Matematyka 1NI/Wielomiany i funkcje wymierne część I
Zadanie 1
Dane są wielomiany [math] w_1(x)=x+7 [/math], [math] w_2(x)=x^2+7 [/math] i [math] w_3(x)=7x^2+7x [/math]. Znajdź wielomian [math] w_4(x) = w_1(x)*w_2(x)-w_3(x)[/math]
To łatwe.
[math] w_4(x)=(x+7)(x^2+7)- 7x^2-7x =x^3+49 [/math]
Iloczyn dwóch wielomianów jest wielomianem, suma dwóch wielomianów jest wielomianem.
Zadanie 2
Podziel (z resztą) wielomian [math] w(x)=x^4-3 x^3+1 [/math] przez wielomian [math] v(x)=x^3+2 [/math].
Przykro nam ale to zadanie również nie wymaga wskazówki.
[math] \frac{x^4-3 x^3+1}{x^3+2}=x-3+\frac{-2x+7}{x^3+2} [/math]
Zadanie 3
Znajdź resztę z dzielenia wielomianu [math] w(x)=x^{1000}+1 [/math] przez wielomian [math] v(x)=(x-1)(x-2)[/math].
Jakiego stopnia jest reszta?
Ponieważ dzielimy przez wielomian drugiego stopnia, reszta jest wielomianem stopnia co najwyżej pierwszego [math] r(x)=a x+b [/math]. Mamy
[math] x^{1000}+1 =p(x) (x-1)(x-2)+ a x+b[/math]
gdzie [math]p(x)[/math] jest pewnym wielomianem. Wstawiając do ostatniej równości kolejno [math]x=1[/math] i [math]x=2[/math] otrzymujemy [math]2=a+b[/math] i [math]2^{1000}+1=2a+b[/math]. Czyli [math]a=2^{1000}-1[/math], [math]b=3-2^{1000}[/math]. Szukaną resztą jest
[math] r(x)=(2^{1000}-1) x+ 3-2^{1000}[/math].
Jak widać przy znajdowaniu reszty nie jest potrzebna znajomość wyniku dzielenia.
Zadanie 4
Znajdź resztę z dzielenia wielomianu [math] w(x)=x^{1000}+x^6+1 [/math] przez wielomian [math] v(x)=x^2+1[/math].
Podstaw [math] t=x^2 [/math].
Zadanie sprowadza się do dzielenia wielomianu [math] w_1(t)=t^{500}+t^3+1 [/math] przez wielomian [math] v_1(t)=t+1[/math]. Reszta z takiego dzielenia jest wielomianem stopnia co najwyżej 0 i wynosi ona
[math] r(t)=c=w_1(-1)=(-1)^{500}+(-1)^3+1=1[/math]
Zadanie 5
Podziel (z resztą) wielomian [math] w(x)=x^n-a^n [/math] przez wielomian [math] v(x)=x-a[/math].
[math] \frac{x^n-a^n}{x-a}=\sum_{k=0}^{n-1} x^{n-1-k} a^k [/math].
Przypomnieć definicję podzielności wielomianów i twierdzenie Bezoute'a
Zadanie 6
Sprowadź trójmian kwadratowy do postaci kanonicznej.
[math]a x^2+b x+c= a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a})= a(x^2+2\frac{b}{2a}x+\frac{c}{a})=a\left[x^2+2\frac{b}{2a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{c}{a}\right]=a\left[(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right][/math]
Przećwiczyć przesuwanie wykresu funkcji!
Zadanie 7
Rozwiąż równanie [math] (x+1)^2-9=0[/math]
Zamiast wskazówki zakaz: nie wolno wykonywać mnożenia.
[math] (x+1)^2=9 \iff ( x+1=3 \or x+1=-3) \iff (x=2 \or x=-4)[/math]
Zadanie 8
Znajdź środek symetrii wykresu funkcji [math] y=ax^3+bx^2+cx+d[/math]
Sprowadź wielomian trzeciego stopnia do postaci kanonicznej [math] y=a\left[(x-A)^3+B(x-A)+C\right][/math]. Środek symetrii znajduje się w punkcie [math](A,aC)[/math] (dlaczego?).
Sprowadzamy wielomian trzeciego stopnia do postaci kanonicznej [math] y=ax^3+bx^2+cx+d=a\left(x^3+\frac{b}{a}x^2+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}\right)= a\left[ x^3 +3\frac{b}{3a}x^2 +3 \left(\frac{b}{3a}\right)^2 x +\left(\frac{b}{3a}\right)^3 -3 \left(\frac{b}{3a}\right)^2 x -\left(\frac{b}{3a}\right)^3 +\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}\right]= [/math]
[math] =a\left[\left(x +\frac{b}{3a}\right)^3+\left(\frac{c}{a}-3 \left(\frac{b}{3a}\right)^2\right)x+\frac{d}{a}-\left(\frac{b}{3a}\right)^3\right] =a\left[\left(x +\frac{b}{3a}\right)^3+\left(\frac{c}{a}-3 \left(\frac{b}{3a}\right)^2\right)(x+\frac{b}{3a}-\frac{b}{3a})+\frac{d}{a}-\left(\frac{b}{3a}\right)^3\right]= [/math]
[math] =a \left[ \left( x +\frac{b}{3a} \right)^3+ \left( \frac{c}{a}-3 \left(\frac{b}{3a}\right)^2 \right)(x+\frac{b}{3a})+\frac{d}{a}- \left(\frac{b}{3a} \right)^3-\frac{b}{3a} \left(\frac{c}{a}-3 \left(\frac{b}{3a}\right)^2 \right) \right] =a\left[ \left( x +\frac{b}{3a}\right)^3+ \frac{3ac-b^2}{3a^2}(x+\frac{b}{3a})+\frac{27a^2d+2b^3-9abc}{27a^3} \right] [/math]
Położenie środka symetrii to [math]\left(-\frac{b}{3a},\frac{27a^2d+2b^3-9abc}{27a^2}\right)[/math].
Zadanie 9
Dla jakich wartości parametru [math]a[/math] równanie kwadratowe (na [math]x[/math]) [math]2x^2+a x+\frac{1}{4} a^2-a=0[/math] ma dwa (różne) pierwiastki ujemne.
Skorzystaj ze wzorów Viete'a.
Aby istniały dwa pierwiastki rzeczywiste trójmianu kwadratowego jego wyróżnik musi być dodatni [math]-a^2+8a \gt 0 \iff a \in]0,8[[/math], aby pierwiastki te były ujemne potrzeba i wystarcza by po pierwsze suma pierwiastków była ujemna tzn. [math]-\frac{a}{2}\lt 0 \iff a\gt 0[/math] po drugie iloczyn pierwiastków był dodatni [math]0\lt \frac{a^2}{8}-\frac{a}{2} \iff a\in ]-\infty,0[\cup ]4,\infty[[/math]. Zbierając otrzymane wyniki otrzymujemy odpowiedź [math]a\in ]4,8[[/math].
Zadanie 10
Wielomian [math]w(x)=4x^4-4x^3-13x^2 +12 x+3[/math] ma cztery pierwiastki rzeczywiste [math] x_1, \,[/math] [math]x_2,\,[/math] [math] x_3[/math] i [math]x_4[/math]. Znajdź wartości następujących wyrażeń:
a) [math]x_1+x_2+x_3+x_4,\, [/math] b) [math]x_1x_2x_3x_4,\, [/math] c) [math]x_1x_2 +x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4[/math].
Wyprowadź wzory Viete'a dla równania czwartego stopnia.
Wielomian [math]w(x)[/math] można przedstawić w postaci iloczynowej [math]w(x)=4(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)[/math]. Po wymnożeniu otrzymujemy
[math]w(x)=4[x^4 -(x_1+x_2+x_3+x_4)x^3+(x_1x_2 +x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4)x^2 -(x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4) x+x_1x_2x_3x_4][/math].
Porównując współczynniki otrzymujemy
a) [math]x_1+x_2+x_3+x_4=1[/math], b) [math]x_1x_2x_3x_4=\frac{3}{4}[/math], c) [math]x_1x_2 +x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4=\frac{-13}{4}[/math]
Zadanie 11
Znajdź wszystkie rozwiązania całkowite równania.
[math]\displaystyle x^4+3x^3-\frac{7}{2}x^2+\frac{3}{2} x-2=0[/math].
Rozwiązań szukamy pośród liczb [math]-4,-2,-1,1,2,4[/math].
Sprawdzając wszystkie możliwe przypadki otrzymujemy [math]x=1 \, \vee \, x=-4[/math].
Podkreślić należy, że twierdzenia podane na wykładzie dotyczą wielomianów o współczynnikach całkowitych. Ponadto pomimo, że podstawowe twierdzenie algebry zostanie omówione później można już w tym miejscu korzystać z faktu iż wielomian stopnia [math]n[/math] ma co najwyżej [math]n[/math] pierwiastków.
Zadanie 12
Znajdź wszystkie rozwiązania wymierne równania
[math]\displaystyle x^3+\frac{7}{4}x^2-\frac{5}{8}x-\frac{1}{4} =0[/math].
Rozwiązań szukamy pośród liczb [math]-2,-1,1,2,-\frac{1}{2},-\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{2}, -\frac{1}{8},\frac{1}{8} [/math]. Poszukiwania przerywamy po znalezieniu trzech pierwiastków.
Sprawdzając wszystkie możliwe przypadki otrzymujemy [math]x=-2 \, \vee \, x=-\frac{1}{4} \, \vee \, x=\frac{1}{2}[/math].
Patrz uwagi do poprzedniego zadania
Zadanie 13
Dla funkcji [math]f(x)=x^2+k x+k^2-k[/math] znaleźć zbiór wartości [math]k[/math], dla którego [math]\forall x\in\mathbb{R} \, : \,f(x)\gt 0[/math].
Wyróżnik trójmianu kwadratowego musi być ujemny tzn. [math]-3k^2+4k\lt 0 [/math].
Odpowiedź: [math]k \in ]-\infty,0[ \, \cup \, ]\frac{4}{3},\infty[ [/math]
Zadanie 14
Rozwiąż nierówność
[math]\displaystyle \frac{(x-1)^5(x^2-x+1)(x^2-2)(x+1)^6}{x^2-2x-1} \geq 0[/math].
Naszkicuj pomocniczy wykresy wielomianu [math]w(x)= (x-1)^5(x^2-x+1)(x^2-2)(x+1)^6(x^2-2x-1) [/math], z uwzględnieniem miejsc zerowych i ich krotności.
Odpowiedź:
[math]x \in [-\sqrt{2},1-\sqrt{2}[\, \cup \, [1,\sqrt{2}] \,\cup \, ]1+\sqrt{2},\infty[[/math].
Omówić zachowanie asymptotyczne wielomianów.
Zadanie 15
Rozwiąż nierówność [math]x^6+x^3-2\gt 0[/math].
Podstaw [math] t=x^3[/math].
Podstawienie [math] t=x^3[/math] daje nierówność [math]t^2+t-2\gt 0[/math], która jest spełniona dla [math] t\in ]-\infty,-2[\cup]1,\infty[[/math]. Ponieważ funkcja [math] {\mathbb R} \ni x \mapsto t=x^3[/math] jest rosnąca otrzymujemy wynik
[math]x \in [-\infty,-\sqrt[3]{2}[ \,\cup \, ]1,\infty[[/math].
