WnioskowanieStatystyczne/Analiza wariancji

Wnioskowanie_Statystyczne_-_wykład

Rozkład F

Niech zmienne [math]x[/math] i [math]y[/math] mają rozkłady [math]\chi ^{2}[/math] o odpowiednio [math]f_{1}[/math] i [math]f_{2}[/math] stopniach swobody. Zmienna

[math] F=\frac{\frac{1}{f_{1}} x}{\frac{1}{f_{2}}y}=\frac{f_{2}x}{f_{1}y} [/math]

posiada rozkład [math]F[/math] z [math]f_{1}[/math] i [math]f_{2}[/math] stopniami swobody o wartości oczekiwanej [math]E(f)=\frac{f_{2}}{(f_{2}-2)}[/math]

[math] f(F)=\left( \frac{f_{1}}{f_{2}}\right) ^{\frac{f_{1}}{2}}\frac{\Gamma \left( \frac{1}{2}\left( f_{1}+f_{2}\right) \right) }{\Gamma \left( \frac{f_{1}}{2} \right) \Gamma \left( \frac{f_{2}}{2}\right) }F^{\frac{f_{2}}{2}-1}\left( 1+ \frac{f_{1}}{f_{2}}F\right) ^{-\frac{f_{1}+f_{2}}{2}} [/math]

Rozkład [math]F[/math] Fischera dla przykładowych liczb stopni swobody [math]f_1[/math] i [math]f_2[/math].

Dla próby z rozkładu normalnego wielkość

[math] \chi ^{2}=\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}\frac{(x_{i}-\overline{x})^{2}}{ \sigma ^{2}} [/math]

podlega rozkładowi [math]\chi ^{2}[/math] o [math]f=N-1[/math] stopniach swobody. Jeśli dwie takie próby zostały pobrane z jednej populacji, to iloraz

[math] F=\frac{\left( N_{y}-1\right) \underset{i=1}{\overset{N}{\sum (}}x_{i}- \overline{x})^{2}}{\left( N_{x}-1\right) \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }} (y_{i}-\overline{y})^{2}} [/math]

podlega rozkładowi [math]F[/math] o [math]f_{y}[/math] i [math]f_{x}[/math] stopniach swobody.

Analiza wariancji (ANalysis of VAriance — ANOVA)

[math]N[/math] obserwacji [math]\{x_{i}\}_{i=1..N}[/math]:

podzielonych na [math]k[/math] grup wedle jakiegoś kryterium: [math]N=n_{1}+n_{2}+...+n_{k}[/math]:

Średnie wewnątrz grup: [math] \overline{x}_{i}=\frac{1}{n_{i}}\underset{j=1}{\overset{n_{i}}{\sum }}x_{ij} [/math]

Średnia globalna [math]\overline{x}[/math]:

Odchylenia poszczególnych elementów od średnich grup [math]x_{ij} - \overline{x_i}[/math] oraz odchylenia średnich grup pd średniej globalnej [math]\overline{x_i} - \overline{x}[/math]:

Rozkład wariancji

Rozważmy sumę kwadratów odchyleń wszystkich elementów próby od wartości średniej całej próby

[math] \underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}\underset{j=1}{\overset{n_{i}}{\sum }} (x_{ij}-\overline{x})^{2}=\underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}\underset{j=1}{ \overset{n_{i}}{\sum }}(x_{ij}-\overline{x}_{i}+\overline{x}_{i}-\overline{x} )^{2}= [/math]

[math] \underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}\underset{j=1}{\overset{n_{i}}{\sum }} (x_{ij}-\overline{x}_{i})^{2}+\underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}\underset{j=1 }{\overset{n_{i}}{\sum }}(\overline{x}_{i}-\overline{x})^{2}+2\underset{i=1}{ \overset{k}{\sum }}\underset{j=1}{\overset{n_{i}}{\sum }}(x_{ij}-\overline{x} _{i})(\overline{x}_{i}-\overline{x}) [/math]

Ponieważ [math] \underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}\underset{j=1}{\overset{n_{i}}{\sum }} (x_{ij}-\overline{x}_{i})(\overline{x}_{i}-\overline{x})=\underset{i=1}{ \overset{k}{\sum }}(\overline{x}_{i}-\overline{x})\underset{j=1}{\overset{ n_{i}}{\sum }}(x_{ij}-\overline{x}_{i})=0 [/math],

oraz [math] \underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}\underset{j=1}{\overset{n_{i}}{\sum }}( \overline{x}_{i}-\overline{x})^{2}=\underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}n_{i}( \overline{x}_{i}-\overline{x})^2 [/math], dostajemy

[math] \underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}\underset{j=1}{\overset{n_{i}}{\sum }} (x_{ij}-\overline{x})^{2}=\underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}\underset{j=1 }{\overset{n_{i}}{\sum }}(x_{ij}-\overline{x}_{i})^{2}+\underset{i=1}{ \overset{k}{\sum }}n_{i}(\overline{x}_{i}-\overline{x} )^{2} [/math]

inaczej

[math]\underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}\underset{j=1}{\overset{n_{i}}{\sum }} (x_{ij}-\overline{x})^{2} = s_{wew}^{2}+s_{pom}^{2} [/math]

Jeśli wszystkie pomiary pochodzą z tej samej populacji o wariancji [math] \sigma ^{2}[/math], to

[math] \frac{s^2_{wew}}{\sigma ^{2}}\ i\ \ \frac{s^2_{pom}}{\sigma ^{2}} [/math]

podlegają rozkładom [math]\chi ^{2}[/math] o odpowiednio [math]n-k[/math] i [math]k-1[/math] stopniach swobody. Iloraz

[math] \frac{\left( n-k\right) s^2_{pom}}{\left( k-1\right) s^2_{wew}} [/math]

podlega rozkładowi [math]F[/math] o [math]k-1[/math] i [math]n-k[/math] stopniach swobody.

Wyrażenia [math] \frac{1}{n-k}\underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}\underset{j=1}{\overset{n_{i} }{\sum }}(x_{ij}-\overline{x}_{i})^{2}[/math] oraz [math]\frac{1}{k-1}\underset{i=1}{ \overset{k}{\sum }}n_{i}(\overline{x}_{i}-\overline{x})^{2} [/math], czyli [math] \frac{s_{wew}^{2}}{n-k} [/math] oraz [math]\frac{s_{pom}^{2}}{k-1} [/math], są nieobciążonymi estymatami wariancji populacji.

Testy par a posteriori

Testowanie a posteriori (inaczej post hoc) -> porównania wielokrotne