WnioskowanieStatystyczne/Rozklady-przyklady - Historia wersji

Durka: /* Dowód */

2024-03-17T19:38:52Z

Dowód

Durka: /* Wartość oczekiwana i wariancja */

2023-03-04T13:50:54Z

Wartość oczekiwana i wariancja

Durka: /* Dowód */

2023-03-04T13:39:01Z

Dowód

Durka: /* Dowód */

2023-03-04T13:36:04Z

Dowód

Durka: /* Dowód */

2023-03-04T13:35:26Z

Dowód

Durka: /* Dowód */

2023-03-04T13:26:31Z

Dowód

Durka: /* Dowód */

2023-03-04T13:26:05Z

Dowód

Durka: /* Dowód */

2023-03-04T13:25:47Z

Dowód

Durka: /* Dowód */

2023-03-04T13:24:37Z

Dowód

Durka: /* Dowód */

2023-03-04T13:20:49Z

Dowód

← poprzednia wersja		Wersja z 19:38, 17 mar 2024
Linia 344:		Linia 344:

	[[Plik:Rozklad_poissona.png\|300px\|thumb\|left\|<figure id="fig:rozw2"></figure>Rozkłady Poissona dla różnych wartości parametru <math>\lambda</math>.]]		[[Plik:Rozklad_poissona.png\|300px\|thumb\|left\|<figure id="fig:rozw2"></figure>Rozkłady Poissona dla różnych wartości parametru <math>\lambda</math>.]]
−
−
−	~~--------------------~~
−	~~<references>~~

@@ Linia 297: / Linia 297: @@
 <math>
-\sigma ^{2}(k)
+\sigma ^{2}(k) =
-\\
+\\[5pt]
   = E(k^{2})-\{E(k)\}^{2}
 \\
 = \underset{k=0}{\overset{\infty }
 {\sum}}k^{2}\frac{\lambda ^{k}}{k!}e^{-\lambda } -\lambda ^{2} \qquad\longleftarrow \textrm{zerowy wyraz sumy jest zerem}
 \\
 = \lambda e^{-\lambda}\underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{k^2 \lambda ^{k-1}}{k(k-1)!}-\lambda ^{2}
 \\[5pt]
 = \lambda e^{-\lambda}\underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{k\lambda ^{k-1}}{(k-1)!}-\lambda ^{2}
-\\ [5pt]
+\\[5pt]
 = \lambda e^{-\lambda}\underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{\left( (k-1)+1\right)\lambda ^{k-1}}{(k-1)!}-\lambda ^{2}
 \\[5pt]

@@ Linia 309: / Linia 309: @@
 \\
 = \lambda e^{-\lambda}\underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{k^2 \lambda ^{k-1}}{k(k-1)!}-\lambda ^{2}
-\\
+\\[5pt]
 = \lambda e^{-\lambda}\underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{k\lambda ^{k-1}}{(k-1)!}-\lambda ^{2}
-\\
+\\ [5pt]
 = \lambda e^{-\lambda}\underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{\left( (k-1)+1\right)\lambda ^{k-1}}{(k-1)!}-\lambda ^{2}
-\\
+\\[5pt]
 = \lambda e^{-\lambda}\underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{ (k-1)\lambda ^{k-1}}{(k-1)!} +
 \lambda e^{-\lambda}\underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{\lambda ^{k-1}}{(k-1)!} -
 \lambda ^{2}
-\\
+\\[5pt]
 = \lambda e^{-\lambda}\underset{k=2}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{ \lambda \lambda ^{k-2}}{(k-2)!} +
 \lambda e^{-\lambda}\underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{\lambda ^{k-1}}{(k-1)!} -
 \lambda ^{2}
-\\
+\\[5pt]
 = \lambda^2 e^{-\lambda}\underset{k=2}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{ \lambda^{k-2}}{(k-2)!} +
 \lambda e^{-\lambda}\underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{\lambda ^{k-1}}{(k-1)!} -
 \lambda ^{2} \qquad\longleftarrow l=k-2, m=k-1
-\\
+\\[5pt]
 = \lambda^2 e^{-\lambda}\underset{l=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{ \lambda^{l}}{l!} +
 \lambda e^{-\lambda}\underset{m=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{\lambda ^{m}}{m!} -
 \lambda ^{2} \qquad\longleftarrow  \textrm{rozwinięcie }  e^x \textrm{ w szereg Taylora wokół } x=0: e^x=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}
-\\
+\\[10pt]
 = \lambda^2 e^{-\lambda } e^\lambda + \lambda e^{-\lambda} e^\lambda -\lambda^2
-\\
+\\[10pt]
 = \lambda^2 + \lambda - \lambda^2 = \lambda .

@@ Linia 325: / Linia 325: @@
 \lambda e^{-\lambda}\underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{\lambda ^{k-1}}{(k-1)!} -
 \lambda ^{2}
 \\
 = \lambda^2 e^{-\lambda}\underset{k=2}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{ \lambda^{k-2}}{(k-2)!} +
 \lambda e^{-\lambda}\underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{\lambda ^{k-1}}{(k-1)!} -
 \lambda ^{2} \qquad\longleftarrow l=k-2, m=k-1
 \\
 = \lambda^2 e^{-\lambda}\underset{l=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{ \lambda^{l}}{l!} +
 \lambda e^{-\lambda}\underset{m=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{\lambda ^{m}}{m!} -
 \lambda ^{2} \qquad\longleftarrow  \textrm{rozwinięcie }  e^x \textrm{ w szereg Taylora wokół } x=0: e^x=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}
 \\
 = \lambda^2 e^{-\lambda } e^\lambda + \lambda e^{-\lambda} e^\lambda -\lambda^2
 \\
 = \lambda^2 + \lambda - \lambda^2 = \lambda .

@@ Linia 296: / Linia 296: @@
-<math>\begin{matrix}
+<math>
 \sigma ^{2}(k)
-\sigma ^{2}(k) &=& E(k^{2})-\{E(k)\}^{2}
+\\
 \\
 = \underset{k=0}{\overset{\infty }
-&=& \underset{k=0}{\overset{\infty }
+{\sum}}k^{2}\frac{\lambda ^{k}}{k!}e^{-\lambda } -\lambda ^{2} \qquad\longleftarrow \textrm{zerowy wyraz sumy jest zerem}
 \\
+\\
-&=& \lambda e^{-\lambda}\underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{k^2 \lambda ^{k-1}}{k(k-1)!}-\lambda ^{2}
+= \lambda e^{-\lambda}\underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{k^2 \lambda ^{k-1}}{k(k-1)!}-\lambda ^{2}
 \\
+\\
-&=& \lambda e^{-\lambda}\underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{k\lambda ^{k-1}}{(k-1)!}-\lambda ^{2}
+= \lambda e^{-\lambda}\underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{k\lambda ^{k-1}}{(k-1)!}-\lambda ^{2}
 \\
 \\
+= \lambda e^{-\lambda}\underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{\left( (k-1)+1\right)\lambda ^{k-1}}{(k-1)!}-\lambda ^{2}
-&=& \lambda e^{-\lambda}\underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{ (k-1)\lambda ^{k-1}}{(k-1)!} +
+\\
 \lambda e^{-\lambda}\underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{\lambda ^{k-1}}{(k-1)!} -
 \lambda ^{2}
 \\
+\\
-&=& \lambda e^{-\lambda}\underset{k=2}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{ \lambda \lambda ^{k-2}}{(k-2)!} +
+= \lambda e^{-\lambda}\underset{k=2}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{ \lambda \lambda ^{k-2}}{(k-2)!} +
 \lambda e^{-\lambda}\underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{\lambda ^{k-1}}{(k-1)!} -
 \lambda ^{2}
 \\
 = \lambda^2 e^{-\lambda}\underset{k=2}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{ \lambda^{k-2}}{(k-2)!} +
 \lambda e^{-\lambda}\underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{\lambda ^{k-1}}{(k-1)!} -
-\lambda ^{2} &|& l=k-2, m=k-1
+\lambda ^{2} \qquad\longleftarrow l=k-2, m=k-1
 \\
 = \lambda^2 e^{-\lambda}\underset{l=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{ \lambda^{l}}{l!} +
 \lambda e^{-\lambda}\underset{m=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{\lambda ^{m}}{m!} -
-\lambda ^{2} &|&   \textrm{rozwinięcie }  e^x \textrm{ w szereg Taylora wokół } x=0: e^x=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}
+\lambda ^{2} \qquad\longleftarrow  \textrm{rozwinięcie }  e^x \textrm{ w szereg Taylora wokół } x=0: e^x=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}
 \\
 = \lambda^2 e^{-\lambda } e^\lambda + \lambda e^{-\lambda} e^\lambda -\lambda^2
 \\
 </math>

@@ Linia 338: / Linia 338: @@
 \\
-&=&  \lambda^ + \lambda -\lambda^2 =\lambda .
+&=&  \lambda^2 + \lambda - \lambda^2 = \lambda .
 \end{matrix}
 </math>

@@ Linia 332: / Linia 332: @@
 &=& \lambda^2 e^{-\lambda}\underset{l=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{ \lambda^{l}}{l!} +
 \lambda e^{-\lambda}\underset{m=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{\lambda ^{m}}{m!} -
-\lambda ^{2} &|&   \textrm{rozwinięcie }  e^x \textrm{ w szereg Taylora wokół } x=0: e=\sum_{i=0}^{\infty} \frac{x^i}{i!}
+\lambda ^{2} &|&   \textrm{rozwinięcie }  e^x \textrm{ w szereg Taylora wokół } x=0: e^x=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}
 \\
-&=& \lambda e^{-\lambda }\underset{l=2}{\overset{\infty }{\sum }}(l+1)\frac{\lambda ^{l}}{l!}-\lambda^2
+&=& \lambda^2 e^{-\lambda } e^\lambda + \lambda e^{-\lambda} e^\lambda -\lambda^2
 \\
 &=&  \lambda (\lambda +1-\lambda )=\lambda .