Matematyka 1NI/Funkcje cyklometryczne
Uwaga
Zadania poprzedzamy wykresami funkcji cyklometrycznych i funkcji do nich odwrotnych.
Funkcje cyklometryczne
Zadanie 1
Oblicz [math] \arcsin 1 [/math], [math] \arcsin \left(- \frac{\sqrt{2}}{2}\right)[/math], [math] \arccos \left(- \frac{\sqrt{2}}{2}\right)[/math], [math] \arctan \sqrt{3} [/math].
Odpowiedzi: [math] \frac{\pi}{2} [/math], [math] - \frac{\pi}{4} [/math], [math] \frac{3\pi}{4} [/math], [math] \frac{\pi}{3} [/math].
Jeśli zajdzie potrzeba zrobić więcej przykładów.
Zadanie 2
Oblicz [math] \arccos \cos 3[/math], [math] \arcsin \sin 3[/math], [math] \arctan \tan 3[/math], [math] \arccos \sin 3[/math].
Ponieważ [math]3\in[0,\pi][/math] to [math] \arccos \cos 3=3[/math].
Ponieważ [math]\pi - 3\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}][/math] oraz [math]\sin (\pi - 3)=\sin 3[/math] to [math] \arcsin \sin 3=\pi-3[/math].
Ponieważ [math]3 - \pi \in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}][/math] oraz [math]\tan (3 - \pi)=\tan 3[/math] to [math] \arctan \tan 3=3-\pi[/math].
Ponieważ [math]3 - \frac{\pi}{2} \in [0,\pi][/math] oraz [math]\sin 3=\cos \left( 3 - \frac{\pi}{2}\right)[/math] to [math] \arccos \sin 3=3 - \frac{\pi}{2}[/math].
Zadanie 3
Udowodnij, że
a) [math]\forall x\in \mathbb{R}: \, \sin \arctan x =\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}[/math],
b) [math] \forall x\in ]-1,1[: \, \tan \arcsin x=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} [/math].
a) Ponieważ dla kątów [math] \alpha \in ]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[[/math] zachodzi [math]\sin \alpha=\frac{\tan \alpha}{\sqrt{1+\tan^2 \alpha}}[/math] to wstawiając [math]\alpha= \arctan x[/math] otrzymujemy tezę.
b) Ponieważ dla kątów [math] \alpha \in ]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[[/math] zachodzi [math]\tan \alpha=\frac{\sin \alpha}{\sqrt{1-\sin^2 \alpha}}[/math] to wstawiając [math]\alpha= \arcsin x[/math] otrzymujemy tezę.
Zadanie 4
Udowodnij, że
a) [math] \arctan \frac{1}{2} +\arctan \frac{1}{3} =\frac{\pi}{4}[/math],
b) [math] \arctan (-2) +\arctan (-3) =-\frac{3\pi}{4}[/math].
Oblicz tangens lewej i prawej strony równości.
a) Ponieważ [math] \arctan \frac{1}{2}\in ]0,\frac{\pi}{2}[[/math] i [math] \arctan \frac{1}{3} \in ]0,\frac{\pi}{2}[[/math] to suma [math] \arctan \frac{1}{2} +\arctan \frac{1}{3}[/math] należy do przedziału [math]]0, \pi[[/math] a w przedziale tym tangens jest różnowartościowy. W rezultacie ograniczając się do przedziału [math]]0, \pi[[/math] możemy zapisać
[math] \arctan \frac{1}{2} +\arctan \frac{1}{3} =\frac{\pi}{4} \iff \tg(\arctan \frac{1}{2} +\arctan \frac{1}{3}) =\tan\frac{\pi}{4} \iff \frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}}=1 \iff 1=1 [/math].
b) Ponieważ [math] \arctan (-2)\in ]-\frac{\pi}{2},0[[/math] i [math] \arctan (-3) \in ]-\frac{\pi}{2},0[[/math] to suma [math] \arctan (-2) +\arctan (-3)[/math] należy do przedziału [math]]- \pi,0[[/math] a w przedziale tym tangens jest różnowartościowy. W rezultacie
[math] \arctan (-2) +\arctan (-3) =-\frac{3\pi}{4} \iff \tg(\arctan (-2) +\arctan (-3)) =\tg\left( -\frac{3\pi}{4} \right) \iff \frac{-2 -3}{1-(-2) \cdot (-3)}=1 \iff 1=1 [/math].
