Twierdzenie o próbkowaniu: Różnice pomiędzy wersjami
| (Nie pokazano 3 pośrednich wersji utworzonych przez tego samego użytkownika) | |||
| Linia 17: | Linia 17: | ||
<math>-\frac{1}{2}</math> a <math>\frac{1}{2}</math>. | <math>-\frac{1}{2}</math> a <math>\frac{1}{2}</math>. | ||
| − | + | Oznaczmy | |
<math>u(f)</math> funkcję o okresie <math>1</math>, tożsamą z | <math>u(f)</math> funkcję o okresie <math>1</math>, tożsamą z | ||
<math>\hat{s}(f)</math> na przedziale <math> \left [ -\frac{1}{2}, | <math>\hat{s}(f)</math> na przedziale <math> \left [ -\frac{1}{2}, | ||
| Linia 24: | Linia 24: | ||
Przedstawia ją [[Szereg_Fouriera#label-eq:15|szereg Fouriera]]: | Przedstawia ją [[Szereg_Fouriera#label-eq:15|szereg Fouriera]]: | ||
| − | <math>u(f) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{2 \pi i f n}</math> | + | <math>u(f) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{-2 \pi i f n}</math> |
Współczynniki <math> c_n </math> tego rozwinięcia dane są [[Szereg_Fouriera#label-eq:15|wzorem]]: | Współczynniki <math> c_n </math> tego rozwinięcia dane są [[Szereg_Fouriera#label-eq:15|wzorem]]: | ||
| − | <math> c_{n} = \int_{0}^{1} u(f) e^{{2\pi i n | + | <math> c_{n} =\frac{1}{1} \int_{0}^{1} u(f) e^{{2\pi i n |
f}} d f = \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \hat{s}(f)e^{{2\pi i n | f}} d f = \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \hat{s}(f)e^{{2\pi i n | ||
f}} d f = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{s}(f) e^{{2\pi i n f}} d f = | f}} d f = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{s}(f) e^{{2\pi i n f}} d f = | ||
| − | s( | + | s(n) </math> |
Współczynniki <math>c_n</math>, dane przez wartości sygnału | Współczynniki <math>c_n</math>, dane przez wartości sygnału | ||
Aktualna wersja na dzień 19:28, 11 lis 2015
AS/ Twierdzenie o próbkowaniu
Twierdzenie o próbkowaniu odpowiada na kluczowe pytanie, które winniśmy postawić decydując się na pracę z dyskretnymi (próbkowanymi) wersjami sygnałów ciągłych z natury.
Twierdzenie o próbkowaniu
Sygnał ciągły [math]s(t)[/math] możemy odtworzyć z wektora jego wartości w dyskretnych chwilach czasu [math] n \Delta t[/math], jeśli nie było w nim częstości wyższych niż [math]\frac{1}{2\, \Delta t}[/math].
Dowód
Dla uproszczenia przyjmijmy [math]\Delta t = 1[/math]. Wtedy [math]\hat{s}(f)[/math], czyli transformata Fouriera sygnału [math]s(t)[/math], będzie niezerowa co najwyżej pomiędzy [math]-\frac{1}{2}[/math] a [math]\frac{1}{2}[/math].
Oznaczmy [math]u(f)[/math] funkcję o okresie [math]1[/math], tożsamą z [math]\hat{s}(f)[/math] na przedziale [math] \left [ -\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right ] [/math].
Przedstawia ją szereg Fouriera:
[math]u(f) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{-2 \pi i f n}[/math]
Współczynniki [math] c_n [/math] tego rozwinięcia dane są wzorem:
[math] c_{n} =\frac{1}{1} \int_{0}^{1} u(f) e^{{2\pi i n f}} d f = \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \hat{s}(f)e^{{2\pi i n f}} d f = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{s}(f) e^{{2\pi i n f}} d f = s(n) [/math]
Współczynniki [math]c_n[/math], dane przez wartości sygnału [math]s[/math] w punktach próbkowania, jednoznacznie określają funkcję [math]u(f)[/math], ta z kolei zawiera w sobie [math]\hat{s}(f)[/math] — transformatę Fouriera ciągłego sygnału [math]s(t)[/math], czyli określa jednoznacznie również sam sygnał.
Znajdźmy explicite formułę rekonstrukcji:
[math] s(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{s}(f) e^{-2\pi i f t } d f = \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \hat{s}(f) e^{-2\pi i f t } d f = \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \left ( \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{-2\pi i f n} \right )e^{-2\pi i f t} df [/math] [math] = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} s(n) e^{2 \pi i f n} e^{-2\pi i f t} df = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} s(n) \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} e^{2 \pi i f (n-t)} df [/math]
ponieważ
[math] \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} e^{2 \pi i f (n-t)} df = \left[{\frac{1}{2\pi i (n-t)}} e^{2 \pi i f (n-t)} \right]_{f=-\frac{1}{2}}^{f=\frac{1}{2}} =\frac{\sin\left( \pi (n-t)\right)}{\pi(n-t)} [/math]
dostajemy
[math] s(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} { {s(n)} } \frac{\sin\left(\pi (n-t)\right)}{\pi(n-t)} [/math]
Tak więc, jeśli spełnione jest główne założenie o ograniczonym paśmie sygnału ciągłego i odpowiednio dobranej częstości próbkowania, w procesie próbkowania nie tracimy informacji ani też nie wprowadzamy przekłamań, obliczając widmo (rozdział o aliasingu).
Twierdzenie o próbkowaniu w praktyce
W praktyce przed próbkowaniem sygnał jest zwykle filtrowany dolnoprzepustowym filtrem analogowym o częstości odcięcia poniżej częstości Nyquista.
