Matematyka 1NI/Podstawowe własności funkcji
Zadanie 1
Pokaż, że funkcja
[math] f: \, {\mathbb R} \ni x \mapsto f(x)=x^3+x [/math]
jest injekcją.
Istotnie [math]\forall x_1,x_2 \in {\mathbb R}[/math] prawdą jest
[math] x_1^3+x_1=x_2^3+x_2 \iff x_2^3-x_1^3+x_2 -x_1=0 \iff (x_2 -x_1)(x_2^2+x_1^2+x_1 x_2+1) =0 \iff (x_2 -x_1) [\frac{1}{2}x_2^2+\frac{1}{2}x_1^2+\frac{1}{2}(x_1+ x_2)^2+1]=0\iff x_2=x_1 [/math]
Zadanie 2
Pokaż, że funkcja
[math] f: \, {\mathbb R} \ni x \mapsto f(x)=x^3+x [/math]
jest rosnąca.
Istotnie [math]\forall x_1,x_2 \in {\mathbb R}[/math] prawdą jest
[math] x_1^3+x_1\lt x_2^3+x_2 \iff x_2^3-x_1^3+x_2 -x_1\gt 0 \iff (x_2 -x_1)(x_2^2+x_1^2+x_1 x_2+1) \gt 0 \iff (x_2 -x_1) [\frac{1}{2}x_2^2+\frac{1}{2}x_1^2+\frac{1}{2}(x_1+ x_2)^2+1]\gt 0\iff x_2\gt x_1 [/math].
Zadanie 3
Podaj, przeciwdziedzinę funkcji
[math] f: \, {\mathbb R} \ni x \mapsto f(x)=\frac{x^2-1}{x^2+1} [/math]
tak by funkcja ta była surjekcją.
Niech [math]y[/math] jest dowolną liczbą rzeczywistą sprawdźmy kiedy istnieje [math]x [/math] takie, że [math] y=\frac{x^2-1}{x^2+1} [/math]. Mnożąc przez [math] x^2+1 [/math] i porządkując otrzymujemy [math] (1-y)x^2=1+y [/math]. Widzimy, że w przypadku gdy [math] y=1[/math] taki [math] x[/math] nie istnieje. Gdy [math] y\neq 1[/math] otrzymujemy [math] x^2=\frac{1+y}{1-y} [/math]. Aby [math] x[/math] istniał potrzeba i wystarcza by [math] 0 \leq \frac{1+y}{1-y} [/math] co zachodzi dla [math] y\in [-1, 1[[/math].
Szukana przeciwdziedzina to odcinek [math] [-1, 1[[/math].
Zadanie 4
Dana jest funkcja
[math] f: \, \{1,3,7 \}\to \{-1,2,3 \} [/math]
zadana przez
[math] f(1)=2 [/math]
[math] f(3)=3 [/math]
[math] f(7)=-1 [/math]
Znajdź funkcję odwrotną do [math]f[/math]. Narysuj wykresy [math]f[/math] i [math]f^{-1}[/math].
Odpowiedź
[math] f: \, \{-1,2,3 \} \to \{1,3,7 \} [/math]
[math] f(2)=1 [/math]
[math] f(3)=3 [/math]
[math] f(-1)=7 [/math]
Zadanie 5
Pokaż, że funkcja
[math] f: \, {\mathbb R} \ni x \mapsto f(x)=\frac{x}{x^2+1} [/math]
jest ograniczona.
Pokaż na przykład, że [math] \forall x \in {\mathbb R} \,\,\, -1\lt \frac{x}{x^2+1}\lt 1 [/math]
Rzeczywiście dla dowolnego [math] x \in {\mathbb R}[/math] mamy
[math] -1\lt \frac{x}{x^2+1}\lt 1 \iff -x^2-1\lt x\lt x^2+1 \iff -x^2-x-1\lt 0\lt x^2-x+1 \iff -(x+\frac{1}{2})^2-\frac{3}{4}\lt 0\lt (x-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4} [/math]
ostatnie nierówności są w sposób oczywisty prawdziwe.
Zadanie 6
Znajdź funkcję odwrotną do funkcji
[math] f: \, {\mathbb R_+} \to ]-1,1[ [/math]
[math] x \mapsto f(x)=\frac{x^2-1}{x^2+1} [/math].
Z zadania 3 wiemy już, że zbiór wartości funkcji to [math] ]-1,1[[/math]. Niech [math]y[/math] jest dowolną liczbą rzeczywistą z przedziału [math] ]-1,1[[/math]. Pokażemy, że istnieje dokładnie jeden [math]x [/math] dodatni taki, że [math] y=\frac{x^2-1}{x^2+1} [/math]. Istotnie, mnożąc przez [math] x^2+1 [/math] i porządkując otrzymujemy [math] (1-y)x^2=1+y [/math]. Skąd ponieważ [math] y\neq 1[/math] otrzymujemy [math] x^2=\frac{1+y}{1-y} [/math] i ponieważ [math] \frac{1+y}{1-y} [/math] jest liczbą dodatnią (patrz Zadanie 3), istnieje [math]x[/math] i jest tylko jeden (bo [math]x \in\mathbb{R}_+[/math]), taki że [math] x^2=\frac{1+y}{1-y} [/math] mianowicie [math] x=\sqrt{\frac{1+y}{1-y}} [/math]. Wniosek
[math] f^{-1}(x)=\sqrt{\frac{1+x}{1-x}} [/math].
Położyć nacisk na sprawdzanie czy funkcja jest bijekcją. Tu wynika to wprost ze znajomości podstawowych funkcji elementarnych. Na zakończenie złożyć [math] f^{-1}\circ f[/math].
