FT-intuicja

⬆ Intuicyjna intepretacja przekształcenia Fouriera

Spróbujmy nabrać potrzebnej na ćwiczeniach intuicji, traktując obliczenia w kategorii iloczynów skalarnych z kolejnymi sinusami o odpowiednio dobranych fazach. Weźmy przykładowy sygnał s o długości 256 punktów, złożony z dwóch sinusów a i b, s = a + b:

=

+

Bazą będzie zbiór ortogonalnych sinusów[math]f(x)=\sin(kx), k=1,2,\ldots[/math] o częstościach od [math]\frac{1}{\mathrm{długość \, sygnału}}[/math] do częstości Nyquista.

[math](\ldots)[/math]

Policzmy iloczyny z sinusami o optymalnie dobranych fazach; jak widać na poniższym rysunku, sinus o częstości 2,4 jest podobny do składowej a sygnału s, ale miara podobieństwa, czyli wartość iloczynu skalarnego, zależy silnie od fazy sinusa, z którym liczymy iloczyn sygnału — gwiazdką oznaczyliśmy fazę, dla której iloczyn jest największy:

Podobne dopasowania można wykonać dla każdej częstości wzajemnie ortogonalnych sinusów o częstościach [math] \frac1T, \frac2T, \ldots[/math] do częstości Nyquista.

Wyniki — optymalne fazy i uzyskane dla nich maksymalne wartości iloczynów skalarnych — przedstawiamy na wykresach:

Rozdzielczość (F)FT

Przyjrzyjmy się bliżej analizowanemu powyżej 'przykładowemu sygnałowi'.

Wyrysowana powyżej linia łamana łaczy sąsiednie z kolejnych 256 wartości wektora próbek:

Poza samym wektorem próbek, do oznaczenia osi na powyższych widmach potrzebna jest informacja o częstości próbkowania oraz przeliczniku wartości kolejnych próbek na wielkości fizyczne (np. mikrowolty). W tym przypadku odstęp między próbkami wynosił [math]\frac{1}{128}[/math] sekundy, więc ten wektor jest zapisem dwóch senkund sygnału:

Transformata Fouriera jest przedstawieniem sygnału z bazie złożonej z funkcji [math]e^{i\omega t}[/math]. Wymiar tej bazy powinien odpowiadać wymiarowi sygnału. Ponieważ dla każdej częstości zespolona transformata odtwarza amplitudę i fazę, to w widmie mocy będzie dwukrotnie mniej punktów niż w sygnale, dla którego liczono transformatę. Punkty w których liczymy transformatę Fouriera rozkładają się równomiernie od zera do częstości Nyquista, czyli połowy częstości próbkowania. Przy częstości próbkowania 128Hz częstość Nyquista wynosi 64Hz. Liczba punktów w transformacjie Fouriera wynosi tyle, ile w naturalne bazie sygnału, czyli 256. Połowa tych wartości opisuje amplitudy, a druga połowa fazy. Tak więc w widmie amplitudowym będzie 128 punktów, rozłożonych równomiernie od zera do 64 Hz, czyli rozdzielczość widma wyniesie w tym przypadku 0,5Hz.

Jako przykład 'z prawdziwego świata' spróbujmy rozszyfrować, skąd w przykładowym artykule o interfejsach mózg-komputer pojawiają się dziwne częstości 6,83 i 7,03 Hz.

Mamy tam do czynienia z 3-sekundowymi odcinkami sygnału próbkowanego z częstością 200Hz. Aby umożliwić stosowanie szybkiej transformaty Fouriera (FFT) oraz zwiększyć rozdzielczość, sygnał jest dopełniany (zerami) do 1024 punktów. Tak więc 512 punktów (1024/2) będzie w tym przypadku rozłożonych między 0 a 100 Hz, co daje odstęp 100/512, czyli ok. 0.195 Hz między kolejnymi częstościami. Punkty najbliższe 7Hz to 35*100/512 = 6,83 i 36*100/512 = 7,03 Hz.

---