Durka: /* Jak zmusić komputer do rzucania kostką */

2022-04-21T17:52:56Z

Jak zmusić komputer do rzucania kostką

Jarekz: /* „Prawdziwe” Monte Carlo */

2015-05-22T13:25:01Z

„Prawdziwe” Monte Carlo

Jarekz: Utworzono nową stronę " ==Statystyka — z komputerem zamiast wzorów== Statystyka jest sztuką wyciągania wniosków na podstawie niepełnych danych (dostępnych doświadczeń); każdy z..."

2015-05-22T13:21:37Z

Utworzono nową stronę " ==Statystyka — z komputerem zamiast wzorów== Statystyka jest sztuką wyciągania wniosków na podstawie niepełnych danych (dostępnych doświadczeń); każdy z..."

Nowa strona

==Statystyka — z komputerem zamiast wzorów==
Statystyka jest sztuką wyciągania wniosków na podstawie
niepełnych danych (dostępnych doświadczeń);
każdy z nas jest statystykiem, lepszym lub gorszym. Na co dzień
podejmujemy decyzje — na przykład: czy szybciej dojedziemy do celu krótszą
trasą przez centrum miasta, czy dłuższą, na której jednak zwykle nie ma korków?
Decyzji takiej zwykle nie da się oprzeć na całkowicie ścisłym rozumowaniu, gdyż
czas przejazdu zależy od wielu nieprzewidywalnych czynników. Mimo to
staramy się ocenić, która trasa będzie lepsza — na podstawie doświadczenia
(&bdquo;jeżdżę tą trasą od lat i rzadko trafiam na korki”) i/lub
dodatkowych informacji (&bdquo;piątek po południu, trasa wylotowa
z miasta… będzie tłok”). Przy tym jesteśmy świadomi, że nie będzie to
ocena dokładna, tylko w najlepszym razie dość prawdopodobna.

Jak widać, intuicyjnie używamy nawet pojęcia prawdopodobieństwa…
Mimo to prawie każdy, kto zetknął się z kursem statystyki, uznaje ją za dział
wiedzy wysoce odległy od intuicji, skomplikowany i w dużej mierze
niezrozumiały.

Dlaczego? Niestety, klasyczne teorie statystyczne po prostu takie są:
skomplikowane, oparte na dalekich od intuicji i kontrowersyjnych założeniach.
Co gorsza, ich poprawne zastosowanie bywa przez to trudnym zadaniem.
Na szczęście w większości przypadków teorię można dziś zastąpić praktyką, czyli
zdroworozsądkowymi metodami oceny szans (nie musimy ich nawet nazywać
prawdopodobieństwem) za pomocą komputerów. Monte Carlo i repróbkowanie (czyli
''resampling'', a w tym bootstrap i testy permutacyjne) to proste metody,
które opiszemy w tej książce w całości bez używania wzorów. Mimo prostoty można
nimi efektywnie zastąpić wiele skomplikowanych metod klasycznych. Zacznijmy od
Monte Carlo.

==Hazard symulowany==
W grach hazardowych wszystko zależy od szczęścia... Wszystko?
W takim razie dlaczego kasyna (albo toto-lotek) nie bankrutują?
Zdarza się, że muszą wypłacić wielkie wygrane, ale &bdquo;na dłuższą metę
wychodzą na swoje".

Wiadomo, że większą szansę (czyli prawdopodobieństwo trafienia) mamy na karetę
&bdquo;z ręki” w pokerze niż na szóstkę w toto-lotku. A skąd to wiemy? Na pewno
wśród znajomych mamy wielu, którym trafiły się cztery karty jednego nominału w rozdaniu pokera (jeśli tylko w pokera grywali), a o kimś, kto trafił szóstkę w toto-lotku zwykle w najlepszym razie słyszeliśmy (bo loterie to podatek płacony przez ludzi nie rozumiejących statystyki). Taki sposób oceny prawdopodobieństwa — na podstawie doświadczeń — jest najpewniejszy. Jednak nie zawsze dysponujemy wystarczającą liczbą doświadczeń, aby ocenić szanse wygranej; wyobraźmy sobie dla przykładu nową grę, w którą wcześniej nie graliśmy:

'''Za wpłaconą złotówkę rzucamy pięć razy kostką; jeśli wyrzucimy przynajmniej dwie szóstki, wygrywamy pięć złotych. W przeciwnym razie tracimy wpłaconą złotówkę. Warto zagrać?'''

Cóż, możemy spróbować: zagrajmy kilka razy i zobaczmy, czy się wzbogaciliśmy czy nie...

A może by tak spróbować &bdquo;na sucho”, nie ryzykując pieniędzy?
Doskonały pomysł! Jeżeli tylko wierzymy, że w prawdziwej grze
będziemy rzucać &bdquo;uczciwą”, czyli w pełni symetryczną kostką,
która z równym prawdopodobieństwem ląduje na każdej z sześciu
ścianek — możemy całą grę zasymulować. Znajdujemy kostkę i rzucamy:
pięć rzutów, jedna szóstka — &bdquo;przegraliśmy”. Następna symulowana gra: żadnej
szóstki. Trzecia... widać, że trzeba do sprawy podejść systematycznie.

Wykonajmy na przykład sto eksperymentów: rzucamy kostką pięć razy, i jeśli wyrzuciliśmy przynajmniej dwie szóstki, zapisujemy &bdquo;wygraną".

(...)

Trochę to było męczące, ale w końcu mamy: na sto zasymulowanych gier
&bdquo;wygraliśmy” 18, czyli 18 uzyskać w stu prawdziwych grach —
poznaliśmy go nie ryzykując. Policzmy więc: za sto gier wpłacilibyśmy
100 zł, a dostali <math>18\cdot 5=90</math>, czyli przegralibyśmy 10
zł.

Dzięki symulacji uniknęliśmy straty, ale czy ostateczny wniosek brzmi
&bdquo;nie warto grać”? Żeby &bdquo;wyjść na swoje” trzeba wygrać przynajmniej 20
razy na 100, a w symulacji wygraliśmy 18... a może gdyby powtórzyć tę
symulację jeszcze raz, wylosowalibyśmy więcej niż 20 wygranych na 100,
czyli odnieślibyśmy sukces? Trzeba by spróbować, może kilka razy po
sto razy po pięć rzutów kostką, zapisać... nie! Najwyższy czas użyć
komputera!

==Jak zmusić komputer do rzucania kostką==

Nie jest to specjalnie trudne, lecz nie da się ukryć, że wymaga
trochę lepszego zaznajomienia z komputerem niż napisanie listu.
Konieczny jest jakikolwiek &bdquo;język programowania”, pozwalający
korzystać z dwóch elementów: &bdquo;pętli” i &bdquo;generatora liczb
losowych”. Może to być kompilator dowolnego &bdquo;klasycznego” języka
programowania (C, Pascal, Java etc.), lub interpreter możliwie
prostego języka, zawierającego wymienione elementy. Interpretery
języków spełniających ten warunek zawarte są coraz częściej w programach
powszechnego stosowania (np. w pakietach biurowych), jak również we wszystkich
&bdquo;poważniejszych” środowiskach obliczeniowych (&bdquo;Matlab”, &bdquo;Mathematica”
etc.). Wreszcie istnieją specjalizowane programy do obliczeń
tego typu (np. [http://www.resample.com Resampling Stats]).

===Symulacja rzutów monetą===
Na początek spróbujmy skłonić komputer do symulacji rzutów monetą.
Wykorzystamy do tego &bdquo;generator liczb losowych”, który losuje
liczby zwykle spomiędzy zero i jeden. Robi to w taki sposób, że
wylosowanie każdej z liczb z tego przedziału jest równie
prawdopodobne, a wynik konkretnego losowania w żaden sposób nie
zależy od wyniku losowań poprzednich (''losowania niezależne'').<ref>Tak naprawdę to komputery potrafią generować
liczby zaledwie ''pseudo'' -losowe, czyli pochodzące z ciągów, które
z dobrą dokładnością spełniają podane założenia —
punkt startowy takiego ciągu wybieramy np. na podstawie aktualnego
czasu. Prawdziwe liczby losowe mogą być generowane tylko przez
prawdziwie fizyczne (nie symulowane) procesy, jak np. rozpad
promieniotwórczy. Bliższe informacje o generatorach liczb
pseudolosowych można znaleźć np. [http://www.wnt.com.pl/product.php?action=0&prod_id=90&hot=1 w książce Roberta Wieczorkowskiego i Ryszrada Zielińskiego &bdquo;Komputerowe generatory liczb losowych”].</ref>
Jeśli wylosowanie &bdquo;każdej” liczby spomiędzy 0 i 1 jest równie prawdopodobne,
to w szczególności wylosowanie liczby mniejszej niż <math>\frac{1}{2}</math> powinno być
tak samo prawdopodobne, jak wylosowanie liczby większej niż <math>\frac{1}{2}</math>. Co
to znaczy &bdquo;równie prawdopodobne”? To samo, co mamy na myśli mówiąc,
że w rzucie symetryczną monetą wyrzucenie
orła jest równie prawdopodobne jak wyrzucenie reszki.

Czyli wystarczy umówić się, że wylosowanie liczby
mniejszej od <math>\frac{1}{2}</math> to orzeł, a większej (lub równej) — reszka. Do
symulacji będziemy jeszcze potrzebować instrukcji ''pętli'',
bądź dowolnego innego mechanizmu pozwalającego na wygodne
powtarzanie fragmentów programu. Jeśli już wiemy, jak to zrobić,
możemy przystąpić do napisania krótkiego programu realizującego
przepis (czyli algorytm) symulacji stu rzutów monetą — na przykład tak,
jak w tabeli <xr id="eq:8"> %i</xr>.

Zapis &bdquo;reszki=reszki+1” oznacza zwiększenie zmiennej &bdquo;reszki” o jeden
— tak zwykle zapisujemy tę operację w popularnych językach
programowania. Jeśli potraktować to dosłownie jako równanie z
niewiadomą reszki, dostajemy zdanie fałszywe (albo reszki=<math>\infty</math>).

<equation id="eq:8"></equation>
reszki = 0
powtarzaj 100 razy:
wylosuj x
jeśli x mniejszy niż 1/2
reszki = reszki + 1
wypisz reszki

Za każdym razem, gdy uruchomimy ten program, możemy uzyskać inny wynik
(oczywiście Twoje wyniki będą pewnie inną sekwencją liczb (taka jest
idea generatora liczb losowych). (reszki): np. 46, 52, 44, 46...
Wyniki o podobnym rozrzucie powinniśmy uzyskać w stu rzutach
&bdquo;prawdziwą” (symetryczną) monetą. Czyli zamiast rzucać monetą, możemy
kazać komputerowi powtarzać prosty fragment programu. Wynika stąd
zasadnicza korzyść, gdyż komputer potrafi powtarzać proste operacje
bez porównania szybciej niż człowiek. Milion rzutów monetą? Proszę
bardzo, zamieniamy w powyższym programie 100 na 1000000 i... wynik
pojawia się szybciej niż zdołalibyśmy zapisać rezultat ''jednego''
rzutu monetą.

Jeśli udało nam się zmusić komputer do wykonania powyższych prostych
symulacji i widzimy ich związek z fizycznym eksperymentem
polegającym na rzucaniu monetą, to znaczy, że mamy już za sobą
właściwie wszystkie większe problemy — ideowe i praktyczne.

===Symulacja rzutów kostką===

Symulacja rzutów kostką będzie tylko trochę bardziej skomplikowana:
dzielimy przedział między zerem i jedynką na sześć równych części, i
każdej z nich przypisujemy jeden z możliwych wyników, na przykład: od
zera do <math>\frac{1}{6}</math> — jedno oczko, od
<math>\frac{1}{6}</math> do <math>\frac{2}{6}</math> — dwa oczka, i
tak dalej. Aby upewnić się, że wyrzucenie każdej liczby oczek jest w
tej symulacji faktycznie równie prawdopodobne, najwygodniej będzie
skorzystać z graficznej prezentacji wyników — prosty dostęp do
funkcji graficznej prezentacji danych oferuje większość wspomnianych
programów, jedynie w przypadku tradycyjnych języków programowania
wymagałoby to napisania specjalnego fragmentu kodu lub skorzystania z
gotowej biblioteki.

I tak, wynik stu rzutów kostką — na przykład: 22 jedynki, 17 dwójek,
14 trójek, 17 czwórek, 18 piątek i 12 szóstek — możemy przedstawić
jak na rys. <xr id="fig:9"> %i</xr>.

[[Plik:Roz_1_rys_1.jpg|thumb|center|400px|<figure id="fig:9"></figure> Liczba wystąpień każdego z sześciu możliwych wyników w sturzutach kostką.]]

Jeśli będziemy powtarzać po dziesięć tysięcy rzutów kostką, możemy
otrzymać wyniki podobne jak na rysunku <xr id="fig:10"> %i</xr>(a).
Zamiast liczby wystąpień każdego z wyników możemy rysować
''proporcje'' ich występowania (po podzieleniu przez całkowitą liczbę
rzutów), jak na rysunku <xr id="fig:10"> %i</xr>(b).

[[Plik:Roz_1_rys_2.jpg|thumb|center|400px|<figure id="fig:10"></figure> Rozkłady liczby oczek wyrzuconych w eksperymencie symulującym dziesięć tysięcy rzutów kostką: (a) — liczba wystąpień każdego z wyników, (b) — proporcje.]]

Skoro wyświetlamy proporcje, czyli prawdopodobieństwa wyrzucenia
każdej liczby oczek, możemy już porównywać wyniki otrzymane dla
różnych ilości powtórzeń (rzutów) — na przykład stu,
dziesięciu tysięcy i miliona — jak na rysunku <xr id="fig:11"> %i</xr>.

[[Plik:Roz_1_rys_3.jpg|thumb|center|400px|<figure id="fig:11"></figure>
Proporcje wyników dla stu, dziesięciu tysięcy i miliona symulacji
rzutu kostką.]]

Widać, że w każdym przypadku otrzymane dla każdej liczby oczek
prawdopodobieństwa są bliskie <math>\frac{1}{6}</math> (czyli
0,166...) — zgodnie ze zdrowym rozsądkiem, skoro mamy do czynienia z
sześcioma równie prawdopodobnymi możliwościami, tak właśnie powinno
być. Rozumowanie to nazywa się klasyczną (bądź częstościową) definicją
prawdopodobieństwa}; ścisłe sformułowanie znajduje się w
[[WnioskowanieStatystyczne/Prawdopodobieństwo|rozdziale o prawdopodobieństwie]]. Ponadto,
im więcej powtórzeń eksperymentu, tym wyniki bliższe &bdquo;teoretycznej”
<math>\frac{1}{6}</math>.

Ten wniosek nazywa się
[[WnioskowanieStatystyczne/Statystyki_i_estymatory#Prawo_wielkich_liczb|Prawem Wielkich
Liczb]]. Dla miliona dostajemy już prawie dokładnie jednakowe
wartości, toteż możemy powiedzieć, że prawy rysunek dobrze przybliża
teoretyczny [[WnioskowanieStatystyczne/Rozkłady|&bdquo;rozkład prawdopodobieństwa”]] wyników
rzutu kostką — czyli jednakowe prawdopodobieństwo każdego wyniku od
1 do 6.

==Oceniamy szanse==
Skoro już sprawdziliśmy, że komputer prawidłowo rzuca kostką, możemy
wrócić do pytania postawionego na początku rozdziału.

Przede wszystkim powinniśmy nieco inaczej sformułować problem.
Odpowiedź na pytanie &bdquo;czy warto” może zależeć od zbyt wielu,
częściowo subiektywnych, czynników. Ale na pewno jednym z nich
powinna być szansa wygranej! Tak więc zamiast &bdquo;czy warto zagrać”
możemy zapytać o szansę (prawdopodobieństwo) wygranej:

''Jaka jest szansa wyrzucenia co najmniej dwóch szóstek w pięciu
rzutach kostką?''

Do dzieła. Skoro potrafimy już wykorzystać komputer do symulacji
rzutów kostką, wystarczy tylko tak zmodyfikować program, żeby zliczał
ilość szóstek w każdych pięciu rzutach i wypisywał liczbę sukcesów
(czyli wyrzucenia dwóch lub więcej szóstek) — na przykład tak jak w
tabeli <xr id="eq:12"> %i</xr>, symulując sto &bdquo;gier”.

<equation id="eq:12"></equation>
sukcesy = 0
powtarzaj 100 razy:
szóstki = 0
powtarzaj 5 razy:
wylosuj x
jeśli x większy niż 5/6
szóstki = szóstki + 1
jeśli szóstki > 1
sukcesy=sukcesy + 1
wypisz sukcesy/100



Kolejne wyniki mogą wyglądać tak: 19, 21, 27, 19, 19, 21, 16, 20, 11,
15... Widać spory rozrzut — między 11 a 27 wygranych na sto gier
występuje spora różnica — można wygrać, można przegrać... no ale
jak to jest w końcu z tym prawdopodobieństwem?

Zgodnie ze zdrowym rozsądkiem i intuicją (a także zgodnie z
[[WnioskowanieStatystyczne/Prawdopodobieństwo#Cz.C4.99sto.C5.9Bciowa_definicja_prawdopodobie.C5.84stwa|częstościową definicją prawdopodobieństwa]])

'''prawdopodobieństwo wygranej możemy określić jako liczbę sukcesów podzieloną przez całkowitą liczbę gier, jeśli liczba gier jest duża.'''

Zamieńmy więc w programie z tabeli <xr id="eq:12"> %i</xr> liczbę 100 na przykład na
milion. Tym razem wykonanie programu trwa już zauważalną chwilę;
dostajemy, dajmy na to, 195921 wygranych na milion
gier, czyli prawdopodobieństwo około 0,196 (w tym stosunkowo prostym
przypadku, wybranym dla ilustracji metody, możliwe jest dokładne
znalezienie wartości tego prawdopodobieństwa — wynosi ona 0,1962 (z
dokładnością do czwartego miejsca po przecinku), i jest wyprowadzona w
[[WnioskowanieStatystyczne/Prawdopodobieństwo|rozdziale o prawdopodobieństwie]]). Wynik ten jest bliski średniej wartości wyników poprzednich uzyskiwanych dla 100 powtórzeń, i mniejszy od granicznej wartości 0,2. Przypomnijmy, że aby zyskać więcej niż włożyliśmy trzeba wygrać więcej niż 20 To wskazuje, że w tej grze mamy szansę
raczej przegrać niż wygrać, ale znowu nie wiadomo dokładnie ''jaką
szansę''.

Powtórzmy w takim razie eksperyment z milionem gier; dostaniemy np. 196275,
195961, 196676 (...) wygranych, czyli prawdopodobieństwa ok. 0,196-0,197.
Widać, że możliwe proporcje wygranych (czyli prawdopodobieństwa) zależą silnie
od liczby powtórzeń: dla stu gier dostawaliśmy proporcje wygranych najczęściej
między 0,1 a 0,3, a dla miliona różnice występują dopiero na trzecim miejscu po
przecinku.<ref>Po raz kolejny natrafiamy na konsekwencję [[WnioskowanieStatystyczne/Statystyki_i_estymatory#Prawo_wielkich_liczb|Prawa Wielkich
Liczb]]. Jak widać, im więcej wyników przybliżających
tę samą wielkość uśrednimy, tym większą dokładność (mniejszy rozrzut)
uzyskujemy. Można udowodnić (równania XXXX), że rozrzut
ten będzie odwrotnie proporcjonalny do pierwiastka liczby uśrednianych wyników.</ref>

Ale wróćmy do postawionego problemu: jak widać z dotychczasowych
wyników, w milionie gier raczej na pewno wyjdziemy &bdquo;na minus", ale
np. w stu grach mamy duże szanse wygrać więcej niż graniczne 20, gdyż
rozrzut obserwowanych wyników symulacji jest znacznie większy.
Mamy tu do czynienia z typowym dla wnioskowania statystycznego
procesem, którego zasadniczą i niekoniecznie najłatwiejszą częścią
jest prawidłowe sformułowanie pytania, na jakie statystyka ma
odpowiedzieć. Przeformułujmy więc pytanie o wynik po raz kolejny, odnosząc je do konkretnej sytuacji np. stu gier:

'''jaka jest szansa, że w stu grach wygramy więcej niż wpłaciliśmy?'''

W analizowanym przypadku szansa ta związana jest z rozrzutem wyników, czyli
liczbą wygranych w 100 grach. Rozrzut wyników możemy ocenić oglądając ich
rozkład — interesuje nas rozkład liczby wygranych w stu grach. Jeden
wynik symulacji (według programu z tabeli <xr id="eq:12"> %i</xr>)
będzie określał liczbę sukcesów w jednej z możliwych realizacji &bdquo;eksperymentu",
polegającego na symulacji stu gier.

Dla przypomnienia: jedna gra polega na pięciu rzutach kostką, wpłacamy 1
zł, w przypadku wyrzucenia przynajmniej dwóch szóstek wygrywamy 5 zł.
Realizujący tę symulację algorytm, zawarty w tabeli <xr id="eq:12"> %i</xr>,
za każdym uruchomieniem podaje jeden wynik takiej symulacji stu gier.
Wynik jednego uruchomienia będziemy traktować jako jedną z liczb,
których rozrzut chcemy oglądać. Oczywiście w praktyce
dodajemy do programu z tabeli <xr id="eq:12"> %i</xr> jeszcze jedną
zewnętrzną pętlę, w której zapamiętujemy wynik każdego z
eksperymentów — ale to już szczegół techniczny. Jeśli wygenerujemy
takich liczb dziesięć tysięcy, to ich rozkład może wyglądać tak, jak
na rysunku <xr id="fig:13"> %i</xr>.

[[Plik:Roz_1_rys_4.jpg|thumb|center|400px|<figure id="fig:13"></figure> Liczby wygranych w stu próbach wyrzucenia dwóch lub więcej szóstek w pięciu rzutach kostką — 10 000 symulacji.]]

Jeden obraz bywa wart więcej niż tysiąc słów, a jeden wykres więcej
niż tysiąc liczb: rysunek <xr id="fig:13"> %i</xr> przedstawia
dziesięć tysięcy liczb. Jak na dłoni widać, że większość wyników
gromadzi się między 10 a 30 — w zdecydowanej większości przypadków
powinniśmy wygrać pomiędzy dziesięć a trzydzieści gier ze stu.

Aby odpowiedzieć na pytanie o szansę finansowego sukcesu (przy ustalonej
stawce) w stu grach, należy zliczyć liczbę symulacji, w których &bdquo;wygraliśmy"
więcej niż 20 gier na 100 (bo przy dwudziestu wychodzimy &bdquo;na zero"), i
podzielić przez 10 000. Dostajemy około 0,4 — i to jest wreszcie
właściwe przybliżenie
szukanego prawdopodobieństwa wygrania więcej niż
wpłacimy w stu grach. Również w tym przypadku
[[WnioskowanieStatystyczne/Przykładowe_rozkłady#Rozk.C5.82ad_dwumianowy|dokładną wartość możemy wyznaczyć analitycznie]]; wynosi ona 0,4034.

Dysponując danymi przedstawionymi na rysunku <xr id="fig:13"> %i</xr> możemy też
oszacować szanse innych wyników — na przykład &bdquo;czarnego scenariusza",
określonego jako strata więcej niż połowy włożonej sumy. Będzie tak w
przypadku, gdy na sto gier wygramy mniej niż dziesięć.
Wartości te znajdują się na lewo od wartości 10; jest ich tak mało, że dokładną
liczbę trudno odczytać bezpośrednio z rysunku. Korzystając z danych
wygenerowanych przez program odczytujemy, że takich przypadków było 30 na 10
000, czyli prawdopodobieństwo &bdquo;czarnego scenariusza” jest mniejsze niż 0,3%.
A szansa, że w ogóle nie przegramy, czyli wygramy przynajmniej tyle, ile
wpłacimy w stu grach? Odpowiada liczbie symulacji, w których wygraliśmy nie
mniej niż 20 gier na 100, czyli sumie wartości na prawo od 20 (włącznie z 20).
W tym przypadku jest to wartość bardzo bliska 50.

==&bdquo;Prawdziwe” Monte Carlo==
W rozdziale tym poznaliśmy prostą i intuicyjną metodę pozwalającą na
rozwiązywanie wielu problemów z zakresu prawdopodobieństwa i statystyki.
Problem wymyślony dla ilustracji tego podejścia posiada również [[WnioskowanieStatystyczne/Przykładowe_rozkłady#Rozk.C5.82ad_dwumianowy|dokładne
rozwiązanie metodami &bdquo;tradycyjnej” statystyki]], które możemy uzyskać
kosztem dużo mniejszej ilości obliczeń, z użyciem dużo większej wiedzy. Jednak
Monte Carlo nie jest bynajmniej metodą wyłącznie dla &bdquo;matematycznie
leniwych". Poniższy fragment pochodzi ze [http://www.proszynski.pl/Przygody_matematyka-p-202-2000-.html wspomnień wybitnego polskiego matematyka Stanisława Ulama] (ten fragment wspomnień odnosi się do okresu 1946-49, gdy Ulam pracował w Los Alamos nad bombą wodorową):
<blockquote>
(...) Pomysł ten, nazwany później metodą Monte Carlo, wpadł mi do głowy, kiedy podczas choroby stawiałem pasjanse. Zauważyłem, że
znacznie praktyczniejszym sposobem oceniania prawdopodobieństwa ułożenia pasjansa (takiego jak Canfield, gdzie umiejętności gracza nie
mają większego znaczenia) jest wykładanie kart, czyli eksperymentowanie z tym procesem i po prostu zapisywanie procentu
wygranych, niż próba obliczenia wszystkich możliwości kombinatorycznych, których liczba rośnie wykładniczo i jest tak
wielka, że pominąwszy najprostsze przypadki, jej oszacowanie jest niemożliwe. Jest to zaskakujące z intelektualnego punktu widzenia, i
choć może nie całkiem upokarzające, to jednak zmusza do skromności i pokazuje granice tradycyjnego, racjonalnego rozumowania. Jeśli problem
jest wystarczająco złożony, próbowanie jest lepszym sposobem niż badanie wszystkich łańcuchów możliwości.
</blockquote>
{{następny|WnioskowanieStatystyczne/Bootstrap}}
------
<references>

@@ Linia 76: / Linia 76: @@
 Nie jest to specjalnie trudne, lecz nie da się ukryć, że wymaga
 trochę lepszego zaznajomienia z komputerem niż napisanie listu.
-Konieczny jest jakikolwiek &bdquo;język programowania&rdquo;, pozwalający
+Konieczny jest jakikolwiek język programowania, pozwalający
-korzystać z dwóch  elementów: &bdquo;pętli&rdquo;  i &bdquo;generatora liczb
+korzystać z dwóch  elementów: pętli i generatora liczb
-losowych&rdquo;. Może to być kompilator dowolnego &bdquo;klasycznego&rdquo; języka
+losowych. Może to być kompilator dowolnego &bdquo;klasycznego&rdquo; języka
 programowania (C, Pascal, Java etc.), lub interpreter możliwie
 prostego języka, zawierającego wymienione elementy. Interpretery

← poprzednia wersja		Wersja z 11:20, 29 sty 2016
Linia 1:		Linia 1:
		+
		+	[[Wnioskowanie_Statystyczne_-_wykład]]

	==Statystyka — z komputerem zamiast wzorów==		==Statystyka — z komputerem zamiast wzorów==

WnioskowanieStatystyczne/Z komputerem - Historia wersji

Durka: /* Jak zmusić komputer do rzucania kostką */

Durka: /* Statystyka — z komputerem zamiast wzorów */

Jarekz: /* „Prawdziwe” Monte Carlo */

Jarekz: Utworzono nową stronę " ==Statystyka — z komputerem zamiast wzorów== Statystyka jest sztuką wyciągania wniosków na podstawie niepełnych danych (dostępnych doświadczeń); każdy z..."

@@ Linia 345: / Linia 345: @@
 jest wystarczająco złożony, próbowanie jest lepszym sposobem niż badanie wszystkich łańcuchów możliwości.
 </blockquote>
-{{następny|WnioskowanieStatystyczne/Bootstrap}}
 ------
 <references>