WnioskowanieStatystyczne/Statystyki i estymatory: Różnice pomiędzy wersjami
Linia 128: | Linia 128: | ||
==Estymator wariancji== | ==Estymator wariancji== | ||
− | |||
Spróbujmy skonstruować estymator wariancji z próby jako <math> s_o^{2}=\frac{1}{n} | Spróbujmy skonstruować estymator wariancji z próby jako <math> s_o^{2}=\frac{1}{n} | ||
\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}(x_{i}-\overline{x})^{2}.</math> | \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}(x_{i}-\overline{x})^{2}.</math> | ||
+ | Aby wyliczyć jego wartość oczekiwaną, wyprowadźmy jeszcze kilka prostych zależności. Na początek wykażemy, że wariancja zmiennej losowej jest równa różnicy wartości oczekiwanej kwadratu tej zmiennej i kwadratu jej wartości oczekiwanej: | ||
+ | |||
+ | <math> | ||
+ | \sigma^{2}(x_i)=E((x_i-\mu | ||
+ | )^{2})=E(x_i^{2}-2x_i\mu+\mu ^{2})=E(x_i^{2})-2\mu E(x_i)+\mu^{2}=E(x_i^{2})-\mu^{2}=E(x_i^{2})-\left\{ E(x_i)\right\} ^{2} | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | Czyli <equation id="eq:64"> | ||
+ | <center><math> | ||
+ | \sigma ^{2}(x_i) = E(x_i^{2})-\left\{ E(x_i)\right\} ^{2}. | ||
+ | </math></center> | ||
+ | </equation> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
Jego wartość oczekiwana wyniesie | Jego wartość oczekiwana wyniesie | ||
Wersja z 21:18, 17 mar 2024
Wnioskowanie_Statystyczne_-_wykład
Statystyki i estymatory
Funkcję [math]S(x_{1},x_{2},...x_{n})[/math] określoną na elementach próby [math]\{x_i\}[/math] zwiemy statystyką. Obliczane w praktyce statystyki służą weryfikacji hipotez statystycznych (zwiemy je wtedy statystykami testowymi — tym zajmiemy się w następnym rozdziale) lub estymacji (szacowaniu) parametrów rozkładu prawdopodobieństwa w populacji zmiennej [math]x[/math], z której pobierana jest próba. W tym drugim przypadku zwiemy je estymatorami. Na przykład wartość średnia próby
może być estymatorem wartości oczekiwanej populacji [math]\mu=E(x)[/math].
Estymator zwiemy nieobciążonym, jeśli dla każdej wielkości próby [math]n[/math] jego wartość oczekiwana jest równa wartości estymowanego parametru (oznaczmy go np. [math]\beta[/math]):
[math] \forall n \ E(S(x_{1}...x_{n}))=\beta. [/math]
Estymator zwiemy zgodnym, jeśli przy wielkości próby dążącej do nieskończoności jego wariancja dąży do zera:
[math] \underset{n\rightarrow \infty }{\lim }\sigma (S(x_{1}...x_{n}))=0. [/math]
Estymator wartości oczekiwanej
[math] \mu=E(x)=\overset{n}{\underset{i=1}{\sum }}x_{i}P(X=x_{i}) [/math]
[math] \mu=E(x)=\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}x p(x)dx. [/math]
Estymator wartości oczekiwanej postaci
[math] \overline{x}=\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}x_{i} [/math]
jest nieobciążony i zgodny.
Dowód:
[math] E(\overline{x})=E\left(\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}x_{i}\right)= \frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}E(x_{i}) =\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\mu =\frac{1}{n}n\mu =\mu [/math]
[math] \sigma ^{2}\left( \overline{x}\right) = E \left( \left( \overline{x}-E(\overline{x})\right)^{2}\right) = E\left(\left(\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}x_{i}- \frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\mu \right)^{2}\right) = [/math]
[math] =\frac{1}{n^{2}}E\left(\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}(x_{i}-\mu )\right)^{2}\right) [/math]
Jeśli elementy próby są niezależne, to
gdzie [math]\delta_{ij}[/math] oznacza deltę Kroneckera ([math]\delta_{ij}=1\ \textrm{ dla }\ i=j, \delta_{ij}=0\ \textrm{ dla }\ i\neq j[/math]), czyli:
[math]\sigma ^{2}\left( \overline{x}\right) =\frac{1}{n^{2}}E\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}(x_{i}-\mu )^{2}\right) =\frac{1}{n^{2}}\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}E(x_{i}-\mu )^{2}\right) = \frac{1}{n^{2}}\underset{i=1}{\overset{n}{ \sum }}\sigma ^{2}(x_i) [/math]
Ponadto, jeśli elementy próby pochodzą z tego samego rozkładu, to
[math]\sigma ^{2}(x_{i})=\sigma^{2}(x)[/math], czyli
Estymator wariancji
Spróbujmy skonstruować estymator wariancji z próby jako [math] s_o^{2}=\frac{1}{n} \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}(x_{i}-\overline{x})^{2}.[/math]
Aby wyliczyć jego wartość oczekiwaną, wyprowadźmy jeszcze kilka prostych zależności. Na początek wykażemy, że wariancja zmiennej losowej jest równa różnicy wartości oczekiwanej kwadratu tej zmiennej i kwadratu jej wartości oczekiwanej:
[math] \sigma^{2}(x_i)=E((x_i-\mu )^{2})=E(x_i^{2}-2x_i\mu+\mu ^{2})=E(x_i^{2})-2\mu E(x_i)+\mu^{2}=E(x_i^{2})-\mu^{2}=E(x_i^{2})-\left\{ E(x_i)\right\} ^{2} [/math]
Czyli
Jego wartość oczekiwana wyniesie
[math] E\left( s_o^{2}\right) = \frac{1}{n} E\left(\sum\limits_{i=1}^{n}(x_{i}-\overline{x})^{2}\right) [/math]
[math] =
\frac{1}{n} E\left(\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}^2 + \sum\limits_{i=1}^{n}\overline{x}^{2} + 2\sum\limits_{i=1}^{n} \overline{x} x_i \right)
[/math]
[math] = \frac{1}{n} \left( n \sigma^{2}(x)-n\left(\frac{1}{n}\sigma^{2}(x)\right)\right) [/math]
[math]
=\frac{n-1}{n}\sigma ^{2}(x)
[/math]
czyli nie jest dla każdej wielkości próby [math]n[/math] wartość oczekiwana tego estymatora wyniesie [math]\sigma^2(x)[/math]. Tak więc [math]s_o^2[/math] jest estymatorem obciążonym.
W tej sytuacji, jako nieobciążony estymator wariancji możemy zaproponować
Podstawiając ten estymator wariancji do wyprowadzonego powyżej wzoru na
wariancję wartości średniej (3)
w miejsce [math]\sigma^2[/math], dostajemy wzór na estymator wariancji wartości
średniej próby
Pierwiastek tej wielkości
jest estymatorem odchylenia standardowego wartości średniej. Wielkość tę czasem utożsamia się z "błędem wartości średniej".