Aliasing

AS/ Przekształcenie Fouriera sygnałów dyskretnych, aliasing

Kliknij na tym napisie aby obejrzeć animację pokazującą efekt aliasingu na sygnale jednowymiarowym

Przypomnijmy wzór na odwrotną transformację Fouriera sygnału ciągłego [math] s(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(f)e^{-i 2\pi t f} d f [/math]

Dyskretne wartości tego sygnału, próbkowane w chwilach [math]n \Delta t[/math], możemy odtworzyć z powyższgo równania dla [math]t = n \Delta t[/math]

[math] s(n\Delta t) =\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(f)e^{-i 2\pi n \Delta t f} d f = [/math]

[math] \sum_{r=-\infty}^\infty \int_\frac{(2r - 1)}{2\Delta t}^\frac{(2r + 1) }{2\Delta t} \hat{s}(f)e^{-i 2\pi n \Delta t f} d f \;\; \stackrel{f \rightarrow f+\frac{r}{\Delta t}}{=} \;\; [/math] [math] \sum_{r=-\infty}^\infty \int_\frac{-1}{2\Delta t}^\frac{1}{2\Delta t} \hat{s}\left(f + \frac{r}{\Delta t}\right)e^{-i 2\pi n \Delta t (f + \frac{r}{\Delta t})} d f [/math]

[math] = \int_\frac{-1}{2\Delta t}^\frac{1}{2\Delta t} \sum_{r=-\infty}^\infty \hat{s}\left(f + \frac{r}{\Delta t}\right)e^{-i 2\pi n \Delta t f} d f [/math]

Szukając wartości sygnału w dyskretnych chwilach czasu, dostaliśmy w miejsce odwrotnej transformaty Fouriera całkę w ograniczonym zakresie z funkcji będącej (nieskończoną) sumą powtórzeń transformaty Fouriera sygnału ciągłego, przesuwanej o wielokrotności odwrotności [math]\Delta t[/math].

Innym sposobem pokazania tego efektu jest przedstawienie sekwencji dyskretnej [math]s[n][/math] jako iloczynu sygnału ciągłego [math]s(t)[/math] z grzebieniem Diraca

[math] D(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(t-k\delta t) [/math]

Zgodnie z twierdzeniem o splocie, iloczyn w przestrzeni czasu będzie odpowiadał splotowi w dziedzinie częstości, czyli w dziedzinie częstości otrzymamy splot transformaty Fouriers sygnału [math]\hat{s}(t)[/math] z transformatą Fouriera grzebienia Diraca [math]\hat{D}(t)[/math], którą poniżej wyliczymy:

[math] \hat{D}(f) = \mathcal{F}(D(t)) = \mathcal{F}\left(\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(t-k\Delta t) \right) = \int_{-\infty}^{\infty} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(t-k\Delta t) e^{i 2\pi f t} dt = [/math] [math] \sum_{k=-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t-k\Delta t) e^{i 2\pi f t} dt = \sum_{k=-\infty}^{\infty} e^{i 2\pi f k\Delta t} dt [/math]

Otrzymaliśmy ogólny wynik -- transformata Fouriera grzebienia Diraca to również grzebień Diraca (w przestrzeni częstości).

Przypomnijmy (np. z rozważań o systemach liniowych niezmienniczych w czasie), że splot z deltą Diraca w zerze jest identycznością, a splot z [math]\delta(t-kT)[/math] przesuwa funkcję o [math]kT[/math]. Z liniowości splotu dostajemy -- jak pozyżej -- sumę powtórzeń transformaty Fouriera sygnału ciągłego, przesuwanej o wielokrotności odwrotności [math]\Delta t[/math].

Próbkowanie ([math]\Delta t = 1[/math]) sygnałów o częstościach: (a) 0.27, (b) 1.27 i (c) 0.6. Widzimy, że sygnał (b) o częstości 1.27 daje w chwilach próbkowania wartości dokładnie takie same, jak sygnał (a) o częstości 0.27 (aliasing) . Sygnał (d) jest sumą (a), (b) i (c). (e) — dodatnia część modułu transformaty Fouriera sygnału ciągłego (d). (f) — jak e), ale obliczane dla sygnału dyskretnego (wartości tylko w miejscach oznaczonych kropkami). Porównując równanie () z przejściem od (e) do (f) widać, że częstość 1.27 zlewa się z częstością 0.27 ([math]r = -1[/math]) — wysokość odpowiadającego im piku wzrasta dwukrotnie w stosunku do mniejszego piku częstości 0.6, który "zawija się" z kolei na 0.4 (w tym przypadku [math]r = 1[/math] a "zawija się" dokładnie częstość [math]-0.6[/math])