Laboratorium EEG/CSP: Różnice pomiędzy wersjami
| Linia 5: | Linia 5: | ||
==Filtry przestrzenne CSP== | ==Filtry przestrzenne CSP== | ||
| − | Metoda ta polega na znalezieniu takiego odwzorowania liniowego, które maksymalizuje stosunek wariancji sygnałów rejestrowanych w rożnych warunkach eksperymentalnych. | + | ===Koncepcja=== |
| − | + | Dla ustalenia uwagi możemy myśleć o eksperymencie wywołującym potencjał P300. Mamy w nim dwie sytuacje eksperymentalne. Oznaczmy (+) próby, w których pojawił się oczekiwany bodziec, zaś (-) gdy pojawił się bodziec standardowy. | |
| + | Chcielibyśmy znaleźć taki montaż, czyli taką kombinację liniową kanałów, które maksymalizuje stosunek mocy (wariancji) sygnałów rejestrowanych w dwóch rożnych warunkach eksperymentalnych. | ||
| + | |||
| + | ===Formalizm=== | ||
| + | Metoda ta polega na znalezieniu takiego odwzorowania liniowego, które maksymalizuje stosunek wariancji sygnałów rejestrowanych w dwóch rożnych warunkach eksperymentalnych. | ||
| + | |||
Odwzorowanie to można przedstawić w postaci macierzy <math>P</math>, której każdy wiersz zawiera wagi dla odpowiednich kanałów. | Odwzorowanie to można przedstawić w postaci macierzy <math>P</math>, której każdy wiersz zawiera wagi dla odpowiednich kanałów. | ||
Macierz zawierająca sygnał <math>X^{\pm}(t)</math> | Macierz zawierająca sygnał <math>X^{\pm}(t)</math> | ||
| − | ma wymiary | + | ma wymiary <math>C \times N</math>, gdzie |
| − | <math>C \times N</math>, gdzie | ||
<math>C</math> to liczba kanałów EEG, natomiast | <math>C</math> to liczba kanałów EEG, natomiast | ||
<math>N</math> to liczba próbek dla każdego z kanałów. | <math>N</math> to liczba próbek dla każdego z kanałów. | ||
| − | Macierz <math>P</math> | + | Macierz <math>P</math> przekształca sygnał <math>X^{\pm}(t)</math> zgodnie ze wzorem: |
:<math>X^{\pm}_{CSP}(t)=P^T X^{\pm}(t) </math> | :<math>X^{\pm}_{CSP}(t)=P^T X^{\pm}(t) </math> | ||
| − | + | Załóżmy dalej, że <math>X^{+}_{CSP} (t)</math> i <math>X^{-}_{CSP} (t)</math> reprezentują niezależne procesy stochastyczne | |
| + | a ich kanały odpowiadają nieskorelowanym źródłom różnych aktywności elektrycznych, spełnione są warunki: | ||
# Syganły <math>X^{+}_{CSP} (t)</math> i <math>X^{-}_{CSP} (t)</math> są niezależne. | # Syganły <math>X^{+}_{CSP} (t)</math> i <math>X^{-}_{CSP} (t)</math> są niezależne. | ||
# Brak korelacji pomiędzy kanałami w sygnałach<math>X^{+}_{CSP} (t)</math> i <math>X^{-}_{CSP} (t)</math>. | # Brak korelacji pomiędzy kanałami w sygnałach<math>X^{+}_{CSP} (t)</math> i <math>X^{-}_{CSP} (t)</math>. | ||
Wersja z 12:59, 5 lut 2016
Ślepa separacja źródeł
Filtry przestrzenne CSP
Koncepcja
Dla ustalenia uwagi możemy myśleć o eksperymencie wywołującym potencjał P300. Mamy w nim dwie sytuacje eksperymentalne. Oznaczmy (+) próby, w których pojawił się oczekiwany bodziec, zaś (-) gdy pojawił się bodziec standardowy. Chcielibyśmy znaleźć taki montaż, czyli taką kombinację liniową kanałów, które maksymalizuje stosunek mocy (wariancji) sygnałów rejestrowanych w dwóch rożnych warunkach eksperymentalnych.
Formalizm
Metoda ta polega na znalezieniu takiego odwzorowania liniowego, które maksymalizuje stosunek wariancji sygnałów rejestrowanych w dwóch rożnych warunkach eksperymentalnych.
Odwzorowanie to można przedstawić w postaci macierzy [math]P[/math], której każdy wiersz zawiera wagi dla odpowiednich kanałów. Macierz zawierająca sygnał [math]X^{\pm}(t)[/math] ma wymiary [math]C \times N[/math], gdzie [math]C[/math] to liczba kanałów EEG, natomiast [math]N[/math] to liczba próbek dla każdego z kanałów. Macierz [math]P[/math] przekształca sygnał [math]X^{\pm}(t)[/math] zgodnie ze wzorem:
- [math]X^{\pm}_{CSP}(t)=P^T X^{\pm}(t) [/math]
Załóżmy dalej, że [math]X^{+}_{CSP} (t)[/math] i [math]X^{-}_{CSP} (t)[/math] reprezentują niezależne procesy stochastyczne
a ich kanały odpowiadają nieskorelowanym źródłom różnych aktywności elektrycznych, spełnione są warunki:
- Syganły [math]X^{+}_{CSP} (t)[/math] i [math]X^{-}_{CSP} (t)[/math] są niezależne.
- Brak korelacji pomiędzy kanałami w sygnałach[math]X^{+}_{CSP} (t)[/math] i [math]X^{-}_{CSP} (t)[/math].
- Przynajmniej dla jednego z kanałów wariancja przetransformowanego sygnału jest maksymalna przy wystąpieniu bodźca i minimalna przy jego braku.
Po przemnożeniu równania 2.3 przez [math](X^{\pm}_{CSP} (t))^T[/math] otrzymamy macierz kowariancji przetransformowanych sygnałów uśrednioną po realizacjach:
- [math]R^{\pm}_{CSP} (t) = X^{\pm}_{CSP} (t)(X^{\pm}_{CSP} (t))^T = P^T X^{\pm} (t) (X^{\pm}(t))^T P = P^T R^{\pm}P[/math] (2.4)
Gdzie [math]R^{\pm}[/math] to macierz kowariancji sygnału uśredniona po realizacjach. Z warunków 1 i 2 wynika, że macierze [math]R^{+}_{CSP}[/math] i [math]R^{-}_{CSP}[/math] muszą być diagonalne, natomiast z warunku 3, że ich suma daje macierz jednostkową:
- [math]R^{+}_{CSP} + R^{-}_{CSP} = 1 [/math] (2.5)
Tak więc suma par diagonalnych wartości ([math]k^{+}_{i}[/math] i [math]k^{-}_{i}[/math]) w macierzach [math]R^{+}_{CSP}[/math] i [math]R^{-}_{CSP}[/math] musi być równa 1. Korzystając z równania 2.5 wartości na diagonali można również zapisać za pomocą wzoru:
- [math]k^{+}_{i} = \vec{p}^{T}_{i} R^{+} \vec{p}_{i} [/math] (2.6)
- [math]k^{-}_{i} = \vec{p}^T_{i} R^{-}\vec{p}_{i} [/math] (2.7)
gdzie [math]\vec{p}_{i}[/math] to kolumnowy wektor macierzy [math]P[/math]. Po przekształceniach ilorazu równań 2.6 i 2.7 można otrzymać równanie:
- [math]R^{+} \vec{p}_{i} = \frac{k^{+}_{i}}{k^{-}_{i}} R^{-} \vec{p}_{i} [/math] (2.8)
 Równanie to przedstawia ogólną formę zagadnienia wartości własnych, gdzie wektor własny [math]\vec{p}_i[/math] jest interpretowany jako filtr przestrzenny. Dzięki transformacie <math>P/math> sygnał zostaje przeniesiony do przestrzeni, dla której różnica wariancji dla poszczególnych klas jest największa. Zgodnie z równaniem 2.5 najbardziej różniące się od siebie kanały są skorelowane z największą wartością własną.
