Ćwiczenia 6: Różnice pomiędzy wersjami

Z Brain-wiki
m
 
(Nie pokazano 40 pośrednich wersji utworzonych przez tego samego użytkownika)
Linia 2: Linia 2:
  
  
−
==Wprowadzenie==
+
=Wprowadzenie=
−
W analizie sygnałów filtowanie rozumiane jest najczęściej jako operacja mająca na celu usunięcie z sygnału pewnych składowych. Często operacja ta dotyczy składowych charakteryzowanych przez częstości. Np. w sygnale EEG wiemy, że znaczącym artefaktem jest sygnał pochodzący od sieci energetycznej, zatem stosujemy filtr usuwający składową około 50Hz (w Europie). Inny przykład z tej samej dziedziny: interesuje nas czynność alfa (8 -12 Hz), chcemy zatem usunąć z sygnału składowe o niższych i o wyższych częstościach. Do modyfikowania zawartości częstotliwościowej sygnałów najczęściej stosuje się filtry należące do klasy systemów liniowych niezmienniczych w czasie ([[Systemy_liniowe_niezmiennicze_w_czasie|LTI]]). Jak wiemy systemy te można scharakteryzować podając ich funkcję odpowiedzi impulsowej ''h'', a ich działanie na sygnał wejściowy to splot tej funkcji z sygnałem.
+
* W analizie sygnałów filtowanie rozumiane jest najczęściej jako operacja mająca na celu usunięcie z sygnału pewnych składowych. Często operacja ta dotyczy składowych charakteryzowanych przez częstości np.:
 +
** w sygnale EEG wiemy, że znaczącym artefaktem jest sygnał pochodzący od sieci energetycznej, zatem stosujemy filtr usuwający składową około 50Hz (w Europie).  
 +
** inny przykład z tej samej dziedziny: interesuje nas czynność alfa (8 -12 Hz), chcemy zatem usunąć z sygnału składowe o niższych i o wyższych częstościach.  
 +
* Filtry często są realizowane w postaci systemów LTI (linear time invariant):
 +
** dla takich systemów funkcjami własnymi są zespolone eksponensy (czyli na mocy wzorów Eulera:  sinusy i cosinusy)
 +
** w przestrzeni częstości filtrowanie odpowiada przemnożeniu każdej składowej częstościowej przez pewną liczbę (zespoloną)-> zatem zmienić się może amplituda i faza każdej częstości
 +
** w dziedzinie czasu to mnożenie odpowiada splotowi sygnału z pewną funkcją tzw.funkcją odpowiedzi impulsowej
  
−
===Filtrowanie a sploty===
+
=Filtry cyfrowe: powtórka z wykładu=
 +
==Działanie filtra w dziedzinie czasu==
 +
Najczęściej, wyjście filtra jest kombinacją liniową:
 +
 
 +
:<math> y[n] = b(1)x[n] + b(2)x[n-1] + ... + b(n_b+1)x[n-n_b]</math>
 +
:::<math>                - a(2)y[n-1] - ... - a(n_a+1)y[n-n_a]      </math>
 +
 
 +
gdzie:
 +
 
 +
* <math> n_b </math> liczba przeszłych próbek wejściowych <math> x </math>
 +
* <math> n_a </math> liczba przeszłych próbek wyjściowych <math> y </math>
 +
 
 +
użytych do obliczenia aktualnego wyjścia <math> y[n] </math>.
 +
 +
Większa z liczb  <math> n_b </math> i <math> n_a </math> określa '''rząd''' filtra.
 +
 
 +
Zauważmy, że matematycznie operacje te odpowiadają splataniiu próbek wejściowych z wektorem <math>b</math> i próbek wyjściowych z wektorem <math>a</math>.
 +
 
 +
==Nazewnictwo==
 +
 
 +
* Jeśli  <math>n_a=0 </math> i  <math>n_b \ne 0 </math>  filtr nazywany jest filtrem o skończonej odpowiedzi impulsowej (FIR), czasem jest on nazywany średnią ruchomą (MA).
 +
* Jeśli <math>n_b=0 </math> i  <math>n_a \ne 0 </math> filtr ma nieskończoną odpowiedź impulsową (IIR).  Bywa też nazywany filtrem autoregresyjnym (AR).
 +
* Jeśli  <math>n_b \ne 0 </math> i  <math>n_a \ne 0  </math> także jest filtrem o nieskończonej odpowiedzi impulsowej. Czasem mówi się o nim filtr ARMA - autoregressive moving average.
 +
 
 +
 
 +
Zwykle  filtry IIR  mają niższy rząd niż filtry FIR o tym samym poziomie tłumienia.
 +
 
 +
==Przejście do dziedziny częstości==
 +
::<math> y[n]+ a(2)y[n-1] + ... + a(n_a+1)y[n-n_a] =  </math>
 +
:::::::::<math> =b(1)x[n] + b(2)x[n-1] + ... + b(n_b+1)x[n-n_b] </math>
 +
zastosowanie transformaty Z do bu stron daje:
 +
:<math>A(z)Y(z)=B(z)X(z)</math>
 +
Przekształcamy:
 +
::<math>Y(z)=A(z)^{-1}B(z)X(z) =H(z)X(z)</math>
 +
Funkcja<math>H$</math> w tym równaniu nazywana jest funkcją przenoszenia filtra. Ma ona formę ilorazu dwóch wielomianów:
 +
::<math>H(z)=\frac{b(1)+b(2)z^{-1}+\dots+b(n_b+1)z^{-n_b}}{a(1)+a(2)z^{-1}+\dots+a(n_a+1)z^{-n_a}}</math>
 +
 
 +
 
 +
===Działanie filtra w dziedzinie częstości===
 +
 
 +
* Funkcję przenoszenia zależną od częstości, <math>H(f)</math>, można uzyskać podstawiając <math> z=e^{i 2 \pi f}</math>
 +
* Ta funkcja przypisuje każdej częstości  <math>f</math> pewną liczbę zespoloną, która ma moduł <math>M</math> i fazę<math>\phi</math>:
 +
:::<math>H(f)=M(f)e^{i \phi(f)}</math>
 +
* Zatem działanie filtra to mnożenie każdej składowej Fourierowskiej sygnału przez liczbę zespoloną <math>H(f)</math>;
 +
 
 +
* Widać więc, że filtr może takiej składowej zmienić amplitudę i fazę, ale nie może jej zmienić częstości.
 +
 
 +
* ''Jest to przejaw tego, że sinusoidy są funkcjami własnymi układów LTI''
 +
 
 +
===Opóźnienie grupowe===
 +
Pokazaliśmy, że filtr mnoży każdą składową przez liczbę <math>M(f)e^{i \phi(f)}</math>, przez co zmienia jej fazę o <math>\phi(f)</math>. W konsekwencji składowa o częstości <math>f</math> pojawia się na wyjściu filtra z opóźnieniem:
 +
<math>\tau_g(f)=-\frac{d \phi(f)}{d f}</math>
 +
 
 +
* Jeśli zależność fazy od częstości jest liniowa (tak jest dla filtrów FIR) to <math>\tau_g(f)=const</math>, czyli wszystkie składowe pojawiają się z tym samym opóźnieniem.
 +
* Dla nieliniowej zależności <math>\phi(f)</math> każda składowa jest opóźniona inaczej. Powoduje to dodatkowe zniekształcenia sygnału.
 +
 
 +
=====Opóźnienie grupowe i fazowe filtru - interpretacja=====
 +
 
 +
Interpretacja własności fazowych filtru łatwiejsza jest jeśli zamiast fazy wykreślimy opóźnienie fazowe lub grupowe.
 +
* Opóźnienie fazowe zdefiniowane jest jako:
 +
 
 +
::<math>\tau_p(\omega )=-\frac{\phi(\omega)}{\omega}</math>
 +
 
 +
Sens tej definicji widać jeśli zastosujemy ją do sinusa o częstości <math>\omega_1</math> i fazie <math>\phi_1</math>.
 +
<math>\sin(\omega_1 t + \phi_1)= \sin(\omega_1 t - \omega_1 \tau_p(\omega_1)) = \sin(\omega_1 (t-\tau_p(\omega_1))) </math>
 +
 
 +
 
 +
* opóźnienie grupowe zdefiniowane jest jako:
 +
 
 +
::<math>\tau _g(\omega )=-\frac{d \phi (\omega )}{d \omega }</math>
 +
 
 +
Sens tej definicji widać jeśli rozważymy co stanie się z sygnałem składającym się z dwóch cosinusiod o bliskich sobie częstościach <math>\omega_1</math> i <math> \omega_2</math>. Załóżmy, że filtr przenosi każdą z nich z niezmienioną amplitudą i jedynie faza ulega przesunięciu odpowiednio o <math>\phi_1</math> i <math>\phi_2</math>.
 +
Na wejściu nasz sygnał można przedstawić tak:
 +
:<math>\cos(\omega_1 t) + \cos(\omega_2 t) = 2\cos\left(\frac{\omega_1-\omega_2}{2}t\right)\cos\left(\frac{\omega_1+\omega_2}{2}t\right)= 2\cos\left(\frac{\Delta\omega}{2}t\right)\cos\left(\frac{\omega_1+\omega_2}{2}t\right)</math>
 +
Widać, że takie dwa cosinusy powodują efekt dudnienia. Innymi słowy można je postrzegać jako oscylację z częstością średnią obu cosinusów modulowaną wolno zmienną (<math>\Delta \omega/2</math>) obwiednią.
 +
Sygnał wyjściowy z naszego filtru modyfikującego tylko fazy można zapisać tak:
 +
:<math>y = \cos(\omega_1 t +\phi_1) + \cos(\omega_2 t +\phi_2) = 2\cos\left(\frac{\omega_1-\omega_2}{2}t +\frac{\phi_1-\phi_2}{2}\right)\cos\left(\frac{\omega_1+\omega_2}{2}t+\frac{\phi_1+\phi_2}{2}\right)</math>
 +
Oznaczmy <math>\Delta \phi = \phi_1 - \phi_2</math>.
 +
:<math> y = 2\cos\left(\frac{1}{2} \left(\Delta\omega t +\Delta\phi \right) \right)\cos\left(\frac{\omega_1+\omega_2}{2}t+\frac{\phi_1+\phi_2}{2}\right) </math>
 +
 
 +
Wprowadzając <math> t_g = - \frac{ \Delta \phi}{\Delta \omega}</math> mamy:
 +
:<math>
 +
y = 2\cos\left(\frac{1}{2} \left(\Delta\omega t - \Delta\omega t_g \right)  \right)\cos\left(\frac{\omega_1+\omega_2}{2}t+\frac{\phi_1+\phi_2}{2}\right) =
 +
</math>
 +
:<math>
 +
= 2\cos\left(\frac{1}{2} \Delta\omega \left(t - t_g \right)  \right)\cos\left(\frac{\omega_1+\omega_2}{2}t+\frac{\phi_1+\phi_2}{2}\right)
 +
</math>
 +
Zatem widzimy, że obwiednia przesunięta jest w czasie o <math>t_g</math>. W granicznym przypadku ciągłym <math>\lim_{\Delta \omega \to 0}t_g =  \tau_g</math>
 +
 
 +
===Filtrowanie z zerowym przesunięciem fazowym===
 +
Można temu zaradzić następującą procedurą:
 +
 
 +
* filtrujemy sygnał <math>x[0], \dots , x[n] \rightarrow y[0],\dots, y[n]</math> wprowadzamy przesunięcie fazy o <math>\phi(f)</math>
 +
* odwracamy kolejność próbek i ponownie filtrujemy  <math> y[n],\dots,y[0] \rightarrow  y'[n],\dots,y'[0] </math> wprowadzamy przesunięcie fazy o <math>-\phi(f)</math>
 +
* odwracamy kolejność próbek: <math>y'[0],\dots,y'[n] </math>
 +
 
 +
Efektywnie wygląda to tak jakbyśmy przefiltrowali sygnał filtrem o funkcji przenoszenia z zerowym przesunięciem fazowym:
 +
<math>H_{eff}(f)=A(f)e^{i \phi(f)}\cdot A(f)e^{-i \phi(f)}= A(f)^2</math>
 +
 
 +
===Pytanie===
 +
 
 +
* co to jest odpowiedź impulsowa filtra?
 +
* jak filtr działa w dziedzinie czasu?
 +
* co to jest funkcja przenoszenia filtra?
 +
* jak filtr działa w dziedzinie częstości?
 +
 
 +
=Klasyczne filtry IIR=
 +
Mamy cztery klasyczne typy filtrów IIR:
 +
;Butterwortha: daje monotoniczną funkcję przenoszenia
 +
;Czebyszewa typu I: - dopuszczalne tętnienia w paśmie przenoszenia, monotoniczne w paśmie zaporowym
 +
;Czebyszewa typu II:-monotoniczne w paśmie przenoszenia, dopuszczalne tętnienia w paśmie zaporowym, nieco mniej strome zbocze opadające funkcji przenoszenia niż dla typu I
 +
;Filtr eliptyczny: mają dopuszczalne tętnienia zarówno w paśmie przenoszenia jak i tłumienia. Dają najbardziej strome zbocza przy tym samym rzędzie co powyższe wersje.
 +
 
 +
 
 +
===Specyfikacja filtra===
 +
W określaniu parametrów filtrów używa się często pojęcia decybel [dB].
 +
Dwa poziomy sygnału <math>P</math> oraz <math>P_0</math> różnią się o <math>n</math> decybeli, jeżeli
 +
 
 +
::<math>n = 10 \log _{10} \frac{P}{P_0} = 10 \log_{10}\left(\frac{A}{A_0}\right)^2 = 20\log_{10}\frac{A}{A_0} </math>
 +
 
 +
* Ilustracja pojęć używanych przy specyfikacji filtra:
 +
** Rp- tętnienia w paśmie przenoszenia
 +
** Rs - tłumienie w paśmie tłumienia
 +
 
 +
[[Plik:Filtry.png|600px|thumb|center| Przykładowe parametry specyfikujące filter ]]
 +
 
 +
* można też podać częstość odcięcia i zbocze filtru zgodnie z oznaczeniami na poniższym rysunku:
 +
[[Plik:Butterworth_filter_bode_plot.png|600px|center  ]]
 +
 
 +
* Przykład projektu fltra i jego działanie na sygnały testowe:
 +
 
 +
[[Plik:Fig_2_1.png|center| thumb|750px| a)  Moduł funkcji przenoszenia. Projekt (szara linia), realizacja dla filtra eliptycznego 5  rzędu (czarna linia), b) Opóźnienie grupowe. c) Zastosowanie filtra do sygnału złożonego z sinusoidy  10Hz i 50Hz: szare - wejście, czarne- wyjście. d) Przesunięcia i efekty brzegowe: wejście (szare) to sinusoida  3Hz ze strukturą  25Hz w okolicach 0.6s; wyjście (czarna linia) (i) w pierwszych  0.1s zniekształcenia brzegowe (ii)opóźnienia: sinusoida 3Hz jest opóźniona wzg wejścia, struktura 25Hz ma większe opóźnienie i rozciągłość, co wynika z funkcji opóźnienia grupowego b)} } ]]
 +
 
 +
==Projektowanie filtrów w programie Svarog==
 +
 
 +
Program SVAROG ma wygodne narzędzie do projektowania filtrów IIR. Zanim przejdziemy do implementowania tych filtrów w pythonie, spróbujemy nabrać wyczucia w SVAROGU.
 +
 
 +
W celu zaprojektowania filtru w Svarogu należy sprecyzować następujące parametry:
 +
 
 +
* '''Typ filtru''' - dolnoprzepustowy, górnoprzepustowy, pasmowoprzepustowy, pasmowozaporowy.
 +
* '''Rodzaj filtru''' - Butterwortha, Czebyszewa I i II, eliptyczny.
 +
* '''Częstotliwość graniczna pasma przepustowego 1''' - górna częstotliwość pasma przenoszenia oddzielająca pasmo przenoszenia od obszaru przejściowego.
 +
* '''Częstotliwość graniczna pasma przepustowego 2''' - w przypadku filtru pasmowoprzepustowego lub pasmowozaporowego istnieją dwa obszary przejściowego; w związku z tym częstotliwość graniczna 1 oddziela pasmo przenoszenia od pierwszego obszaru przejściowego (ma niższą wartość), a częstotliwość graniczna 2 separuje pasmo przenoszenia od drugiego obszaru przejściowego.
 +
* '''Częstotliwość graniczna pasma zaporowego 1''' - dolna częstotliwość pasma zaporowego oddzielająca pasmo zaporowe od obszaru przejściowego.
 +
* '''Częstotliwość graniczna pasma zaporowego 2''' -  w przypadku filtru pasmowoprzepustowego lub pasmowozaporowego częstotliwość graniczna 1 oddziela pasmo zaporowe od pierwszego obszaru przejściowego (ma niższą wartość), a częstotliwość graniczna 2 separuje pasmo zaporowe od drugiego obszaru przejściowego.
 +
* '''Zafalowania w paśmie przenoszenia''' - maksymalna wartość tłumienia w paśmie przenoszenia.
 +
* '''Tłumienie w paśmie zaporowym''' - minimalna wartość tłumienia w paśmie zaporowym.
 +
 
 +
===Przykład===
 +
Rysunek poniżej przedstawia charakterystykę amplitudową górnoprzepustowego filtru Czebyszewa I. Filtr został zaprojektowany przy użyciu następujących parametrów:
 +
 
 +
* Filter type = high-pass
 +
* Filter family = Chebyshev I
 +
* Passband edge frequency 1 = 20 Hz
 +
* Stopband edge frequency 1 = 16 Hz
 +
* Passband ripple = 3 dB
 +
* Stopband attenuation = 40 dB
 +
 
 +
Rząd filtru zostaje dostosowany do wymagań projektowych.
 +
 
 +
[[Plik:Svarog_fillter_bands.png|center|800px|thumb|<figure id="uid3"/>Charakterystyka amplitudowa górnoprzepustowego filtru Czebyszewa I.]]
 +
 
 +
[[Plik:Projekt filtra svarog.png |center| thumb|750px| Okienko projektowania flirtrów w programie SVAROG]]
 +
 
 +
===Zadanie===
 +
 
 +
Przydadzą nam się pliki:
 +
[https://drive.google.com/open?id=0BzwQ_Lscn8yDNGc0aU5jSDFFMmc Plik z sygnałem EKG]
 +
[https://drive.google.com/open?id=0BzwQ_Lscn8yDOF9jX0pjcG9LSGc Plik z metadanymi do tego sygnału]
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<!--
 +
 
 +
=Filtrowanie a sploty=
 
Poniższy przykład pokazuje działanie filtra zadanego przez funkcję odpowiedzi impulsowej. Filtr ten uśrednia 4 sąsiednie próbki.  
 
Poniższy przykład pokazuje działanie filtra zadanego przez funkcję odpowiedzi impulsowej. Filtr ten uśrednia 4 sąsiednie próbki.  
 
* Pierwszy rysunek pokazuje działanie filtra na sygnał będący impulsem. Ma to nam uzmysłowić pojęcie funkcji odpowiedzi impulsowej.  
 
* Pierwszy rysunek pokazuje działanie filtra na sygnał będący impulsem. Ma to nam uzmysłowić pojęcie funkcji odpowiedzi impulsowej.  
Linia 116: Linia 296:
 
'''Zera i bieguny''' filtra to odpowiednio miejsca zerowe licznika i mianownika funkcji przenoszenia.
 
'''Zera i bieguny''' filtra to odpowiednio miejsca zerowe licznika i mianownika funkcji przenoszenia.
  
−
===Implementacja filtrowania: funkcja lfilter===
 
−
Filtrowanie zgodne z powyższymi równaniami zaimplementowane jest w pythonie w module <tt>scipy.signal</tt> jako funkcja [http://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.signal.lfilter.html lfilter].
 
−
 
−
Podstawowe wywołanie tej funkcji dla sygnału <tt>we</tt> wygląda następująco:
 
−
<tt>wy = scipy.signal.lfilter(b,a,we)</tt> gdzie <tt>b, a</tt> są to współczynniki z poprzedniego równania.
 
−
np:
 
−
<source lang = python>
 
−
import numpy as np
 
−
import pylab as py
 
−
from  scipy.signal import lfilter
 
−
b = np.array([0.7,  0.5]) # licznik
 
−
a = np.array([1.0, -0.9]) # mianownik
 
−
we = np.random.randn(100)
 
−
wy=lfilter(b,a,we);
 
−
py.subplot(2,1,1)
 
−
py.plot(we)
 
−
py.subplot(2,1,2)
 
−
py.plot(wy)
 
−
py.show()
 
−
</source>
 
−
 
−
===Opóźnienie grupowe i fazowe filtru===
 
−
Interpretacja własności fazowych filtru łatwiejsza jest jeśli zamiast fazy wykreślimy opóźnienie fazowe lub grupowe.
 
−
* Opóźnienie fazowe zdefiniowane jest jako:
 
−
 
−
::<math>\tau_p(\omega )=-\frac{\phi(\omega)}{\omega}</math>
 
−
 
−
Sens tej definicji widać jeśli zastosujemy ją do sinusa o częstości <math>\omega_1</math> i fazie <math>\phi_1</math>.
 
−
<math>\sin(\omega_1 t + \phi_1)= \sin(\omega_1 t - \omega_1 \tau_p(\omega_1)) = \sin(\omega_1 (t-\tau_p(\omega_1))) </math>
 
−
 
−
 
−
* opóźnienie grupowe zdefiniowane jest jako:
 
−
 
−
::<math>\tau _g(\omega )=-\frac{d \phi (\omega )}{d \omega }</math>
 
−
 
−
Sens tej definicji widać jeśli rozważymy co stanie się z sygnałem składającym się z dwóch cosinusiod o bliskich sobie częstościach <math>\omega_1</math> i <math> \omega_2</math>. Załóżmy, że filtr przenosi każdą z nich z niezmienioną amplitudą i jedynie faza ulega przesunięciu odpowiednio o <math>\phi_1</math> i <math>\phi_2</math>.
 
−
Na wejściu nasz sygnał można przedstawić tak:
 
−
:<math>\cos(\omega_1 t) + \cos(\omega_2 t) = 2\cos\left(\frac{\omega_1-\omega_2}{2}t\right)\cos\left(\frac{\omega_1+\omega_2}{2}t\right)= 2\cos\left(\frac{\Delta\omega}{2}t\right)\cos\left(\frac{\omega_1+\omega_2}{2}t\right)</math>
 
−
Widać, że takie dwa cosinusy powodują efekt dudnienia. Innymi słowy można je postrzegać jako oscylację z częstością średnią obu cosinusów modulowaną wolno zmienną (<math>\Delta \omega/2</math>) obwiednią.
 
−
Sygnał wyjściowy z naszego filtru modyfikującego tylko fazy można zapisać tak:
 
−
:<math>y = \cos(\omega_1 t +\phi_1) + \cos(\omega_2 t +\phi_2) = 2\cos\left(\frac{\omega_1-\omega_2}{2}t +\frac{\phi_1-\phi_2}{2}\right)\cos\left(\frac{\omega_1+\omega_2}{2}t+\frac{\phi_1+\phi_2}{2}\right)</math>
 
−
Oznaczmy <math>\Delta \phi = \phi_1 - \phi_2</math>.
 
−
:<math> y = 2\cos\left(\frac{1}{2} \left(\Delta\omega t +\Delta\phi \right) \right)\cos\left(\frac{\omega_1+\omega_2}{2}t+\frac{\phi_1+\phi_2}{2}\right) </math>
 
−
 
−
Wprowadzając <math> t_g = - \frac{ \Delta \phi}{\Delta \omega}</math> mamy:
 
−
:<math>
 
−
y = 2\cos\left(\frac{1}{2} \left(\Delta\omega t - \Delta\omega t_g \right)  \right)\cos\left(\frac{\omega_1+\omega_2}{2}t+\frac{\phi_1+\phi_2}{2}\right) =
 
−
</math>
 
−
:<math>
 
−
= 2\cos\left(\frac{1}{2} \Delta\omega \left(t - t_g \right)  \right)\cos\left(\frac{\omega_1+\omega_2}{2}t+\frac{\phi_1+\phi_2}{2}\right)
 
−
</math>
 
−
Zatem widzimy, że obwiednia przesunięta jest w czasie o <math>t_g</math>. W granicznym przypadku ciągłym <math>\lim_{\Delta \omega \to 0}t_g =  \tau_g</math>
 
−
 
−
==Projektowanie filtru==
 
−
 
−
 
−
===Specyfikacja własności filtru===
 
−
Filtr specyfikujemy opisując moduł jego pożądanej funkcji przenoszenia:
 
−
* ogólne określenie granic pasma przenoszenia np: dla sygnału próbkowanego 128 Hz zaprojektować filtr dolnoprzepustowy 30 Hz, oznacza, że w idealnej sytuacji filtr będzie przenosił bez zmian częstości od 0 do 30 Hz a od 30Hz do 64Hz będzie całkowicie tłumił.
 
−
* w bardziej rygorystycznym opisie możemy dodatkowo podać:
 
−
** dopuszczalną amplitudę oscylacji Rp w paśmie przenoszenia (pass band),
 
−
** minimalne tłumienie Rs pasma tłumienia (stop band),
 
−
** szerokość pasma przejściowego
 
−
Oznaczenia jak na poniższym rysunku.
 
−
 
−
W określaniu parametrów filtrów używa się często pojęcia decybel [dB].
 
−
Dwa poziomy sygnału <math>P</math> oraz <math>P_0</math> różnią się o <math>n</math> decybeli, jeżeli
 
−
 
−
::<math>n = 10 \log _{10} \frac{P}{P_0} = 10 \log_{10}\left(\frac{A}{A_0}\right)^2 = 20\log_{10}\frac{A}{A_0} </math>
 
−
 
−
[[Plik:Filtry.png|600px]]
 
−
 
−
* można też podać częstość odcięcia i zbocze filtru zgodnie z oznaczeniami na poniższym rysunku:
 
−
[[Plik:Butterworth_filter_bode_plot.png|600px]]
 
−
 
−
===Funkcje do projektownaia filtrów FIR===
 
−
W module <tt>scipy.signal</tt> mamy kilka funkcji do projektowania filtrów typu FIR.
 
−
==== firwin ====
 
−
Najprostszą koncepcyjnie metodą projektowania filtrów FIR jest metoda okienkowa. 
 
−
Metoda składa się z następujących kroków: w dziedzinie częstości projektowana jest idealna funkcja przenoszenia, obliczana jest od niej odwrotna transformata Fouriera, następnie otrzymana sekwencja czasowa (odpowiedź impulsowa) jest przemnażana przez wybrane okno.
 
−
 
−
Metoda ta zaimplementowana jest w funkcji
 
−
<tt>scipy.signal.firwin(numtaps, cutoff, width=None, window='hamming', pass_zero=True, scale=True, nyq=1.0)</tt>.
 
−
Pozwala ona projektować filtry dolno- i górno- przepustowe oraz pasmowo przepustowe i pasmowo zaporowe metodą okienkową.
 
−
 
−
Najważniejsze parametry (kompletny opis w dokumentacji [http://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.signal.firwin.html#scipy.signal.firwin firwin]):
 
−
* <tt>numtaps</tt>: int, ilość współczynników filtru (rząd filtru+1).  Liczba ta musi być parzysta jeśli pasmo przenoszenia ma zawierać częstość Nyquista.
 
−
* <tt>cutoff</tt>: częstość odcięcia filtru. Może być jedną liczbą zmiennoprzecinkową dla filtru dolno- lub górno- przepustowego lub tablicą dla filtrów pasmowych. Wyrażamy ją w tych samych  jednostkach co <tt>nyq</tt> i musi zawierać się pomiędzy 0 a <tt>nyq</tt>.
 
−
* <tt>window</tt>: napis lub krotka: określa jakiego okna użyć do projektu filtru. Może to być dowolne okno spośród opisanych w <tt>scipy.signal.get_window</tt>
 
−
* <tt>pass_zero</tt>: bool, Jeśli True to zero jest przenoszone, jeśli False to nie jest. Ten parametr decyduje jak jest interpretowane pierwsze pasmo od 0 do <tt>cutoff</tt> - czy ma to być pasmo przenoszone czy tłumione.
 
−
* <tt>nyq</tt>: float. Częstość Nyquista.
 
−
* Zwraca: współczynniki <tt>b</tt>
 
−
 
−
===== Przykładowe projekty =====
 
−
We wszystkich poniższych przykładach zakładamy, że częstość próbkowania wynosi 256Hz:
 
−
* filtr dolnoprzepustowy rzędu 20 z częstością odcięcia 40Hz:
 
−
<tt>firwin(21, 40/128.0, nyq= 1)</tt>
 
−
<tt>firwin(21, 40, nyq= 128)</tt>
 
−
* filtr górnoprzepustowy rzędu 15 z częstością odcięcia 5 Hz:
 
−
<tt>firwin(16, 5, nyq= 128, pass_zero=False)</tt>
 
−
* pasmowo przepustowy 5 rzędu przenoszący częstości pomiędzy 8 a 14 Hz:
 
−
<tt>firwin(6, [8 14], nyq= 128, pass_zero=False)</tt>
 
−
* pasmowo zaporowy 5 rzędu tłumiący częstości pomiędzy 8 a 14 Hz:
 
−
<tt>firwin(6, [8 14], nyq= 128, pass_zero=True)</tt>
 
−
 
−
Demo własności "audio" filtrów tego typu: [http://www.falstad.com/dfilter/ applet ]
 
−
 
−
==== firwin2 ====
 
−
Funkcja [http://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.signal.firwin2.html#scipy.signal.firwin2 <tt>scipy.signal.firwin2(numtaps, freq, gain, nfreqs=None, window='hamming', nyq=1.0)</tt>] również implementuje okienkową metodę projektowania filtrów FIR. Daje ona nieco większą swobodę w kształtowaniu idealnej funkcji przenoszenia. Zadaje się ją przez podanie dwóch wektorów:
 
−
<tt>freq</tt> i <tt>gain</tt>. Wektor <tt>freq</tt> definiuje punkty w częstości (jednostki takie same jak <tt>nyq</tt>, muszą zawierać 0 i <tt>nyq</tt>) dla których znana jest wartość pożądanego przenoszenia. Pożądane wartości przenoszenia odpowiadające kolejnym częstościom definiowane są w <tt>gain</tt>. Wartości <tt>freq</tt> muszą być ułożone w kolejności rosnącej, dopuszczalne jest powtórzenie tej samej wartości częstości i odpowiadających im różnych wartości <tt>gain</tt> aby zdefiniować nieciągłość funkcji przenoszenia. Znaczenie pozostałych parametrów jest takie samo jak dla <tt>firwin</tt>.
 
−
 
−
funkcja dostepna jest począwszy od wersji scipy 0.9.0
 
−
 
−
Przykład: filtr górno przepustowy. Liniowo narastające przenoszenie pomiędzy 20 a 40 Hz:
 
−
<source lang = python>
 
−
f = np.array([0, 20, 40, 128])
 
−
g = np.array([0, 0,  1,  1])
 
−
b = firwin2(50,f,g,nfreqs, nyq=128)# licznik
 
−
</source>
 
−
 
−
===Badanie własności filtru w dziedzinie częstości===
 
−
Podstawowe własności filtru możemy łatwo odczytać z wykresu przedstawiającego moduł funkcji przenoszenia i jej fazę w zależności od częstości. Moduł funkcji przenoszenia najczęściej wykreśla się w skali pół logarytmicznej.
 
−
 
−
W module <tt>scipy.signal</tt> zaimplementowana jest funkcja <tt>freqz</tt>, która wylicza wartości funkcję przenoszenia filtru zadanego współczynnikami <tt>b, a</tt> w zadanej ilości dyskretnych częstości. Jej użycie ilustruje poniższy przykład:
 
−
<!--
 
−
<source lang= python>
 
−
import numpy as np
 
−
import pylab as py
 
−
from  scipy.signal import freqz
 
−
 
−
 
−
b = np.array([0.7,  0.5]) # licznik
 
−
a = np.array([1.0, -0.9]) # mianownik
 
−
n = 100 # n ilość punktów na których będzie obliczona funkcja h
 
−
w, h = freqz(b,a,n)
 
−
 
−
m = np.abs(h) # moduł transmitancji
 
−
phi = np.unwrap(np.angle(h)) # faza
 
−
py.subplot(2,1,1)
 
−
py.semilogy(w,m)
 
−
py.ylabel('[dB]')
 
−
py.title('moduł transmitancji')
 
−
py.subplot(2,1,2)
 
−
py.plot(w,phi)
 
−
py.title('faza transmitancji')
 
−
py.ylabel('rad')
 
−
py.xlabel('częstość [rad]')
 
−
py.show()
 
−
 
−
</source>
 
−
-->
 
−
====Przykład====
 
−
Poniższy przykład przedstawia własności filtra dolnoprzepustowego rzędu 50 o częstości odcięcia równej połowie częstości Nyquista.
 
−
=====W dziedzinie częstości =====
 
−
<source lang = python>
 
−
import numpy as np
 
−
import pylab as py
 
−
from  scipy.signal import freqz, firwin
 
−
 
−
 
−
b = firwin(50,0.5)# licznik
 
−
a = np.array([1.0]) # mianownik
 
−
n = 1000 # n ilość punktów na których będzie obliczona funkcja h
 
−
w, h = freqz(b,a,n)
 
−
 
−
m = np.abs(h) # moduł transmitancji
 
−
phi = np.unwrap(np.angle(h)) # faza
 
−
py.subplot(4,1,1)
 
−
py.plot(w,20*np.log10(m))
 
−
py.ylabel('[dB]')
 
−
py.title('moduł transmitancji')
 
−
py.subplot(4,1,2)
 
−
py.plot(w,phi)
 
−
py.title('faza transmitancji')
 
−
py.ylabel('rad')
 
−
py.xlabel('rad/próbki')
 
−
 
−
fazowe = - phi/w
 
−
py.subplot(4,1,3)
 
−
py.plot(w,fazowe)
 
−
py.ylim([20,30])
 
−
py.title('opóźnienie fazowe')
 
−
py.ylabel('próbki')
 
−
py.xlabel('rad')
 
−
 
−
 
−
grupowe = - np.diff(phi)/np.diff(w)
 
−
py.subplot(4,1,4)
 
−
py.plot(w[:-1],grupowe)
 
−
py.ylim([20,30])
 
−
py.title('opóźnienie grupowe')
 
−
py.ylabel('próbki')
 
−
py.xlabel('rad')
 
−
 
−
py.show()
 
−
</source>
 
−
 
−
=====W dziedzinie czasu =====
 
−
Porównajmy działanie tego filtra w czasie z funkcjami przesunięć fazowych i grupowych:
 
−
 
−
<source lang = python>
 
−
import numpy as np
 
−
import pylab as py
 
−
from  scipy.signal import lfilter, firwin
 
−
 
−
 
−
b = firwin(50,0.5)# licznik
 
−
py.subplot(3,1,1)
 
−
py.plot(b,'o')
 
−
 
−
s1 = np.zeros(100)
 
−
t = np.arange(0,1,0.01)
 
−
s2 = np.sin(2*np.pi*10*t)
 
−
s = np.concatenate((s1,s2))
 
−
py.subplot(3,1,2)
 
−
py.plot(s)
 
−
 
−
py.subplot(3,1,3)
 
−
y = lfilter(b,1,s)
 
−
py.plot(y)
 
−
 
−
py.show()
 
−
</source>
 
−
 
−
==Zadania==
 
−
<!--# Zbadaj własności filtrów podanych jako [[Ćwiczenia_6#Przyk.C5.82adowe_projekty|przykładowe projekty]] -->
 
−
# Zaprojektuj i zbadaj własności filtru:
 
−
<!--#* FIR <math>48</math> rzędu z pasmem przenoszenia 20 -40 Hz dla sygnału próbkowanego 250 Hz
 
 
-->
 
-->
−
#* FIR dolno z pasmem przenoszenia od 30 Hz dla sygnału próbkowanego 256 Hz
 
−
#Znajdź rząd filtru FIR:
 
−
#* dolnoprzepustowego z pasmem przenoszenia do 40 Hz dla sygnału próbkowanego <math>256</math> Hz, tak aby dla częstości powyżej 45 Hz jego tłumienie było nie mniejsze niż 20dB.
 
  
  
 
[[Analiza_sygnałów_-_ćwiczenia]]/Filtry
 
[[Analiza_sygnałów_-_ćwiczenia]]/Filtry

Aktualna wersja na dzień 11:26, 20 sty 2021

Analiza_sygnałów_-_ćwiczenia/Filtry


Wprowadzenie

  • W analizie sygnałów filtowanie rozumiane jest najczęściej jako operacja mająca na celu usunięcie z sygnału pewnych składowych. Często operacja ta dotyczy składowych charakteryzowanych przez częstości np.:
    • w sygnale EEG wiemy, że znaczącym artefaktem jest sygnał pochodzący od sieci energetycznej, zatem stosujemy filtr usuwający składową około 50Hz (w Europie).
    • inny przykład z tej samej dziedziny: interesuje nas czynność alfa (8 -12 Hz), chcemy zatem usunąć z sygnału składowe o niższych i o wyższych częstościach.
  • Filtry często są realizowane w postaci systemów LTI (linear time invariant):
    • dla takich systemów funkcjami własnymi są zespolone eksponensy (czyli na mocy wzorów Eulera: sinusy i cosinusy)
    • w przestrzeni częstości filtrowanie odpowiada przemnożeniu każdej składowej częstościowej przez pewną liczbę (zespoloną)-> zatem zmienić się może amplituda i faza każdej częstości
    • w dziedzinie czasu to mnożenie odpowiada splotowi sygnału z pewną funkcją tzw.funkcją odpowiedzi impulsowej

Filtry cyfrowe: powtórka z wykładu

Działanie filtra w dziedzinie czasu

Najczęściej, wyjście filtra jest kombinacją liniową:

[math] y[n] = b(1)x[n] + b(2)x[n-1] + ... + b(n_b+1)x[n-n_b][/math]
[math] - a(2)y[n-1] - ... - a(n_a+1)y[n-n_a] [/math]

gdzie:

  • [math] n_b [/math] liczba przeszłych próbek wejściowych [math] x [/math]
  • [math] n_a [/math] liczba przeszłych próbek wyjściowych [math] y [/math]

użytych do obliczenia aktualnego wyjścia [math] y[n] [/math].

Większa z liczb [math] n_b [/math] i [math] n_a [/math] określa rząd filtra.

Zauważmy, że matematycznie operacje te odpowiadają splataniiu próbek wejściowych z wektorem [math]b[/math] i próbek wyjściowych z wektorem [math]a[/math].

Nazewnictwo

  • Jeśli [math]n_a=0 [/math] i [math]n_b \ne 0 [/math] filtr nazywany jest filtrem o skończonej odpowiedzi impulsowej (FIR), czasem jest on nazywany średnią ruchomą (MA).
  • Jeśli [math]n_b=0 [/math] i [math]n_a \ne 0 [/math] filtr ma nieskończoną odpowiedź impulsową (IIR). Bywa też nazywany filtrem autoregresyjnym (AR).
  • Jeśli [math]n_b \ne 0 [/math] i [math]n_a \ne 0 [/math] także jest filtrem o nieskończonej odpowiedzi impulsowej. Czasem mówi się o nim filtr ARMA - autoregressive moving average.


Zwykle filtry IIR mają niższy rząd niż filtry FIR o tym samym poziomie tłumienia.

Przejście do dziedziny częstości

[math] y[n]+ a(2)y[n-1] + ... + a(n_a+1)y[n-n_a] = [/math]
[math] =b(1)x[n] + b(2)x[n-1] + ... + b(n_b+1)x[n-n_b] [/math]

zastosowanie transformaty Z do bu stron daje:

[math]A(z)Y(z)=B(z)X(z)[/math]

Przekształcamy:

[math]Y(z)=A(z)^{-1}B(z)X(z) =H(z)X(z)[/math]

Funkcja[math]H$[/math] w tym równaniu nazywana jest funkcją przenoszenia filtra. Ma ona formę ilorazu dwóch wielomianów:

[math]H(z)=\frac{b(1)+b(2)z^{-1}+\dots+b(n_b+1)z^{-n_b}}{a(1)+a(2)z^{-1}+\dots+a(n_a+1)z^{-n_a}}[/math]


Działanie filtra w dziedzinie częstości

  • Funkcję przenoszenia zależną od częstości, [math]H(f)[/math], można uzyskać podstawiając [math] z=e^{i 2 \pi f}[/math]
  • Ta funkcja przypisuje każdej częstości [math]f[/math] pewną liczbę zespoloną, która ma moduł [math]M[/math] i fazę[math]\phi[/math]:
[math]H(f)=M(f)e^{i \phi(f)}[/math]
  • Zatem działanie filtra to mnożenie każdej składowej Fourierowskiej sygnału przez liczbę zespoloną [math]H(f)[/math];
  • Widać więc, że filtr może takiej składowej zmienić amplitudę i fazę, ale nie może jej zmienić częstości.
  • Jest to przejaw tego, że sinusoidy są funkcjami własnymi układów LTI

Opóźnienie grupowe

Pokazaliśmy, że filtr mnoży każdą składową przez liczbę [math]M(f)e^{i \phi(f)}[/math], przez co zmienia jej fazę o [math]\phi(f)[/math]. W konsekwencji składowa o częstości [math]f[/math] pojawia się na wyjściu filtra z opóźnieniem: [math]\tau_g(f)=-\frac{d \phi(f)}{d f}[/math]

  • Jeśli zależność fazy od częstości jest liniowa (tak jest dla filtrów FIR) to [math]\tau_g(f)=const[/math], czyli wszystkie składowe pojawiają się z tym samym opóźnieniem.
  • Dla nieliniowej zależności [math]\phi(f)[/math] każda składowa jest opóźniona inaczej. Powoduje to dodatkowe zniekształcenia sygnału.
Opóźnienie grupowe i fazowe filtru - interpretacja

Interpretacja własności fazowych filtru łatwiejsza jest jeśli zamiast fazy wykreślimy opóźnienie fazowe lub grupowe.

  • Opóźnienie fazowe zdefiniowane jest jako:
[math]\tau_p(\omega )=-\frac{\phi(\omega)}{\omega}[/math]

Sens tej definicji widać jeśli zastosujemy ją do sinusa o częstości [math]\omega_1[/math] i fazie [math]\phi_1[/math]. [math]\sin(\omega_1 t + \phi_1)= \sin(\omega_1 t - \omega_1 \tau_p(\omega_1)) = \sin(\omega_1 (t-\tau_p(\omega_1))) [/math]


  • opóźnienie grupowe zdefiniowane jest jako:
[math]\tau _g(\omega )=-\frac{d \phi (\omega )}{d \omega }[/math]

Sens tej definicji widać jeśli rozważymy co stanie się z sygnałem składającym się z dwóch cosinusiod o bliskich sobie częstościach [math]\omega_1[/math] i [math] \omega_2[/math]. Załóżmy, że filtr przenosi każdą z nich z niezmienioną amplitudą i jedynie faza ulega przesunięciu odpowiednio o [math]\phi_1[/math] i [math]\phi_2[/math]. Na wejściu nasz sygnał można przedstawić tak:

[math]\cos(\omega_1 t) + \cos(\omega_2 t) = 2\cos\left(\frac{\omega_1-\omega_2}{2}t\right)\cos\left(\frac{\omega_1+\omega_2}{2}t\right)= 2\cos\left(\frac{\Delta\omega}{2}t\right)\cos\left(\frac{\omega_1+\omega_2}{2}t\right)[/math]

Widać, że takie dwa cosinusy powodują efekt dudnienia. Innymi słowy można je postrzegać jako oscylację z częstością średnią obu cosinusów modulowaną wolno zmienną ([math]\Delta \omega/2[/math]) obwiednią. Sygnał wyjściowy z naszego filtru modyfikującego tylko fazy można zapisać tak:

[math]y = \cos(\omega_1 t +\phi_1) + \cos(\omega_2 t +\phi_2) = 2\cos\left(\frac{\omega_1-\omega_2}{2}t +\frac{\phi_1-\phi_2}{2}\right)\cos\left(\frac{\omega_1+\omega_2}{2}t+\frac{\phi_1+\phi_2}{2}\right)[/math]

Oznaczmy [math]\Delta \phi = \phi_1 - \phi_2[/math].

[math] y = 2\cos\left(\frac{1}{2} \left(\Delta\omega t +\Delta\phi \right) \right)\cos\left(\frac{\omega_1+\omega_2}{2}t+\frac{\phi_1+\phi_2}{2}\right) [/math]

Wprowadzając [math] t_g = - \frac{ \Delta \phi}{\Delta \omega}[/math] mamy:

[math] y = 2\cos\left(\frac{1}{2} \left(\Delta\omega t - \Delta\omega t_g \right) \right)\cos\left(\frac{\omega_1+\omega_2}{2}t+\frac{\phi_1+\phi_2}{2}\right) = [/math]
[math] = 2\cos\left(\frac{1}{2} \Delta\omega \left(t - t_g \right) \right)\cos\left(\frac{\omega_1+\omega_2}{2}t+\frac{\phi_1+\phi_2}{2}\right) [/math]

Zatem widzimy, że obwiednia przesunięta jest w czasie o [math]t_g[/math]. W granicznym przypadku ciągłym [math]\lim_{\Delta \omega \to 0}t_g = \tau_g[/math]

Filtrowanie z zerowym przesunięciem fazowym

Można temu zaradzić następującą procedurą:

  • filtrujemy sygnał [math]x[0], \dots , x[n] \rightarrow y[0],\dots, y[n][/math] wprowadzamy przesunięcie fazy o [math]\phi(f)[/math]
  • odwracamy kolejność próbek i ponownie filtrujemy [math] y[n],\dots,y[0] \rightarrow y'[n],\dots,y'[0] [/math] wprowadzamy przesunięcie fazy o [math]-\phi(f)[/math]
  • odwracamy kolejność próbek: [math]y'[0],\dots,y'[n] [/math]

Efektywnie wygląda to tak jakbyśmy przefiltrowali sygnał filtrem o funkcji przenoszenia z zerowym przesunięciem fazowym: [math]H_{eff}(f)=A(f)e^{i \phi(f)}\cdot A(f)e^{-i \phi(f)}= A(f)^2[/math]

Pytanie

  • co to jest odpowiedź impulsowa filtra?
  • jak filtr działa w dziedzinie czasu?
  • co to jest funkcja przenoszenia filtra?
  • jak filtr działa w dziedzinie częstości?

Klasyczne filtry IIR

Mamy cztery klasyczne typy filtrów IIR:

Butterwortha
daje monotoniczną funkcję przenoszenia
Czebyszewa typu I
- dopuszczalne tętnienia w paśmie przenoszenia, monotoniczne w paśmie zaporowym
Czebyszewa typu II
-monotoniczne w paśmie przenoszenia, dopuszczalne tętnienia w paśmie zaporowym, nieco mniej strome zbocze opadające funkcji przenoszenia niż dla typu I
Filtr eliptyczny
mają dopuszczalne tętnienia zarówno w paśmie przenoszenia jak i tłumienia. Dają najbardziej strome zbocza przy tym samym rzędzie co powyższe wersje.


Specyfikacja filtra

W określaniu parametrów filtrów używa się często pojęcia decybel [dB]. Dwa poziomy sygnału [math]P[/math] oraz [math]P_0[/math] różnią się o [math]n[/math] decybeli, jeżeli

[math]n = 10 \log _{10} \frac{P}{P_0} = 10 \log_{10}\left(\frac{A}{A_0}\right)^2 = 20\log_{10}\frac{A}{A_0} [/math]
  • Ilustracja pojęć używanych przy specyfikacji filtra:
    • Rp- tętnienia w paśmie przenoszenia
    • Rs - tłumienie w paśmie tłumienia
Przykładowe parametry specyfikujące filter
  • można też podać częstość odcięcia i zbocze filtru zgodnie z oznaczeniami na poniższym rysunku:
Butterworth filter bode plot.png
  • Przykład projektu fltra i jego działanie na sygnały testowe:
a) Moduł funkcji przenoszenia. Projekt (szara linia), realizacja dla filtra eliptycznego 5 rzędu (czarna linia), b) Opóźnienie grupowe. c) Zastosowanie filtra do sygnału złożonego z sinusoidy 10Hz i 50Hz: szare - wejście, czarne- wyjście. d) Przesunięcia i efekty brzegowe: wejście (szare) to sinusoida 3Hz ze strukturą 25Hz w okolicach 0.6s; wyjście (czarna linia) (i) w pierwszych 0.1s zniekształcenia brzegowe (ii)opóźnienia: sinusoida 3Hz jest opóźniona wzg wejścia, struktura 25Hz ma większe opóźnienie i rozciągłość, co wynika z funkcji opóźnienia grupowego b)} }

Projektowanie filtrów w programie Svarog

Program SVAROG ma wygodne narzędzie do projektowania filtrów IIR. Zanim przejdziemy do implementowania tych filtrów w pythonie, spróbujemy nabrać wyczucia w SVAROGU.

W celu zaprojektowania filtru w Svarogu należy sprecyzować następujące parametry:

  • Typ filtru - dolnoprzepustowy, górnoprzepustowy, pasmowoprzepustowy, pasmowozaporowy.
  • Rodzaj filtru - Butterwortha, Czebyszewa I i II, eliptyczny.
  • Częstotliwość graniczna pasma przepustowego 1 - górna częstotliwość pasma przenoszenia oddzielająca pasmo przenoszenia od obszaru przejściowego.
  • Częstotliwość graniczna pasma przepustowego 2 - w przypadku filtru pasmowoprzepustowego lub pasmowozaporowego istnieją dwa obszary przejściowego; w związku z tym częstotliwość graniczna 1 oddziela pasmo przenoszenia od pierwszego obszaru przejściowego (ma niższą wartość), a częstotliwość graniczna 2 separuje pasmo przenoszenia od drugiego obszaru przejściowego.
  • Częstotliwość graniczna pasma zaporowego 1 - dolna częstotliwość pasma zaporowego oddzielająca pasmo zaporowe od obszaru przejściowego.
  • Częstotliwość graniczna pasma zaporowego 2 - w przypadku filtru pasmowoprzepustowego lub pasmowozaporowego częstotliwość graniczna 1 oddziela pasmo zaporowe od pierwszego obszaru przejściowego (ma niższą wartość), a częstotliwość graniczna 2 separuje pasmo zaporowe od drugiego obszaru przejściowego.
  • Zafalowania w paśmie przenoszenia - maksymalna wartość tłumienia w paśmie przenoszenia.
  • Tłumienie w paśmie zaporowym - minimalna wartość tłumienia w paśmie zaporowym.

Przykład

Rysunek poniżej przedstawia charakterystykę amplitudową górnoprzepustowego filtru Czebyszewa I. Filtr został zaprojektowany przy użyciu następujących parametrów:

  • Filter type = high-pass
  • Filter family = Chebyshev I
  • Passband edge frequency 1 = 20 Hz
  • Stopband edge frequency 1 = 16 Hz
  • Passband ripple = 3 dB
  • Stopband attenuation = 40 dB

Rząd filtru zostaje dostosowany do wymagań projektowych.

Charakterystyka amplitudowa górnoprzepustowego filtru Czebyszewa I.
Okienko projektowania flirtrów w programie SVAROG

Zadanie

Przydadzą nam się pliki: Plik z sygnałem EKG Plik z metadanymi do tego sygnału



Analiza_sygnałów_-_ćwiczenia/Filtry

Źródło: „http://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php?title=Ćwiczenia_6&oldid=8509”