Laboratorium EEG/AR 1: Różnice pomiędzy wersjami

Z Brain-wiki
(Utworzono nową stronę "==Funkcja kowariancji i korelacji== --> to chyba przeniesiemy do Labu =====Wstęp===== W celu scharakteryzowania zależności wzajemnej dwóch sygnałów losowych, sto...")
 
 
(Nie pokazano 81 wersji utworzonych przez 2 użytkowników)
Linia 1: Linia 1:
−
==Funkcja kowariancji i korelacji==
+
[[Laboratorium_EEG]]/MVAR
−
--> to chyba przeniesiemy do Labu
 
−
=====Wstęp=====
 
  
−
W celu scharakteryzowania zależności wzajemnej dwóch sygnałów losowych, stosuje się funkcję kowariancji, zdefiniowaną w następujący sposób:
+
=Wielokanałowe modele AR=
 +
 
 +
[[Model autoregresyjny (AR)|Model AR]] opisuje wartość
 +
sygnału w chwili czasu ''t'' jako kombinację liniową jego wartości
 +
w chwilach poprzednich oraz szumu.
 +
 
 +
<math>X(t)=\sum_{j=1}^p {A(j)X(t-j)}+E(t)
 +
</math>
 +
 
 +
Wzór powyższy może posłużyć do jednoczesnego opisu wielu sygnałów tworzących układ wielokanałowy. Mamy wtedy (dla ''k'' kanałów):
  
−
<equation id="uid98">
 
 
<math>
 
<math>
−
\gamma _{xy} (\tau ) = \mathrm{cov}(x(t),y(t-\tau ))=\mathrm{E}[(x(t)-\mu _x)(y(t-\tau )-\mu _y)]
+
\let\hdots \dots
 +
X(t)=\left( \begin{array}{c} X_1(t)\\X_2(t)\\ \vdots\\X_k(t) \end{array}\right),\ E(t)=\left( \begin{array}{c} E_1(t)\\E_2(t)\\ \vdots\\E_k(t) \end{array}\right),\ A(j)=
 +
\left( \begin{array}{cccc} A_{11}(j) & A_{12}(j) & \hdots & A_{1k}(j)\\
 +
A_{21}(j) & A_{22}(j) & \hdots & A_{2k}(j)\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\A_{k1}(j) & A_{k2}(j) & \hdots & A_{kk}(j)
 +
\end{array}\right)
 
</math>
 
</math>
−
</equation>
 
  
−
gdzie:
+
Uzyskujemy w ten sposób tzw. model wielokanałowy (wielozmienny, ang. ''multichannel'', ''multivariate'', MVAR). Należy odróżniać taki model od wersji wielowymiarowej, w której opisywany proces ''X'' zależy od wielu zmiennych, np. w wersji dwuwymiarowej szukalibyśmy ''X''(''x'', ''y''). Modelami wielowymiarowymi nie będziemy się tu zajmować.
 +
 
 +
Podobnie jak w przypadku jednokanałowym możemy przetransformować model do przestrzeni częstości uzyskując zależność
  
−
<equation id="uid99">
 
 
<math>
 
<math>
−
\begin{array}{l}
+
A(f)X(f)=E(f)
−
\mu _x = \mathrm{E}[x(t)]\\
 
−
\mu _y = \mathrm{E}[y(t)]\\ \end{array}
 
 
</math>
 
</math>
−
</equation>
 
  
−
W przypadku sygnałów ciągłych estymację tę można zapisać w poniższy sposób:
+
gdzie, podobnie jak poprzednio, odpowiednie wielkości stają się wektorami ''k''-wierszowymi i macierzami rozmiaru ''k''&times;''k'':
  
−
<equation id="uid100">
 
 
<math>
 
<math>
−
\gamma _{xy} (\tau ) = \frac{1}{T}\int _0^{T}(x(t)-\mu_x)(y(t-\tau)-\mu_y)dt
+
X(f)=\left( \begin{array}{c} X_1(f)\\X_2(f)\\ \vdots\\X_k(f) \end{array}\right),\ E(f)=\left( \begin{array}{c} E_1(f)\\E_2(f)\\ \vdots\\E_k(f) \end{array}\right),\ A(f)=\left( \begin{array}{cccc} A_{11}(f) & A_{12}(f) & \hdots & A_{1k}(f)\\
 +
A_{21}(f) & A_{22}(f) & \hdots & A_{2k}(f)\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\A_{k1}(f) & A_{k2}(f) & \hdots & A_{kk}(f)
 +
\end{array}\right)
 
</math>
 
</math>
−
</equation>
 
  
−
natomiast dla sygnałów dyskretnych jako:
+
Mnożąc powyższe równanie lewostronnie przez macierz ''A''<sup>&minus;1</sup> otrzymujemy
 +
 
 +
<math>
 +
X(f)=A^{-1}(f)E(f)=H(f)E(f)
 +
</math>
 +
 
 +
Macierz ''H'' nazywana jest macierzą przejścia (ang. ''transfer matrix'') modelu.
 +
 
 +
=Przyczynowość=
 +
 
 +
Aby móc efektywnie opisywać zależności przyczynowe między sygnałami musimy w matematyczny sposób opisać, w jaki sposób tego typu zależności rozumiemy. W przypadku sygnałów biomedycznych będziemy musieli uwzględnić ich stochastyczny charakter. Zakładamy również, że na wartość danych w chwili obecnej mogą wpływać jedynie czynniki z chwil poprzednich (skutek nie może wyprzedzać przyczyny).
 +
 
 +
==Przyczynowość Grangera==
 +
Szeroko stosowaną definicją przyczynowości między sygnałami jest definicja podana przez Grangera (Clive Granger, ekonomista i matematyk amerykański). Bazuje ona na przewidywalności szeregów czasowych. Wyobraźmy sobie, że próbujemy przewidzieć wartość sygnału (szeregu czasowego) ''X'' w chwili czasu ''t'' używając wartości tego samego sygnału zmierzonych w chwilach poprzednich, wziętych z pewnymi współczynnikami ''A'':
  
−
<equation id="uid101">
 
 
<math>
 
<math>
−
\gamma _{xy}(k) = \frac{1}{N-1}\sum _{i=0}^{N-k}(x(i+k)-x_s)(y(i)-y_s)
+
X(t)=\sum_{j=1}^\infty{A(j)X(t-j)}+E(t)
 
</math>
 
</math>
−
</equation>
 
  
−
W odróżnieniu od funkcji autokowariancji, funkcja kowariancji nie musi mieć maksimum dla przesunięcia <math>\tau =0</math>. Ponadto posiada ona następującą cechę:
+
W powyższym wzorze wielkość ''E''(''t'') jest uzyskanym przez nas błędem dopasowania.
 +
 
 +
Spróbujmy teraz przewidzieć wartość ''X''(''t''), ale wzbogacając formułę po prawej stronie poprzednimi wartości innego sygnału ''Y''
  
−
<equation id="uid102">
 
 
<math>
 
<math>
−
\gamma _{xy}(-\tau ) = \gamma _{yx}(\tau )
+
X(t)=\sum_{j=1}^\infty{A(j)X(t-j)}+\sum_{j=1}^\infty{B(j)Y(t-j)}+N(t)
 
</math>
 
</math>
−
</equation>
 
  
−
Funkcję kowariancji można znormalizować:
+
Uzyskujemy nowy błąd dopasowania ''N''. Zasada sformułowana przez Grangera mówi, że jeśli po dodaniu poprzednich próbek drugiego sygnału nasze przewidywanie sygnału pierwszego się poprawiło, to kanał drugi (''Y'') jest przyczynowym dla pierwszego (''X''). Matematycznie jakość predykcji badamy porównując wariancje szumów ''N'' i ''E'':
 +
* jeśli var(''N'') < var(''E'') to ''Y'' jest przyczynowy dla ''X''.
 +
 
 +
Tak rozumianą relację przyczynowości między sygnałami nazywamy przyczynowością Grangera (lub przyczynowością w sensie Grangera, ang. ''Granger causality'').
 +
 
 +
Zauważmy, że predykcja nie pogorszy się (pierwotne wyrażenie z poprzednimi wartościami ''X'' wciąż we wzorze jest), może albo pozostać bez zmian (jeśli ''Y'' nie ma nic wspólnego z ''X'') albo się poprawić.
 +
 
 +
==Funkcja DTF==
 +
 
 +
W procesie dopasowywania współczynników modelu AR staramy się je tak dobrać, aby jak najlepiej opisać nasz sygnał, czyli aby jak najmniejsza część wariancji sygnału zostawała dla składowej losowej ''E''(''t''). Możemy więc interpretować tę czynność jak w przypadku przewidywania wartości sygnału ''X'' na podstawie jego poprzednich wartości, a składową losową traktować jak błąd predykcji. Tak więc na podstawie badania współczynników dopasowanego modelu możemy wnioskować o zależnościach przyczynowych w naszych danych (wielokanałowych).
 +
 
 +
Załóżmy, że dla układu dwukanałowego dopasowaliśmy model AR rzędu 1 otrzymując
 +
 
 +
<math>\left( \begin{array}{c} X_1(t)\\X_2(t) \end{array}\right)=
 +
\left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12}\\
 +
0 & a_{22} \end{array}\right)
 +
\left( \begin{array}{c} X_1(t-1)\\X_2(t-1) \end{array}\right)
 +
+\left( \begin{array}{c} E_1(t)\\E_2(t) \end{array}\right)
 +
</math>
 +
 
 +
Analiza współczynników dopasowanego modelu również dostarcza nam informacji o zależnościach między sygnałami w analizowanym zestawie. Obecność niezerowego współczynnika ''a''<sub>12</sub> oznacza, że poprzednie próbki sygnału ''X''<sub>2</sub> mają wpływ na bieżącą próbkę sygnału ''X''<sub>1</sub>. Natomiast
 +
współczynnik ''a''<sub>21</sub> wynosi 0, widzimy więc, że poprzednie próbki sygnału ''X''<sub>1</sub> nie wpływają na bieżącą próbkę sygnału ''X''<sub>2</sub>. Wnioskujemy więc, że w naszym układzie występuje wpływ ''X''<sub>2</sub>&rarr;''X''<sub>1</sub>, a nie ma wpływu ''X''<sub>1</sub>&rarr;''X''<sub>2</sub>. Widzimy również, że każdy kierunek możliwego wpływu jest niezależny od drugiego i mogą wystąpić każdy osobno lub oba równocześnie, zależnie od charakteru danych. Tego typu zależności nie bylibyśmy w stanie wykryć posługując się np. analizą korelacji.
 +
 
 +
Informacja zawarta we współczynnikach modelu ''A'' mówi nam o zależnościach w dziedzinie czasu. Aby móc coś powiedzieć o zależnościach w dziedzinie częstości wykorzystamy macierz przejścia ''H'' modelu AR wyrażonego w dziedzinie częstości:
  
−
<equation id="uid103">
 
 
<math>
 
<math>
−
\rho (k) = \frac{\mathrm{E}[(x(t)-\mu _x)(y(t-\tau )-\mu _y)]}{\sqrt{\mathrm{E}[(x(t)-\mu _x)^2]\mathrm{E}[(y(t)-\mu _y)^2]}} = \frac{\gamma _{xy}}{\sigma_x\sigma_y}
+
X(f)=A^{-1}(f)E(f)=H(f)E(f)
 
</math>
 
</math>
−
</equation>
 
−
Otrzymaną funkcję nazywamy funkcją korelacji.
 
−
Jednym z zastosowań funkcji korelacji jest wyznaczanie czasu przejścia sygnału przez dany układ liniowy. Funkcja korelacji pomiędzy sygnałem na wejściu układu i sygnałem na jego wyjściu osiągnie wartość maksymalną dla przesunięcia <math>\tau </math> równego czasowi, jaki potrzebował sygnał na pokonanie danego układu. Niestety, taka metoda wyznaczania opóźnienia obarczona jest pewną wadą &mdash; w przypadku gdy prędkość sygnału bądź jego droga zależą od częstości, wtedy na wykresie funkcji korelacji nie uzyskamy wyraźnego maksimum.
 
  
 +
Macierz ''H'' produkuje z transformat Fouriera sygnałów szumowych (posiadających z definicji widmo płaskie, niezależne od częstości) widmo badanych sygnałów. Zawiera więc ona potrzebną nam informację o zależnościach miedzy naszymi sygnałami w dziedzinie częstości. Jest to macierz niesymetryczna, jej element ''H<sub>ij</sub>''(''f'') mówi o intensywności wpływu sygnału ''X<sub>j</sub>'' na sygnał ''X<sub>i</sub>'' w częstości ''f''.
 +
 +
Z elementów macierzy ''H'' zbudowana jest kierunkowa funkcja przejścia (ang. ''directed transfer function'', DTF). Istnieje kilka wariantów tej funkcji, poniżej prezentowane są wzory opisujące wersję znormalizowaną i nieznormalizowaną.
 +
 +
Wersja znormalizowana
 +
* <math>\mathrm{DTF}_{ij}(f)=\mathrm{DTF}_{j\rightarrow i}(f)=\frac{\left| H_{ij}(f) \right|^2}{\sum_{m=1}^k{\left| H_{im}(f) \right|^2} }</math>
 +
 +
Wersja nieznormalizowana
 +
* <math>\mathrm{NDTF}_{ij}(f)=\mathrm{NDTF}_{j\rightarrow i}(f)=\left| H_{ij}(f) \right|^2</math>
 +
 +
Wersja nieznormalizowana to po prostu kwadrat modułu odpowiedniego elementu macierzy ''H''. Jego wartość jest wprost proporcjonalna do intensywności związku między sygnałami; zależy ona od wariancji danych i może być dowolnie duża. Wersja znormalizowana opisuje stosunek wpływu z kanału o indeksie ''j'' do kanału o indeksie ''i'' (w częstości ''f'') w stosunku do wszystkich wpływów do kanału o indeksie ''i'' (w tej częstości). W ten sposób wartość ta jest znormalizowana do przedziału [0, 1].
 +
 +
Dla obu wersji funkcji DTF wartości bliskie zeru mówią o braku związku między danymi sygnałami.
 +
 +
Zauważmy jeszcze, że model AR traktuje wszystkie kanały modelowanego układu na raz (jednocześnie). Jest to sytuacja zupełnie inna niż w przypadku badania każdej pary kanałów osobno.
 +
 +
=Ćwiczenia=
 +
 +
==Wstęp do ćwiczeń==
 +
 +
Do ćwiczeń w tym rozdziale używać będziemy zestawu danych, które służyły w poprzednim rozdziale do wyznaczania komponentów ICA (http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Dane_do_ICA_alfa.tar.gz). Aby dostosować je do naszych celów dokonamy na nich następujących operacji:
 +
* wybierzemy kanały EEG;
 +
* zastosujemy montaż do połączonych uszu (kanały A1 i A2);
 +
* zmniejszymy częstość próbkowania z 512 do 128 Hz (stosując antyaliasingowy filtr dolnoprzepustowy funkcją filtfilt i biorąc co czwartą próbkę filtrowanego sygnału);
 +
* przefiltrujemy sygnał (po zmianie) górnoprzepustowo z granicą odcięcia 1 Hz (stosując funkcję filtfilt).
 +
 +
Aby dopasować współczynniki modelu MVAR do posiadanych danych użyjemy funkcji <tt>licz_wsp_AR.m</tt> zawartej w pakiecie: [http://www.fuw.edu.pl/~moira/prezentacja/MVAR_Matlab.zip MVAR_Matlab.zip] &mdash; należy go ściągnąć i wypakować do katalogu roboczego. Funkcja ta zwraca współczynniki ''A'' modelu MVAR oraz macierz wariancji szumu ''V''. Aby uzyskać macierz przejścia modelu ''H'' należy zaimplementować samemu procedurę transformacji współczynników do dziedziny częstości (patrz: [http://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php/Pracownia_EEG/AR_1#Kilka_s.C5.82.C3.B3w_o_transformacji_Z tu]).
 +
 +
Przez &bdquo;szum&rdquo; rozumieć będziemy wektor wartości losowych zwracanych przez funkcję <tt>randn</tt>.
 +
 +
==Ćwiczenie 1==
 +
 +
Z zestawu danych do obliczania ICA (poprzedni rozdział) wybierz jeden kanał EEG, zawierający wyraźną czynność alfa.
 +
<br><br>
 +
Przytnij wybrany odcinek do długości 2000 próbek. Podziel wybrany odcinek danych przez ich odchylenie standardowe.
 +
<br><br>UWAGA:
 +
* Sygnał po wycięciu z oryginalnego nagrania musimy jeszcze przefiltrować filtrem górnoprzepustowym (o granicy odcięcia np. 1 Hz) aby z sygnału usunąć składową stałą i inne efekty „płynięcia” o niskich częstościach. Możemy zastosować np. filtr Butterwortha, przyzwyczajajmy się również do filtrowania funkcją <tt>filtfilt</tt>.
 +
* „szum” w opisie konstrukcji drugiego kanału wytwarzamy funkcją <tt>randn</tt>.
 +
* Po skonstruowaniu kanału 2 również dzielimy go przez jego wariancję aby oba sygnały miały jednakową wariancję (jednostkową).
 +
 +
Wygeneruj dwa zestawy danych:
 +
* Zestaw 1
 +
    Kanał 1 to nasz wybrany kanał EEG
 +
    Kanał 2 = (kanał 1 opóźniony o 1 próbkę)*0,6 + szum*0.15
 +
 +
* Zestaw 2
 +
  Kanał 1 to nasz wybrany kanał EEG
 +
  Kanał 2 = szum
 +
 +
Dla obu zestawów danych sprawdź stosując metodę przyczynowości Grangera, który sygnał możemy uznać za przyczynowy dla drugiego sygnału. W tym celu w każdym zestawie dopasuj kolejno jednokanałowe modele AR oraz model dwukanałowy i porównaj otrzymane wariancje szumu.
 +
 +
==Ćwiczenie 2==
 +
 +
Dla obu zestawów danych z ćwiczenia 1 dopasuj dwukanałowe modele AR dla rzędów od 1 do 10. Sprawdź, ile wynoszą współczynniki ''a''<sub>12</sub> i ''a''<sub>21</sub> dopasowanych modeli AR w dziedzinie czasu dla ''m'' = 1...''p''.
 +
Dla każdego rzędu ''p'' oblicz dla kanałów 1 i 2 oraz 2 i 1 miarę DC [3]:
 +
 +
<math>
 +
\mathrm{DC}_{ij}^2=\sum_{m=1}^p{a_{ij}^2(m)}
 +
</math>
  
 +
==Ćwiczenie 3==
  
−
====Zadanie 3: Funkcja kowariancji i korelacji====
+
* Wygeneruj dwa sygnały sinusoidalne o długości 1000 próbek każdy, o tej samej częstości 32 Hz i częstości próbkowania 128 Hz, ale różnych fazach początkowych.
−
Zaimplementuj funkcję obliczającą funkcję kowariancji dla różnych sygnałów ''x'' i ''y'' (równanie 13) skorzystaj przy tym z własności opisanej równaniem (14).  
+
* Pierwszy sygnał powinien mieć fazę początkową równą 0, drugi sygnał sinusoidalny powinien mieć fazę początkową równą &pi;/4.
−
Przykładowe wywołanie:
+
* Do drugiego z sygnałów dodaj małą (o amplitudzie ok 0,2 amplitudy sinusoidy) składową losową (czyli dodatkowy niezależny szum biały).
−
<source lang = python>
+
* Z tak otrzymanych sygnałów utwórz jeden sygnał dwukanałowy (macierz o rozmiarze <tt>(2,1000)</tt>).
−
a = np.array([1,2,3])
 
−
b = np.array([-1,-2,-3])
 
  
−
print koreluj(a,b,2)
+
Ustal optymalny rząd modelu AR (tym razem dwukanałowego) i oblicz macierz gęstości widmowej mocy oraz koherencji między tymi sygnałami. Narysuj moduł i fazę koherencji ''C''<sub>12</sub> i ''C''<sub>21</sub>.
−
</source>
 
−
powinno dać w wyniku:
 
−
[ 0.5 0.  -1.  0.  0.5]
 
  
−
<!--
+
Dla tego zestawu kanałów oblicz i narysuj normalizowaną i nienormalizowaną funkcję DTF.
−
{{hidden begin|title=Przykładowe rozwiązanie:}}
 
−
<source lang = python>
 
−
import numpy as np
 
−
import pylab as py
 
  
−
def koreluj(x,y,max_tau):
+
Zmień fazę początkową drugiego sygnału. Jak zmienia się funkcja koherencji? Co dzieje się z funkcją DTF?
−
    x = x - np.mean(x)
 
−
    y = y - np.mean(y)
 
−
    cor = np.zeros(2*max_tau+1)
 
−
    cor[max_tau] = np.sum(x[:]*y[:])
 
−
    for i in range(1,max_tau+1):
 
−
        cor[max_tau+i] = np.sum(x[i:]*y[:-i])
 
−
        cor[max_tau-i] = np.sum(y[i:]*x[:-i])
 
−
    N= len(x)
 
−
    cor = cor /(N-1)
 
−
    return cor
 
  
−
a = np.array([1,2,3])
+
==Ćwiczenie 4==
−
b = np.array([-1,-2,-3])
+
Ćwiczenie to opisuje problem tzw. wspólnego źródła. W takiej sytuacji prawdziwa analiza wielokanałowa wykazuje swoją przewagę nad badaniem zależności parami (dla każdej pary kanałów osobno).
−
for i in range(3):
 
−
    print koreluj(a,b,i)
 
−
</source>
 
−
{{hidden end}} -->
 
−
Z danych zarejestrowanych w trakcie czuwania z zamkniętymi oczami wybierz sygnały z następujących kanałów: Fp1, P3, Pz, P4, Fp2, O1, O2.
 
  
−
<ol>
+
Wygeneruj układ trzech sygnałów w następujący sposób:
  
−
<li>
+
    jako pierwszego kanału użyj sygnału z ćwiczenia 1;
−
Dla każdego kanału oblicz funkcję autokorelacji, zaś  dla każdej pary kanałów oblicz funkcję korelacji wzajemnej. Wyniki zaprezentuj w formie kwadratowej macierzy wykresów (za pomocą funkcji subplot, tak jak na przykładowym rys. (rys. <xr id="uid9"> %i</xr>)). Na przekątnej macierzy narysuj funkcję autokorelacji odpowiednich kanałów, poza przekątną &mdash; funkcję korelacji wzajemnej. Wskaż kanały, które są najbardziej skorelowane ze sobą. Czy możliwe jest wyznaczenie opóźnienia sygnału pomiędzy tymi kanałami?
+
    sygnał_w_drugim_kanale(t) = 0,4 * sygnał_z_pierwszego_kanału(t−1) + 0,4 * szum1;
 +
    sygnał_w_trzecim_kanale(t) = 0,3 * sygnał_z_pierwszego_kanału(t−2) + 0,4 * szum2.
  
 +
Oblicz macierz koherencji zwyczajnych dla tego układu i na ich podstawie wyznacz zależności między kanałami. Powtórz to samo dla koherencji cząstkowych.
  
−
<li>
+
Oblicz dla tego zestawu danych funkcje DTF.
−
Powtórz punkt 1, tym razem jednak funkcję autokorelacji i korelacji wzajemnej oblicz na sygnałach przefiltrowanych filtrem wąskopasmowym w paśmie alfa charakterystycznym dla badanej osoby. ([[%C4%86wiczenia_7#Funkcje_do_projektowania_filtr.C3.B3w_IIR_dost.C4.99pne_w_module_scipy.signal|przypomnienie konstrukcji filtrów]])
 
  
 +
Oblicz funkcję DTF tylko dla kanałów 2 i 3 (model dwukanałowy). Czym różni się wynik od odpowiedniej funkcji dla układu wszystkich trzech kanałów?
  
−
<li>
+
Wyniki wszystkich obliczeń przedstaw na rysunkach.
−
Oszacuj istotność statystyczną zależności między parami kanałów. Twoją hipotezą zerową jest brak istotnej korelacji pomiędzy sygnałami zarejestrowanymi przez dwie różne elektrody EEG. Hipoteza alternatywna to występowanie zależności pomiędzy tymi sygnałami. Podanie estymatorów wariancji funkcji korelacji jest bardzo trudne, dlatego jednym ze sposobów oszacowania progu powyżej którego wartość funkcji korelacji można byłoby uznać za istotną statystycznie, jest zastosowanie metody ''bootstrap''. Teoretycznie, funkcja korelacji policzona dla dwóch rzeczywistych, nieskorelowanych sygnałów, powinna wynosić 0 dla każdego przesunięcia <math>\tau</math>. Tak jest jednak w przypadku sygnałów nieskończonych; w analizie sygnałów takowych nie spotkamy.
 
  
−
Dokonując losowej zamiany kolejności próbek, możemy doprowadzić do wytworzenia sygnałów zależnych losowo, które jednak ze względu na skończony czas trwania, dadzą niezerową funkcję korelacji. Poziom losowych fluktuacji tej funkcji oszacujemy wykonując następujące kroki:
+
==Ćwiczenie 5==
−
<ol type="A">
 
−
<li> Losowa zamiana kolejności próbek w analizowanych sygnałach. Jeżeli pomiędzy dwoma sygnałami istnieją jakieś zależności, losowa zamiana próbek doprowadzi do zniszczenia tych związków. W ten sposób uzyskujemy sygnały, które teoretycznie są nieskorelowane.
 
−
<li> Obliczenie funkcji  korelacji wzajemnej dla sygnałów policzonych w punkcie A.
 
−
<li> Powtórzenie kroków A i B wiele (np. 1000) razy.
 
−
<li> Oszacowanie 95 % przedziału ufności dla wartości średniej funkcji korelacji wzajemnej dla danego przesunięcia <math>\tau</math> korzystając z otrzymanego w kroku C empirycznego rozkładu wartości tych funkcji dla sygnałów niezależnych. 
 
−
<li> Powtórzenie kroków A-D dla kolejnych przesunięć <math>\tau</math>.
 
−
<li> Sprawdzenie, dla których przesunięć <math>\tau </math> funkcje autokorelacji i korelacji obliczone dla oryginalnych sygnałów uzyskały wartości wyższe niż wartości progowe oszacowane dla sygnałów o losowych zależnościach.
 
−
</ol>
 
  
−
Procedura opisana powyżej ma jednak pewną wadę. Staramy się w niej oszacować poziom przypadkowych korelacji pomiędzy dwoma sygnałami dla kolejnych przesunięć <math>\tau </math>, co jest niczym innym jak wielokrotnym powtórzeniem pewnego testu. Obserwowanie korelacji dla wielu par kanałów równocześnie również prowadzi do zwiększenia szansy na zaobserwowanie ekstremalnie dużych fluktuacji.
+
Oblicz funkcje DTF dla wszystkich kanałów EEG z przygotowanego zestawu danych do ICA (dla pełnej długości w czasie każdego kanału). Zaobserwuj przepływy w paśmie częstości alfa.
−
Występuje tu zatem ''problem wielokrotnych porównań''.
 
−
Przypominamy, iż może to doprowadzić do przypadkowego uznania wyników jako &bdquo;istotnych&rdquo; statystycznie. Np. jeśli pojedynczy test wykonujemy na poziomie istotności 5% to dopuszczamy odrzucenie w 1 przypadku na 20 hipotezy zerowej pomimo, iż jest ona prawdziwa. Z drugiej jednak strony, jeśli powtórzymy wykonywany test 20 razy, to oczekujemy uzyskania 1 przypadku, w którym poziom <math>p</math> będzie mniejszy od 5% co jest przesłanką za odrzuceniem hipotezy zerowej.  
 
  
−
W przypadku wykonywania serii testów należałoby więc zastosować odpowiednie poprawki, np. [http://www.bmj.com/content/310/6973/170.full korektę Bonferroniego] czy [http://en.wikipedia.org/wiki/False_discovery_rate false discovery rate (FDR)]. Innym rozwiązaniem w analizowanym przez nas problemie jest zastosowanie tzw. statystyk wartości ekstremalnych, które prowadzą do następujących zmian w procedurze (nie działa dla funkcji autokorelacji ze względu na jej normalizację do 1 dla zerowego przesunięcia):
+
==Ćwiczenie 6==
  
−
<ol type="A">
+
Oblicz funkcje DTF dla sygnałów zebranych podczas eksperymentu z ruchu palcem (Pracownia EEG: https://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php/Pracownia_EEG/ERDS#Cwiczenia). Do analizy wybierz kanały położone nad korą ruchową rąk lewej i prawej: C3, Cz, C4, F3, F4. Oblicz wyniki dla poszczególnych realizacji eksperymentu, a następnie je uśrednij po realizacjach. Porównaj przepływy dla okresu referencyjnego (&minus;4..&minus;2 s) oraz dla okresu po ruchu (+0,5..+2,5 s).
−
<li> Losowa zmiana kolejności próbek w analizowanych sygnałach (we wszystkich analizowanych kanałach). Jeżeli pomiędzy dwoma sygnałami istnieją jakieś zależności, losowa zamiana próbek doprowadzi do zniszczenia tych związków. W ten sposób uzyskujemy sygnały, które teoretycznie są nieskorelowane.
+
Porównaj również wyniki dla normalizowanej i nienormalizowanej wersji funkcji DTF.  
−
<li> Obliczenie funkcji korelacji dla sygnałów otrzymanych w punkcie A.
 
−
<li>    Zapamiętanie maksymalnej wartości bezwzględnej funkcji korelacji z punktu B (maksimum bierzemy po wszystkich przesunięciach i po wszystkich parach kanałów).
 
−
<li> Powtórzenie kroków A-C 1000 razy. Uzyskamy w ten sposób rozkład maksymalnych wartości funkcji korelacji możliwych do zaobserwowania dla sygnałów niezależnych.
 
−
<li>    Wyznaczenie 95 centyla rozkładu wartości maksymalnych.
 
−
<li> Nałożenie na rysunki funkcji korelacji uzyskane w Zadaniu 2 poziomych linii symbolizujących poziom zależności dwóch sygnałów o losowych zależnościach i sprawdzenie, dla których przesunięć <math>\tau </math> wartości funkcji korelacji przekraczają estymowane progi istotności statystycznej.
 
−
</ol>
 
  
−
</ol>
+
Podziel cały wybrany odcinek danych eksperymentalnych (&minus;5..+5 s) na okna o długości 1 sekundy nakładające się na siebie z zakładką 0,5 s. Policz dla każdego okna nienormalizowane funkcje DTF (uśredniając po realizacjach). Narysuj otrzymane wyniki w postaci macierzy map czas-częstość obrazujących zmiany intensywności przepływów w czasie.
  
−
[[Plik:Korelacje_wzajemne.png|700px|center|thumb|<figure id="uid9" />Przykład wyniku analizy korelacji wzajemnych dla sygnału niefiltrowanego z naniesionymi granicami możliwych fluktuacji.]]
+
=Literatura=
 +
* Kamiński M, Blinowska KJ. A new method of the description of the information flow in brain structures. Biol Cybern 1991; 65:203–10.
 +
* Granger CWJ. Investigating causal relations in by econometric models and crossspectral methods. Econometrica 1969; 37:424–38.
 +
* Kamiński M, Ding M, Truccolo W, Bressler S. Evaluating causal relations in neural systems: Granger causality, directed transfer function and statistical assessment of significance. Biol Cybern 2001; 85:145–57.

Aktualna wersja na dzień 08:51, 25 maj 2022

Laboratorium_EEG/MVAR

Wielokanałowe modele AR

Model AR opisuje wartość sygnału w chwili czasu t jako kombinację liniową jego wartości w chwilach poprzednich oraz szumu.

[math]X(t)=\sum_{j=1}^p {A(j)X(t-j)}+E(t) [/math]

Wzór powyższy może posłużyć do jednoczesnego opisu wielu sygnałów tworzących układ wielokanałowy. Mamy wtedy (dla k kanałów):

[math] \let\hdots \dots X(t)=\left( \begin{array}{c} X_1(t)\\X_2(t)\\ \vdots\\X_k(t) \end{array}\right),\ E(t)=\left( \begin{array}{c} E_1(t)\\E_2(t)\\ \vdots\\E_k(t) \end{array}\right),\ A(j)= \left( \begin{array}{cccc} A_{11}(j) & A_{12}(j) & \hdots & A_{1k}(j)\\ A_{21}(j) & A_{22}(j) & \hdots & A_{2k}(j)\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\A_{k1}(j) & A_{k2}(j) & \hdots & A_{kk}(j) \end{array}\right) [/math]

Uzyskujemy w ten sposób tzw. model wielokanałowy (wielozmienny, ang. multichannel, multivariate, MVAR). Należy odróżniać taki model od wersji wielowymiarowej, w której opisywany proces X zależy od wielu zmiennych, np. w wersji dwuwymiarowej szukalibyśmy X(x, y). Modelami wielowymiarowymi nie będziemy się tu zajmować.

Podobnie jak w przypadku jednokanałowym możemy przetransformować model do przestrzeni częstości uzyskując zależność

[math] A(f)X(f)=E(f) [/math]

gdzie, podobnie jak poprzednio, odpowiednie wielkości stają się wektorami k-wierszowymi i macierzami rozmiaru k×k:

[math] X(f)=\left( \begin{array}{c} X_1(f)\\X_2(f)\\ \vdots\\X_k(f) \end{array}\right),\ E(f)=\left( \begin{array}{c} E_1(f)\\E_2(f)\\ \vdots\\E_k(f) \end{array}\right),\ A(f)=\left( \begin{array}{cccc} A_{11}(f) & A_{12}(f) & \hdots & A_{1k}(f)\\ A_{21}(f) & A_{22}(f) & \hdots & A_{2k}(f)\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\A_{k1}(f) & A_{k2}(f) & \hdots & A_{kk}(f) \end{array}\right) [/math]

Mnożąc powyższe równanie lewostronnie przez macierz A−1 otrzymujemy

[math] X(f)=A^{-1}(f)E(f)=H(f)E(f) [/math]

Macierz H nazywana jest macierzą przejścia (ang. transfer matrix) modelu.

Przyczynowość

Aby móc efektywnie opisywać zależności przyczynowe między sygnałami musimy w matematyczny sposób opisać, w jaki sposób tego typu zależności rozumiemy. W przypadku sygnałów biomedycznych będziemy musieli uwzględnić ich stochastyczny charakter. Zakładamy również, że na wartość danych w chwili obecnej mogą wpływać jedynie czynniki z chwil poprzednich (skutek nie może wyprzedzać przyczyny).

Przyczynowość Grangera

Szeroko stosowaną definicją przyczynowości między sygnałami jest definicja podana przez Grangera (Clive Granger, ekonomista i matematyk amerykański). Bazuje ona na przewidywalności szeregów czasowych. Wyobraźmy sobie, że próbujemy przewidzieć wartość sygnału (szeregu czasowego) X w chwili czasu t używając wartości tego samego sygnału zmierzonych w chwilach poprzednich, wziętych z pewnymi współczynnikami A:

[math] X(t)=\sum_{j=1}^\infty{A(j)X(t-j)}+E(t) [/math]

W powyższym wzorze wielkość E(t) jest uzyskanym przez nas błędem dopasowania.

Spróbujmy teraz przewidzieć wartość X(t), ale wzbogacając formułę po prawej stronie poprzednimi wartości innego sygnału Y

[math] X(t)=\sum_{j=1}^\infty{A(j)X(t-j)}+\sum_{j=1}^\infty{B(j)Y(t-j)}+N(t) [/math]

Uzyskujemy nowy błąd dopasowania N. Zasada sformułowana przez Grangera mówi, że jeśli po dodaniu poprzednich próbek drugiego sygnału nasze przewidywanie sygnału pierwszego się poprawiło, to kanał drugi (Y) jest przyczynowym dla pierwszego (X). Matematycznie jakość predykcji badamy porównując wariancje szumów N i E:

  • jeśli var(N) < var(E) to Y jest przyczynowy dla X.

Tak rozumianą relację przyczynowości między sygnałami nazywamy przyczynowością Grangera (lub przyczynowością w sensie Grangera, ang. Granger causality).

Zauważmy, że predykcja nie pogorszy się (pierwotne wyrażenie z poprzednimi wartościami X wciąż we wzorze jest), może albo pozostać bez zmian (jeśli Y nie ma nic wspólnego z X) albo się poprawić.

Funkcja DTF

W procesie dopasowywania współczynników modelu AR staramy się je tak dobrać, aby jak najlepiej opisać nasz sygnał, czyli aby jak najmniejsza część wariancji sygnału zostawała dla składowej losowej E(t). Możemy więc interpretować tę czynność jak w przypadku przewidywania wartości sygnału X na podstawie jego poprzednich wartości, a składową losową traktować jak błąd predykcji. Tak więc na podstawie badania współczynników dopasowanego modelu możemy wnioskować o zależnościach przyczynowych w naszych danych (wielokanałowych).

Załóżmy, że dla układu dwukanałowego dopasowaliśmy model AR rzędu 1 otrzymując

[math]\left( \begin{array}{c} X_1(t)\\X_2(t) \end{array}\right)= \left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12}\\ 0 & a_{22} \end{array}\right) \left( \begin{array}{c} X_1(t-1)\\X_2(t-1) \end{array}\right) +\left( \begin{array}{c} E_1(t)\\E_2(t) \end{array}\right) [/math]

Analiza współczynników dopasowanego modelu również dostarcza nam informacji o zależnościach między sygnałami w analizowanym zestawie. Obecność niezerowego współczynnika a12 oznacza, że poprzednie próbki sygnału X2 mają wpływ na bieżącą próbkę sygnału X1. Natomiast współczynnik a21 wynosi 0, widzimy więc, że poprzednie próbki sygnału X1 nie wpływają na bieżącą próbkę sygnału X2. Wnioskujemy więc, że w naszym układzie występuje wpływ X2→X1, a nie ma wpływu X1→X2. Widzimy również, że każdy kierunek możliwego wpływu jest niezależny od drugiego i mogą wystąpić każdy osobno lub oba równocześnie, zależnie od charakteru danych. Tego typu zależności nie bylibyśmy w stanie wykryć posługując się np. analizą korelacji.

Informacja zawarta we współczynnikach modelu A mówi nam o zależnościach w dziedzinie czasu. Aby móc coś powiedzieć o zależnościach w dziedzinie częstości wykorzystamy macierz przejścia H modelu AR wyrażonego w dziedzinie częstości:

[math] X(f)=A^{-1}(f)E(f)=H(f)E(f) [/math]

Macierz H produkuje z transformat Fouriera sygnałów szumowych (posiadających z definicji widmo płaskie, niezależne od częstości) widmo badanych sygnałów. Zawiera więc ona potrzebną nam informację o zależnościach miedzy naszymi sygnałami w dziedzinie częstości. Jest to macierz niesymetryczna, jej element Hij(f) mówi o intensywności wpływu sygnału Xj na sygnał Xi w częstości f.

Z elementów macierzy H zbudowana jest kierunkowa funkcja przejścia (ang. directed transfer function, DTF). Istnieje kilka wariantów tej funkcji, poniżej prezentowane są wzory opisujące wersję znormalizowaną i nieznormalizowaną.

Wersja znormalizowana

  • [math]\mathrm{DTF}_{ij}(f)=\mathrm{DTF}_{j\rightarrow i}(f)=\frac{\left| H_{ij}(f) \right|^2}{\sum_{m=1}^k{\left| H_{im}(f) \right|^2} }[/math]

Wersja nieznormalizowana

  • [math]\mathrm{NDTF}_{ij}(f)=\mathrm{NDTF}_{j\rightarrow i}(f)=\left| H_{ij}(f) \right|^2[/math]

Wersja nieznormalizowana to po prostu kwadrat modułu odpowiedniego elementu macierzy H. Jego wartość jest wprost proporcjonalna do intensywności związku między sygnałami; zależy ona od wariancji danych i może być dowolnie duża. Wersja znormalizowana opisuje stosunek wpływu z kanału o indeksie j do kanału o indeksie i (w częstości f) w stosunku do wszystkich wpływów do kanału o indeksie i (w tej częstości). W ten sposób wartość ta jest znormalizowana do przedziału [0, 1].

Dla obu wersji funkcji DTF wartości bliskie zeru mówią o braku związku między danymi sygnałami.

Zauważmy jeszcze, że model AR traktuje wszystkie kanały modelowanego układu na raz (jednocześnie). Jest to sytuacja zupełnie inna niż w przypadku badania każdej pary kanałów osobno.

Ćwiczenia

Wstęp do ćwiczeń

Do ćwiczeń w tym rozdziale używać będziemy zestawu danych, które służyły w poprzednim rozdziale do wyznaczania komponentów ICA (http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Dane_do_ICA_alfa.tar.gz). Aby dostosować je do naszych celów dokonamy na nich następujących operacji:

  • wybierzemy kanały EEG;
  • zastosujemy montaż do połączonych uszu (kanały A1 i A2);
  • zmniejszymy częstość próbkowania z 512 do 128 Hz (stosując antyaliasingowy filtr dolnoprzepustowy funkcją filtfilt i biorąc co czwartą próbkę filtrowanego sygnału);
  • przefiltrujemy sygnał (po zmianie) górnoprzepustowo z granicą odcięcia 1 Hz (stosując funkcję filtfilt).

Aby dopasować współczynniki modelu MVAR do posiadanych danych użyjemy funkcji licz_wsp_AR.m zawartej w pakiecie: MVAR_Matlab.zip — należy go ściągnąć i wypakować do katalogu roboczego. Funkcja ta zwraca współczynniki A modelu MVAR oraz macierz wariancji szumu V. Aby uzyskać macierz przejścia modelu H należy zaimplementować samemu procedurę transformacji współczynników do dziedziny częstości (patrz: tu).

Przez „szum” rozumieć będziemy wektor wartości losowych zwracanych przez funkcję randn.

Ćwiczenie 1

Z zestawu danych do obliczania ICA (poprzedni rozdział) wybierz jeden kanał EEG, zawierający wyraźną czynność alfa.

Przytnij wybrany odcinek do długości 2000 próbek. Podziel wybrany odcinek danych przez ich odchylenie standardowe.

UWAGA:

  • Sygnał po wycięciu z oryginalnego nagrania musimy jeszcze przefiltrować filtrem górnoprzepustowym (o granicy odcięcia np. 1 Hz) aby z sygnału usunąć składową stałą i inne efekty „płynięcia” o niskich częstościach. Możemy zastosować np. filtr Butterwortha, przyzwyczajajmy się również do filtrowania funkcją filtfilt.
  • „szum” w opisie konstrukcji drugiego kanału wytwarzamy funkcją randn.
  • Po skonstruowaniu kanału 2 również dzielimy go przez jego wariancję aby oba sygnały miały jednakową wariancję (jednostkową).

Wygeneruj dwa zestawy danych:

  • Zestaw 1
   Kanał 1 to nasz wybrany kanał EEG
   Kanał 2 = (kanał 1 opóźniony o 1 próbkę)*0,6 + szum*0.15
  • Zestaw 2
  Kanał 1 to nasz wybrany kanał EEG
  Kanał 2 = szum

Dla obu zestawów danych sprawdź stosując metodę przyczynowości Grangera, który sygnał możemy uznać za przyczynowy dla drugiego sygnału. W tym celu w każdym zestawie dopasuj kolejno jednokanałowe modele AR oraz model dwukanałowy i porównaj otrzymane wariancje szumu.

Ćwiczenie 2

Dla obu zestawów danych z ćwiczenia 1 dopasuj dwukanałowe modele AR dla rzędów od 1 do 10. Sprawdź, ile wynoszą współczynniki a12 i a21 dopasowanych modeli AR w dziedzinie czasu dla m = 1...p. Dla każdego rzędu p oblicz dla kanałów 1 i 2 oraz 2 i 1 miarę DC [3]:

[math] \mathrm{DC}_{ij}^2=\sum_{m=1}^p{a_{ij}^2(m)} [/math]

Ćwiczenie 3

  • Wygeneruj dwa sygnały sinusoidalne o długości 1000 próbek każdy, o tej samej częstości 32 Hz i częstości próbkowania 128 Hz, ale różnych fazach początkowych.
  • Pierwszy sygnał powinien mieć fazę początkową równą 0, drugi sygnał sinusoidalny powinien mieć fazę początkową równą π/4.
  • Do drugiego z sygnałów dodaj małą (o amplitudzie ok 0,2 amplitudy sinusoidy) składową losową (czyli dodatkowy niezależny szum biały).
  • Z tak otrzymanych sygnałów utwórz jeden sygnał dwukanałowy (macierz o rozmiarze (2,1000)).

Ustal optymalny rząd modelu AR (tym razem dwukanałowego) i oblicz macierz gęstości widmowej mocy oraz koherencji między tymi sygnałami. Narysuj moduł i fazę koherencji C12 i C21.

Dla tego zestawu kanałów oblicz i narysuj normalizowaną i nienormalizowaną funkcję DTF.

Zmień fazę początkową drugiego sygnału. Jak zmienia się funkcja koherencji? Co dzieje się z funkcją DTF?

Ćwiczenie 4

Ćwiczenie to opisuje problem tzw. wspólnego źródła. W takiej sytuacji prawdziwa analiza wielokanałowa wykazuje swoją przewagę nad badaniem zależności parami (dla każdej pary kanałów osobno).

Wygeneruj układ trzech sygnałów w następujący sposób: 

   jako pierwszego kanału użyj sygnału z ćwiczenia 1;
   sygnał_w_drugim_kanale(t) = 0,4 * sygnał_z_pierwszego_kanału(t−1) + 0,4 * szum1;
   sygnał_w_trzecim_kanale(t) = 0,3 * sygnał_z_pierwszego_kanału(t−2) + 0,4 * szum2.

Oblicz macierz koherencji zwyczajnych dla tego układu i na ich podstawie wyznacz zależności między kanałami. Powtórz to samo dla koherencji cząstkowych.

Oblicz dla tego zestawu danych funkcje DTF.

Oblicz funkcję DTF tylko dla kanałów 2 i 3 (model dwukanałowy). Czym różni się wynik od odpowiedniej funkcji dla układu wszystkich trzech kanałów?

Wyniki wszystkich obliczeń przedstaw na rysunkach.

Ćwiczenie 5

Oblicz funkcje DTF dla wszystkich kanałów EEG z przygotowanego zestawu danych do ICA (dla pełnej długości w czasie każdego kanału). Zaobserwuj przepływy w paśmie częstości alfa.

Ćwiczenie 6

Oblicz funkcje DTF dla sygnałów zebranych podczas eksperymentu z ruchu palcem (Pracownia EEG: https://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php/Pracownia_EEG/ERDS#Cwiczenia). Do analizy wybierz kanały położone nad korą ruchową rąk lewej i prawej: C3, Cz, C4, F3, F4. Oblicz wyniki dla poszczególnych realizacji eksperymentu, a następnie je uśrednij po realizacjach. Porównaj przepływy dla okresu referencyjnego (−4..−2 s) oraz dla okresu po ruchu (+0,5..+2,5 s). Porównaj również wyniki dla normalizowanej i nienormalizowanej wersji funkcji DTF.

Podziel cały wybrany odcinek danych eksperymentalnych (−5..+5 s) na okna o długości 1 sekundy nakładające się na siebie z zakładką 0,5 s. Policz dla każdego okna nienormalizowane funkcje DTF (uśredniając po realizacjach). Narysuj otrzymane wyniki w postaci macierzy map czas-częstość obrazujących zmiany intensywności przepływów w czasie.

Literatura

  • Kamiński M, Blinowska KJ. A new method of the description of the information flow in brain structures. Biol Cybern 1991; 65:203–10.
  • Granger CWJ. Investigating causal relations in by econometric models and crossspectral methods. Econometrica 1969; 37:424–38.
  • Kamiński M, Ding M, Truccolo W, Bressler S. Evaluating causal relations in neural systems: Granger causality, directed transfer function and statistical assessment of significance. Biol Cybern 2001; 85:145–57.
Źródło: „http://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php?title=Laboratorium_EEG/AR_1&oldid=8852”