.
+Zwróćmy uwagę, że dodają się '''wariancje''', a nie odchylenia standardowe: <math>\sigma(x \pm y)=\sqrt{\sigma^2(x)+\sigma^2(y)}</math>, czyli mniej niż <math>\sigma(x)+\sigma(y)</math>
 Ze wzoru <xr id="eq:62">(%i)</xr> korzystamy dalej wielokrotnie: przy [[WnioskowanieStatystyczne/Rozklady-przyklady|wariancji rozkładu dwumianowego]], w dowodzie [[WnioskowanieStatystyczne/CLT|Centralnego Twierdzenia Granicznego]], przy [[WnioskowanieStatystyczne/Statystyki_i_estymatory|wariancji wartości średniej]] (<math>\sigma^2(\overline{x})=\sigma^2(x)/n</math>) oraz przy wariancji różnicy średnich w [[WnioskowanieStatystyczne/Test_t|teście t]].

← poprzednia wersja		Wersja z 21:09, 17 mar 2024
Linia 69:		Linia 69:

	Pierwiastek wariancji <math>\left( \sigma=\sqrt{\sigma^2}\right)</math> nosi nazwę ''odchylenia standardowego''.		Pierwiastek wariancji <math>\left( \sigma=\sqrt{\sigma^2}\right)</math> nosi nazwę ''odchylenia standardowego''.
−
−	~~Wyprowadzimy jeszcze jeden ogólny wzór na obliczanie wariancji, użyteczny w wielu przypadkach:~~
−
−	~~<equation id="eq:64">~~
−	~~<math>~~
−	~~\sigma ^{2}(x)= \sigma^2_x = E(x^{2})-\left\{ E(x)\right\} ^{2}.~~
−	~~</math>~~
−	~~</equation>~~
−
−	~~====Dowód====~~
−
−	~~<math>~~
−	~~\sigma^{2}(x)=E((x-\mu~~
−	~~)^{2})=E(x^{2}-2x\mu+\mu ^{2})=E(x^{2})-2\mu E(x)+\mu^{2}=E(x^{2})-\mu^{2}=E(x^{2})-\left\{ E(x)\right\} ^{2}~~
−	~~</math>~~
−
−	~~Czyli wariancja zmiennej losowej jest równa różnicy wartości oczekiwanej~~
−	~~kwadratu tej zmiennej i kwadratu jej wartości oczekiwanej.~~

	===Kowariancja i współczynnik korelacji===		===Kowariancja i współczynnik korelacji===

@@ Linia 42: / Linia 42: @@
 </math>
-Dla rozkładów symetrycznych mediana i wartość oczekiwana są sobie równe, w ogólnym przypadku rozkładów niesymetrycznych -- NIE, por. np.
+Dla rozkładów symetrycznych mediana i wartość oczekiwana są sobie równe, w ogólnym przypadku rozkładów niesymetrycznych — NIE, por. np.
 [https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/de/Comparison_mean_median_mode.svg ilustracja różnic z Wikipedii]

@@ Linia 9: / Linia 9: @@
 ===Wartość oczekiwana===
-Zgodnie z nazwą i intuicją, wartość oczekiwana określa środek rozkładu, czyli okolicę, w którą najczęściej powinny "trafiać" wyniki.<ref>Nie musi być równa wartości zmiennej losowej, dla której prawdopodobieństwo jest największe.</ref>
+Zgodnie z nazwą i intuicją, wartość oczekiwana (wartość średnia, przeciętna) określa środek rozkładu, czyli okolicę, w którą najczęściej powinny "trafiać" wyniki.<ref>Nie musi być równa wartości zmiennej losowej, dla której prawdopodobieństwo jest największe.</ref>
 Dla rozkładów dyskretnych będzie się ona wyrażać wzorem:
@@ Linia 30: / Linia 30: @@
 </math>
 </equation>
 ===Mediana===

@@ Linia 117: / Linia 117: @@
 niezależnych korelacja wynosi <math>0</math>.
 --------------------
 <references />