Matematyka 1NI/Dwumian Newtona

Dwumian Newtona

Zadanie 1

Znaleźć współczynnik przy [math]x^{334}\, [/math] w rozwinięciu wyrażenia [math]\displaystyle \left(\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}\right)^{1001}\, [/math].

Wskazówka

Zadanie bardzo łatwe, bez wskazówki.

---

Rozwiązanie

Wykorzystamy wzór dwumienny Newtona:

[math] (a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c} n\\ k\end{array}\right)a^kb^{n-k}\; , \, [/math]

przyjmując:

[math] a=\sqrt{x}\; ,\;\;\;\; b=\sqrt[3]{x}\; ,\;\;\;\; n=1001\; . \, [/math]

Z żądania aby

[math] \left(\sqrt{x}\right)^k\left(\sqrt[3]{x}\right)^{1001-k}=x^{334}\; , \, [/math]

wynika, że

[math] \frac{k}{2}-\frac{k}{3}+\frac{1001}{3}=334\; , \, [/math]

co daje [math]k=2\, [/math]. W konsekwencji, jak wynika z (1), poszukiwany współczynnik równy jest

[math] \left(\begin{array}{c}1001\\ 2\end{array}\right)=500500\; . \, [/math]

---

Zadanie 2

W wielomianie [math]\displaystyle w(x)=\sum_{k=0}^{10}(1+x)^k\, [/math] znaleźć wyraz zawierający [math]x^4\, [/math].

Wskazówka

Zadanie bardzo łatwe, bez wskazówki.

---

Rozwiązanie

W każdym z nawiasów postaci [math](1+x)^k\, [/math] znajdzie się wyraz zawierający [math]x^4\, [/math], o ile [math]k\geq 4\, [/math], przy czym współczynnik równy będzie

[math] \left(\begin{array}{c}k\\ 4\end{array}\right)\; . \, [/math]

Wnosimy stąd, że poszukiwany wyraz ma postać:

[math] \left[\sum_{k=4}^{10}\left(\begin{array}{c}k\\ 4\end{array}\right)\right] x^4=(1+5+15+35+70+126+210) x^4=462 x^4\; . \, [/math]

---

Zadanie 3

Wykazać tożsamość:

[math] \sum_{k=1}^nk\left(\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right)=n 2^{n-1}\; . \, [/math]

Wskazówka

Należy wykorzystać wzór dwumienny Newtona dla [math](a+b)^{n-1}\, [/math] dobierając odpowiednio [math]a\, [/math] i [math]b\, [/math].

---

Rozwiązanie

Wyrażenie [math]2^{n-1}\, [/math] zapiszemy w postaci [math](1+1)^{n-1}\, [/math] i wykorzystamy wzór dwumienny Newtona. Otrzymamy:

[math] 2^{n-1}=(1+1)^{n-1}=\sum_{k=0}^{n-1}\left(\begin{array}{c}n-1\\k\end{array}\right)1^k1^{n-1-k}=\sum_{k=0}^{n-1}\left(\begin{array}{c}n-1\\k\end{array}\right)\; . \, [/math]

W otrzymanym wyrażeniu przesuniemy zmienną sumowania pisząc [math]k=k'-1\, [/math], przy czym sumowanie po [math]k'\, [/math] bądzie przebiegać zakres od [math]1\, [/math] do [math]n\, [/math]. Opuszczając nieistotny prim przy [math]k\, [/math] mamy:

[math] 2^{n-1}=\sum_{k=1}^n\left(\begin{array}{c}n-1\\k-1\end{array}\right)=\sum_{k=1}^n\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}\cdot\frac{n}{n}\cdot\frac{k}{k}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nk\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nk\left(\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right)\; , \, [/math]

skąd wynika już (8).

---

Zadanie 4

Wykazać tożsamość:

[math] \sum_{k=1}^n(-1)^kk\left(\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right)=0\; , \, [/math]

dla [math]n\gt 1\, [/math].

Wskazówka

Należy wykorzystać wzór dwumienny Newtona dla [math](a+b)^{n-1}\, [/math] dobierając odpowiednio [math]a\, [/math] i [math]b\, [/math].

---

Rozwiązanie

Wyrażenie [math]0^{n-1}\, [/math] zapiszemy w postaci [math](-1+1)^{n-1}\, [/math] i wykorzystamy wzór dwumienny Newtona. Otrzymamy:

[math] 0=(-1+1)^{n-1}=\sum_{k=0}^{n-1}\left(\begin{array}{c}n-1\\k\end{array}\right)(-1)^k1^{n-1-k}=\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k\left(\begin{array}{c}n-1\\k\end{array}\right)\; . \, [/math]

Podobnie jak w poprzednim zadaniu, dokonamy teraz przesunięcia zmiennej sumowania: [math]k=k'-1\, [/math]. Sumowanie po [math]k'\, [/math] przebiegać będzie zakres od [math]1\, [/math] do [math]n\, [/math]. Opuszczając nieistotny prim przy [math]k\, [/math] otrzymujemy pożądany wynik:

[math] \begin{array}{ccl} 0&\!\!\! =&\!\!\! \displaystyle-\sum_{k=1}^n(-1)^k\left(\begin{array}{c}n-1\\k-1\end{array}\right)=-\sum_{k=1}^{n}(-1)^k\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}\cdot\frac{n}{n}\cdot\frac{k}{k}\\ &\!\!\! =&\!\!\! \displaystyle-\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n(-1)^k k\frac{n!}{k!(n-k)!}=-\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n(-1)^kk\left(\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right)\; . \end{array}\, [/math]

---

Zadanie 5

Wykazać tożsamość:

[math] \sum_{k=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right)^2=\left(\begin{array}{c}2n\\n\end{array}\right)\; . \, [/math]

Wskazówka

Należy wykorzystać tożsamość:

[math] (x+1)^n\left(\frac{1}{x}+1\right)^n=\frac{1}{x^n}(x+1)^{2n}\; . \, [/math]

---

Rozwiązanie

Wykorzystamy wzór (tożsamość), która zachodzi dla każdego [math]x\neq 0\, [/math]:

[math] (x+1)^n\left(\frac{1}{x}+1\right)^n=\frac{1}{x^n}(x+1)^{2n}\; . \, [/math]

Lewą i prawą jej stronę można rozwinąć (niezależnie) korzystając z wzoru dwumiennego Newtona. Współczynniki przy każdej potędze [math]x\, [/math] muszą być po obu stronach równe. Nas interesować będą te przy [math]x^0\, [/math]. Po lewej stronie mamy:

[math] \sum_{k=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right)x^k \sum_{l=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\l\end{array}\right)\frac{1}{x^l}\; . \, [/math]

Współczynnik przy [math]x^0\, [/math] znajdziemy dopisując pod podwójną sumą deltę Kroneckera postaci [math]\delta_{k-l,0}\, [/math], co oznacza, że suma po [math]l\, [/math] zniknie i zredukuje się do jednego wyrazu, dla którego [math]l=k\, [/math]. Poszukiwany współczynnik jest zatem równy:

[math] \sum_{k=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right)^2\; . \, [/math]

Po prawej stronie równania (16) współczynnik przy [math]x^0\, [/math] równy jest współczynnikowi przy [math]x^n\, [/math] dla wyrażenia wewnątrz nawiasu, czyli

[math] \left(\begin{array}{c}2n\\n\end{array}\right)\; , \, [/math]

skąd wynika, że faktycznie zachodzi (14).

---

Zadanie 6

Wykazać tożsamość:

[math] \sum_{k=0}^{2n}(-1)^k\left(\begin{array}{c}2n\\k\end{array}\right)^2=(-1)^n\left(\begin{array}{c}2n\\n\end{array}\right)\; . \, [/math]

Wskazówka

Należy wykorzystać tożsamość:

[math] (-x+1)^{2n}\left(\frac{1}{x}+1\right)^{2n}=\frac{1}{x^{2n}}(1-x^2)^{2n}\; . \, [/math]

---

Rozwiązanie

Wykorzystamy wzór (tożsamość), która zachodzi dla każdego [math]x\neq 0\, [/math]:

[math] (-x+1)^{2n}\left(\frac{1}{x}+1\right)^{2n}=\frac{1}{x^{2n}}(1-x^2)^{2n}\; . \, [/math]

Lewą i prawą stronę (22) rozwiniemy (niezależnie) korzystając z wzoru dwumiennego Newtona. Ponieważ mamy do czynienia z tożsamością, więc współczynniki przy każdej potędze [math]x\, [/math] po obu stronach muszą być równe. Nas interesować będą te przy [math]x^0\, [/math]. Po lewej stronie mamy:

[math] \sum_{k=0}^{2n}\left(\begin{array}{c}2n\\k\end{array}\right)(-x)^k \sum_{l=0}^{2n}\left(\begin{array}{c}2n\\l\end{array}\right)\frac{1}{x^l}\; . \, [/math]

Podobnie jak w poprzednim zadaniu, współczynnik przy [math]x^0\, [/math] znajdziemy dopisując pod podwójną sumą deltę Kroneckera postaci [math]\delta_{k-l,0}\, [/math]. Suma po [math]l\, [/math] zredukuje się wówczas do jednego wyrazu, dla którego [math]l=k\, [/math]. Poszukiwany współczynnik jest zatem równy:

[math] \sum_{k=0}^{2n}(-1)^k\left(\begin{array}{c}2n\\k\end{array}\right)^2\; . \, [/math]

Po prawej stronie równania (22) współczynnik przy [math]x^0\, [/math] równy jest współczynnikowi przy [math]x^{2n}\, [/math] dla wyrażenia wewnątrz nawiasu, czyli

[math] (-1)^n\left(\begin{array}{c}2n\\n\end{array}\right)\; . \, [/math]

Widzimy, że faktycznie zachodzi tożsamość (20).

---

Zadanie 7

Wykazać tożsamość:

[math] \sum_{k=0}^{2n-1}(-1)^k\left(\begin{array}{c}2n-1\\k\end{array}\right)^2=0\; . \, [/math]

Wskazówka

Należy wykorzystać tożsamość:

[math] (-x+1)^{2n-1}\left(\frac{1}{x}+1\right)^{2n-1}=\frac{1}{x^{2n-1}}(1-x^2)^{2n-1}\; , \, [/math]

dla [math]x\neq 0\, [/math].

---

Rozwiązanie

Wykorzystamy tę samą tożsamość, z której zrobiliśmy użytek w poprzednim zadaniu, jednakże tym razem dla nieparzystej potęgi:

[math] (-x+1)^{2n-1}\left(\frac{1}{x}+1\right)^{2n-1}=\frac{1}{x^{2n-1}}(1-x^2)^{2n-1}\; ,\;\;\;\; \mathrm{dla}\;\; x\neq 0\; . \, [/math]

Obie strony (28) niezależnie rozwiniemy, korzystając z wzoru dwumiennego Newtona. Jak wiemy, współczynniki przy każdej potędze [math]x\, [/math] po obu stronach muszą być równe, przy czym dla naszych celów wystarczy rozpatrzenie [math]x^0\, [/math]. Po lewej stronie mamy:

[math] \sum_{k=0}^{2n-1}\left(\begin{array}{c}2n-1\\k\end{array}\right)(-x)^k \sum_{l=0}^{2n-1}\left(\begin{array}{c}2n-1\\l\end{array}\right)\frac{1}{x^l}\; . \, [/math]

Współczynnik przy [math]x^0\, [/math] uzyskamy żądając aby [math]l=k\, [/math]. Poszukiwany współczynnik jest więc równy:

[math] \sum_{k=0}^{2n-1}(-1)^k\left(\begin{array}{c}2n-1\\k\end{array}\right)^2\; . \, [/math]

Natomiast po prawej stronie równania(28) współczynnik przy [math]x^0\, [/math] równy jest zero, gdyż występują tam wyłącznie nieparzyste potęgi [math]x\, [/math]. Oznacza to, że faktycznie zachodzi tożsamość (26).

---