WnioskowanieStatystyczne/Rozklady

Rozkłady prawdopodobieństwa

Rozkład prawdpopodobieństwa — zgodnie z nazwą — będzie funkcją określającą, jak prawdopodobieństwo rozkłada się pomiędzy możliwe wyniki danego doświadczenia. Mieliśmy już z nim do czynienia w pierwszej części książki, rysunek 1 przypomina niektóre z tych przypadków.

(a) rozkład liczby jedynek uzyskany z 10 tysięcy repróbkowań ze zwracaniem (bootstrap) próby 18 jedynek i 82 zer; (b) liczba trafień na 10 rzutów do kosza, przy średnim prawdopodobieństwie trafienia 0,6

Nie są to prawdopodobieństwa, gdyż nie spełniają aksjomatu [math](0\leq P(A)\leq 1)[/math], który wraz z aksjomatem [math](P(\Omega)=1)[/math] możemy spełnić dzieląc liczbę wystąpień każdego przypadku przez całkowitą liczbę eksperymentów — wtedy suma wszystkich prawdopodobieństw (czyli [math]P(\Omega)[/math]) wyniesie 1. Przykład tak znormalizowanego dyskretnego rozkładu prawdopodobieństwa przedstawia rysunek rysunek 2(a).

Pozostaje jeszcze problem formalny: występujące w klasycznej teorii funkcje nie są określone na zdarzeniach, tylko na liczbach. Przejście od zdarzeń do odpowiadających im liczb wymaga pojęcia zmiennej losowej – odwzorowania [math]X(.)[/math] z przestrzeni zdarzeń do przestrzeni liczb rzeczywistych. Na przykład w doświadczeniu polegającym na rzucaniu kostką zmienna losowa przypisze liczbę 4 przypadkowi, w którym na górnej ściance rzuconej kostki widać cztery kropki.

Liczby (czyli zmienne losowe) są już pełnoprawnymi argumentami funkcji, ale z definicją rozkładu prawdopodobieństwa będzie jeszcze trochę kłopotu, jeśli wyniki eksperymentu będą pochodzić z ciągłych przedziałów zmiennej losowej, a nie, jak w przykładach z rysunku rysunek 1, ze zbioru dyskretnego.

Rozkłady ciągłe — gęstość prawdopodobieństwa

(a) dyskretny rozkład prawdopodobieństw wyników rzutu kostką; (b) ciągły rozkład prawdopodobieństwa dla liczb rzeczywistych z przedziału od zera do jednego.

Z rozkładem ciągłym mieliśmy do czynienia, gdy używaliśmy generatora liczb losowych — losował on z równym prawdopodobieństwem liczby rzeczywiste z przedziału od zera do jednego. Funkcja przypisująca równe prawdopodobieństwa liczbom od zera do jednego powinna wyglądać jak na rysunku 2(b). A jednak coś się tu nie zgadza...

Zacznijmy od rozkładu dyskretnego, czyli wykresu 2(a). Prawdopodobieństwo dla zmiennej losowej (teraz nie jest to już formalnie zdarzenie) wynoszącej na przykład 2 odczytujemy jako wynoszące 0,167. Czyli mniejsze od 1 i większe od zera. Suma prawdopodobieństw dla wszystkich możliwych wartości zmiennej losowej wyniesie 1 — wszystko zgadza się z aksjomatami definicji prawdopodobieństwa.

Teraz spróbujmy z wykresu po prawej stronie odczytać wartość prawdopodobieństwa wylosowania jakiejś liczby spomiędzy 0 i 1. Jeden? To oznacza pewność — niemożliwe. Na osi [math]y[/math] powinna występować jakaś znacznie mniejsza wartość... Ale jaka?

Zastanówmy się: niezależnie od tego, jak małą (niezerową i nieujemną) wartość przyjmiemy dla prawdopodobieństwa wylosowania dowolnej liczby z tego przedziału, to gdy zaczniemy je sumować dla wszystkich możliwych wyników, których na odcinku [math](0, 1)[/math] jest wszak nieskończenie wiele, zawsze dostaniemy więcej niż jeden. Najwyraźniej tak się nie da.

Widać już, że sumę będziemy musieli zastąpić całką — jest to właśnie graniczny przypadek sumy. W tym układzie aksjomat [math]P(\Omega)=1[/math], który dla przypadku dyskretnego wyrażał się sumą

[math] \sum_i P(X=x_i) = 1, [/math]

teraz będzie wyrażał się całką

[math] \int p(x) dx = 1, [/math]

gdzie prawdopodobieństwo [math]P[/math] zastąpiła, z przyczyn, które staną się jasne za chwilę, gęstość prawdopodobieństwa [math]p[/math]. Łatwo sprawdzić, że całka rozkładu z rys. 2 spełnia ten warunek. Jednak pozostaje problem odczytywania wartości prawdopodobieństwa dla konkretnej wartości zmiennej losowej.

Przypomnijmy sobie, że symulując rzuty monetą korzystaliśmy z faktu, że prawdopodobieństwo wylosowania liczby mniejszej niż [math]\frac1 2[/math] wynosi 0,5. Zdefiniujmy więc dystrybuantę prawdopodobieństwa zmiennej losowej [math]X[/math] jako prawdopodobieństwo wystąpienia któregokolwiek ze zdarzeń, dla których zmienna losowa przyjmuje wartości mniejsze od [math]x[/math]:

[math] F(x)=P[X \leq x]. [/math]

Będzie to oczywiście funkcja niemalejąca, dążąca do zera dla małych [math]x[/math] i do jednego dla dużych. Dla rozkładu z rysunku 2(b) dystrybuanta będzie wyglądać jak na rysunku 3.

Dystrybuanta ciągłej zmiennej losowej o równym prawdopodobieństwie na przedziale (0, 1).

Dopiero teraz gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej określimy jako pochodną dystrybuanty

[math] p(x)=\frac{d F(x)}{dx}=\frac{P[x\leq X\leq x+dx]}{dx}. [/math]

Dlaczego gęstość, a nie po prostu rozkład prawdopodobieństwa, jak w przypadku dyskretnym? Właśnie ze względu na problemy z odczytem prawdopodobieństwa dla konkretnej wartości zmiennej. Na podobny problem trafiamy np. w fizyce, próbując obliczyć masę punktu. Masa to iloczyn (całka) gęstości i objętości, a punkt ma zerową objętość. Aby otrzymać niezerową masę, gęstość materii musimy scałkować w jakimś niezerowym obszarze — nie można przyjąć za masę gęstości materii w danym punkcie. Tak samo w przypadku ciągłych rozkładów gęstości prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo możemy obliczyć tylko dla niezerowego przedziału zmiennej losowej, a wartość odczytywaną dla konkretnej wartości zmiennej losowej interpretujemy jako gęstość.