WnioskowanieStatystyczne/Testy nieprametryczne

Wnioskowanie_Statystyczne_-_wykład

Testy nieparametryczne

We wstępie mówiliśmy, że jedną z podstawowych wad klasycznych testów statystycznych jest niemal wszechobecne założenie o pochodzeniu danych z populacji o rozkładzie gaussowskim.

Faktycznie, w wyprowadzeniu statystyki najczęściej stosowanego testu [math]t[/math] korzystamy explicite z tego założenia — jeśli nie jest ono spełnione, test da wyniki nieprawdziwe.

Podobnie rozkład [math]\chi^2[/math] wprowadzamy jako sumę kwadratów zmiennych pochodzących z rozkładu normalnego. Jednak jeśli przyjrzeć się dokładniej założeniom testu [math]\chi^2[/math] Pearsona okaże się, że jedynym warunkiem jest, by ilości zliczeń w poszczególnych komórkach tabeli (bądź binach histogramu) nie były nadmiernie małe. Wynika to ze specyficznej postaci danych wejściowych — statystyka [math]\chi^2[/math] Pearsona nie jest oparta bezpośrednio na danych, lecz na zliczeniach przypadków. W każdym razie jest to przykład testu, którego poprawność nie zależy od założenia o normalności rozkładów danych.

Tę pożądaną własność mają wszystkie testy opisywane w pierwszej części książki. Jednak już znacznie wcześniej, niż rozwój techniki komputerowej umożliwił ich stosowanie, powstało zapotrzebowanie na tego typu metody. W takich dziedzinach jak medycyna, psychologia czy socjologia mamy zwykle do czynienia z danymi, o których trudno powiedzieć a priori z jakiego rozkładu pochodzą, a wysoki koszt lub trudności z dokładnym powtórzeniem eksperymentów powodują, że samych danych bywa za mało do sprawdzenia hipotezy o normalności rozkładu (na przykład testem [math]\chi^2[/math]).

To zapotrzebowanie doprowadziło do powstania w ramach statystyki klasycznej testów nieparametrycznych, które do poprawnego działania nie wymagają spełnienia hipotezy o normalności rozkładu danych. Osiągane jest to zwykle kosztem mniejszej mocy testów, jednak w obliczu groźby popełnienia grubego błędu metodycznego, jakim jest zastosowanie testu parametrycznego do danych nie spełniających jego założeń, jest to zwykle cena warta zapłacenia.

Pierwszym przykładem z tej grupy jest opisany już test [math]\chi^2[/math] Pearsona. Poniżej wprowadzimy jeszcze dwa testy nieparametryczne; pierwszy z nich "wymyślimy" i opracujemy od początku do końca — od analizy problemu, przez pomysł na rozwiązanie, aż do kompletnych wzorów na rozkład prawdopobieństwa wybranej statystyki.

Przykład — nieuczciwy ankieter

Zadaniem ankietera w badaniach przedwyborczych (np. przed referendum) jest pytanie losowo wybranych obywateli, czy mają zamiar głosować "za" czy "przeciw". Czy na podstawie wyników ankiet, będących wyłącznie ciągiem jedynek ("za") i zer ("przeciw"), na przykład:

1101101000101001011101101111010110010101001010100011101

można sprawdzić, czy ankietowane osoby wybierano w prawidłowy sposób? Czy można też wykryć nieuczciwego ankietera, który zamiast pracowicie przeprowadzać ankiety "wymyślił" ich wyniki?

Aby wyniki "odpytania" stosunkowo niewielkiej grupy wyborców mogły odzwierciedlać wyniki przyszłych wyborów, grupa musi być wybrana dostatecznie "przypadkowo". Na przykład, nie ma sensu przeprowadzenie ankiet wyłącznie wśród studentów i wnioskowanie na ich podstawie o wynikach wyborów ogólnonarodowych. Tylko jeśli ankietowana grupa jest przypadkowo wybranym podzbiorem populacji wszystkich wyborców, średnia opinii tej grupy będzie dobrym estymatorem średniej opinii wszystkich wyborców (populacji).

W statystyce używamy pojęcia próby prostej, będącej wynikiem niezależnych losowań z tej samej populacji (lub z tego samego rozkładu). Na podstawie samych wyników trudno wykryć, czy próbę losowano np. tylko spośród mieszkańców miast, zamiast spośród wszystkich uprawnionych do głosowania. Natomiast dość skutecznie możemy testować niezależność kolejnych losowań; intuicja podpowiada, że bardziej prawdopodobny jest ciąg 00101101001110101001 niż 11111111110000000000, choć oba zawierają te same liczby jedynek i zer — oczywiście, jeśli mówimy o wynikach niezależnych losowań. W drugim wyniku mamy zera i jedynki zgrupowane w dwie długie serie — to właśnie wydaje się mało prawdopodobne, w porównaniu z większą ilością serii w pierwszym ciągu. Aby dokładnie oszacować poziom istotności dla hipotezy, że dana próba jest prosta, pozostaje wyliczyć rozkład prawdopodobieństwa uzyskania różnych liczb serii w ciągach zer i jedynek będących wynikiem niezależnych losowań z tej samej populacji. Ten właśnie pomysł leży u podstaw testu serii.

---

<references>