Matematyka 1NI/Funkcja potęgowa
Funkcja potęgowa
Zadanie 1
Dla jakich wartości [math]x\in\mathbb{R}[/math] wyrażenie
[math]x^3+x^{-3}+x^{\frac{3}{2}}+x^{\frac{2}{3}}+x^{-\frac{3}{2}}+x^{-\frac{2}{3}}+x^{\pi}+x^{-e}[/math]
ma sens.
Dziedziną naturalną kolejnych składników sumy są odpowiednio
[math]\mathbb{R}[/math], [math]\mathbb{R}\setminus \{0\}[/math],[math]\mathbb{R}_+ \cup \{0\}[/math],[math]\mathbb{R}[/math], [math]\mathbb{R}_+[/math], [math]\mathbb{R}\setminus \{0\}[/math], [math]\mathbb{R}_+ \cup \{0\}[/math], [math]\mathbb{R}_+[/math].
Odpowiedź: [math]x\in \mathbb{R}_+[/math].
Zadanie 2
Rozwiąż równanie [math]x=\sqrt{x+6}[/math].
Dla dowolnego [math] x \geq -6 [/math] prawdziwy jest ciąg implikacji
[math]x=\sqrt{x+6}\implies x^2=x+6 \implies x=-2 \, \vee \, x=3 [/math]. Wynika stąd, że wszystkie rozwiązania znajdują się w zbiorze [math]\{-2,3\}[/math].
Sprawdzając czy liczby są rzeczywiście rozwiązaniami (implikacja w drugą stronę) widzimy, że jedynym rozwiązaniem jest liczba 3.
Zadanie 3
Rozwiąż nierówność [math]2x-1\lt \sqrt{2 x^2+1}[/math].
Dla [math]2x-1\lt 0 [/math] lewa strona nierówności jest ujemna a prawa dodatnia więc nierówność jest spełniona dla dowolnego [math] x\lt \frac{1}{2} [/math]. Dla [math] x\geq \frac{1}{2} [/math] obie strony nierówności są nieujemne i w tym przypadku wyjściowa nierówność jest równoważna nierówności
[math](2x-1)^2\lt 2 x^2+1 \iff x(x-2)\lt 0 [/math].
Ostatecznie mamy [math]x \in ]-\infty,2[ [/math].
Zadanie 4
Rozwiąż nierówność [math]4x\gt \sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}[/math].
Zadanie rozwiązujemy w zbiorze [math][-1,1][/math], bo prawa strona nierówności ma sens dla [math]-1\leq x \leq 1[/math].
Dla [math] x\lt 0 [/math] lewa strona nierówności jest ujemna a prawa dodatnia więc nierówność nie jest spełniona.
Dla [math] x \geq 0 [/math] wyjściowa nierówność jest równoważna nierówności
[math]8x^2-1\gt \sqrt{1-x^2}[/math].
Dalej rozwiązujemy nierówność jedynie dla [math]1 \geq x \geq \frac{\sqrt{2}}{4}[/math]. Wtedy mamy
[math](8x^2-1)^2\gt 1-x^2[/math]
tzn. [math]x^2(64x^2-15)\gt 0[/math].
Czyli ostatecznie [math] \frac{\sqrt{15}}{8}\lt x\leq 1[/math].
