Ćwiczenia 1

Analiza_sygnałów_-_ćwiczenia/Sygnały

Narzędzia wykorzystywane na ćwiczeniach

Python

Python jest językiem programowania wysokiego poziomu, który w połączeniu z bibliotekami NumPy i SciPy do obliczeń naukowych pozwala na szybkie i wygodne programowanie lub analizowanie danych w sposób interaktywny. Przykłady prezentowane w ramach zajęć powinny uruchamiać się zarówno w wersji 2 jak i 3 języka Python, jednak zachęcamy Państwa, aby od początku uczyć się i korzystać z wersji 3 języka.

Szczególnie przydatne na analizie sygnałów będą moduły:

• numpy
• scipy
• matplotlib

Do reprezentowania sygnałów w programach będziemy stosować tablice numpy:

• ndarray

Jest to zarówno efektywne jeśli chodzi o pamięć jak i o szybkość wykonywania operacji matematycznych.

Dokumentacja modułu scipy.signal

Proszę zapoznać się z dokumentacją biblioteki scipy.signal:

https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/

Svarog

Przydatnym narzędziem do analizy sygnałów, z którego będziemy korzystać na zajęciach, jest program SVAROG (pierwotnie skrót od Signal Viewer, Analyzer and Recorder On GPL). Program działa w środowisku Java, jest więc niezależny od systemu operacyjnego (Linux, Windows, OS X…). Svarog pozwala na wczytywanie i analizowanie sygnałów (nie tylko bioelektrycznych), zarówno przy użyciu prostych (FFT, spektrogram) jak i bardziej zaawansowanych (matching pursuit, ICA, DTF itd.) narzędzi. Dzięki współpracy z platformą OpenBCI, możliwa jest rejestracja sygnału (łącznie z metadanymi) bezpośrednio z poziomu graficznego interfejsu użytkownika.

Svarog: uruchamianie i konfiguracja

Aktualną wersję programu Svarog można pobrać stąd. Program nie wymaga instalacji. Po rozpakowaniu paczki do dowolnego katalogu należy uruchomić skrypt „run-svarog.sh” lub uruchomić bezpośrednio plik *.jar.

W przypadku pracy na własnych komputerach, do prawidłowego uruchomienia pluginu do analizy sygnałów, z którego będziemy korzystać w dalszej części ćwiczeń, konieczne jest zainstalowanie środowiska Oracle Java SE w wersji 8, które można pobrać ze strony wydawcy. Alternatywnie, użytkownicy systemu Ubuntu lub pokrewnych dystrybucji mogą zainstalować środowisko Java według instrukcji dostępnych na tej stronie.

Sygnały ciągłe i dyskretne

Próbkowanie w czasie

W tym ćwiczeniu zilustrujemy pojęcia:

• częstość próbkowania
• częstość Nyquista
• aliasing

Próbkowanie

W poniższym ćwiczeniu chcemy zbadać efekt próbkowania sygnału w czasie.

• W komputerach nie mamy dostępu do sygnału ciągłego.
• Wartości sygnału znane są tylko w dyskretnych momentach czasu.
• Najczęściej stosujemy równe odstępy czasu [math]dt[/math]
• Odwrotność tych okresów to częstość próbkowania [math]Fs = \frac{1}{dt}[/math]

Czy próbkując sygnał z częstością [math]Fs = 100[/math][Hz] mogę odwzorować sygnał o dowolnej częstości?

• wytwórz wektor t reprezentujący czas 1s próbkowany z częstością Fs

# -*- coding: utf-8 -*-

import pylab as py
import numpy as np
Fs =100
dt = 1/Fs
t = np.arange(0,1,dt) # czas 'prawie ciągły'

• wytwórz sygnał s, sinus o częstości f =10Hz. Dla przypomnienia wyrażenie: [math] s(t) = \sin(2 \pi f t)[/math] możemy w pythonie zapisać:

s = np.sin(2*np.pi*f*t)

• wykreśl ten sygnał za pomocą punktów i linii
• wykreśl sygnały o częstościach 20, 40, 50, 90 Hz

Efekt aliasingu

Na nasze potrzeby wygenerujemy sygnały próbkowane z bardzo dużą częstością, które będą dla nas aproksymacją sygnałów ciągłych. Przy ich pomocy zaprezentujemy efekt utożsamiania (aliasingu).

• Proszę wytworzyć wektor reprezentujący czas „prawie” ciągły. Będzie to u nas 1000 wartości z przedziału [0,1) wziętych z odstępem 0,001.
• Teraz proszę wygenerować dwie sinusoidy: jedną o częstości -1 a drugą o częstości 9.
• Proszę wykreślić obie sinusoidy.
• Teraz proszę spróbkować czas i nasze „prawie” ciągłe sinusoidy z okresem próbkowania 0,1. (Trzeba pobrać co 100 element, proszę posłużyć się wycinkami)
• Na tle „prawie” ciągłych sinusoid proszę dorysować punkty ze spróbkowanych sygnałów. Aby punkty były dobrze widoczne proponuję użyć markerów x oraz +.
• Proszę zaobserwować wzajemne położenie punktów.
• Czy można odróżnić sinusoidę o częstości −1 od sinusoidy o częstości 9, jeśli obie są próbkowane z częstością 10?
• Jak można uogólnić tą obserwację?

*

Sygnały testowe

Generowanie sygnałów testowych

Do badania różnych metod analizy sygnałów potrzebne nam będą sygnały o znanych własnościach. W szczególności dobrze jest umnieć nadać sygnałom występującym w postaci cyfrowej, oraz sztucznym sygnałom próbnym pewne własności fizyczne takie jak:

• czętość próbkowania
• czas trwania
• amplituda

Przykład sinus

Sinus o zadanej częstości (w Hz), długości trwania, częstości próbkowania i fazie. Poniższy kod implementuje i testuje funkcję

[math] \sin(f,T,Fs,\phi) = \sin(2*\pi f t)[/math] dla [math]t \in \{0,T\}[/math]

# -*- coding: utf-8 -*-

import pylab as py
import numpy as np

def sin(f = 1, T = 1, Fs = 128, phi =0 ):
	'''sin o zadanej częstości (w Hz), długości, fazie i częstości próbkowania
	Domyślnie wytwarzany jest sygnał reprezentujący 
	1 sekundę sinusa o częstości 1 Hz i zerowej fazie próbkowanego 128 Hz
	'''

	dt = 1.0/Fs
	t = np.arange(0,T,dt)
	s = np.sin(2*np.pi*f*t + phi)
	return (s,t)
	
	
(s,t) = sin(f=10,Fs=1000)
py.plot(t,s)
py.show()

Przykład: eksport sygnału do pliku binarnego

• Poniższy kod ilustruje sposób zapisu dwóch funkcji sinus o częstościach 10 Hz i 21 Hz do pliku binarnego:

# -*- coding: utf-8 -*-

import numpy as np

T = 5
Fs = 128.0

s1 = sin(f=10, T=T, Fs=Fs)
s2 = sin(f=21, T=T, Fs=Fs)	
	
signal = np.zeros((T*Fs, 2), dtype='<f')
signal[:, 0] = s1
signal[:, 1] = s2

f = open('test_signal1.bin', 'wb')
signal.tofile(f)
f.close()

Przykład: wczytanie sygnału do Svaroga

W celu wczytania zapisanego binarnie sygnału do programu Svarog, po wybraniu File -> Open signal, należy wprowadzić częstość próbkowania sygnału oraz liczbę kanałów.

Wczytywanie sygnału w programie Svarog.

Delta

Podobnie można zdefiniować funkcję delta o zadanym czasie trwania, częstości próbkowania i momencie wystąpienia impulsu:

[math] \delta(t_0) = \left\{^{1 \quad t=t_0} _{0 \quad t \ne t_0} \right.[/math]

def delta(t0=0.5, T=1  ,Fs = 128):
	dt = 1.0/Fs
	t = np.arange(0,T,dt)
	d = np.zeros(len(t))
	d[np.ceil(t0*Fs)]=1
	return (d,t)

Zadanie:

Analogicznie do powyższych przykładów proszę zaimplementować i przetestować funkcje generujące:

• funkcję Gabora (funkcja Gaussa modulowana cosinusem) o zadanej częstości i standardowym odchyleniu w czasie, momencie wystąpienia, długości, częstości próbkowania i fazie.

[math] g = \exp\left(-\frac{1}{2}\left(\frac{t-t_0}{\sigma}\right)^2 \right) \cdot \cos(2 \pi f t + \phi); [/math]

• szum gaussowski o zadanej średniej, odchyleniu standardowym, długości i częstości próbkowania.

Analiza_sygnałów_-_ćwiczenia/Sygnały