Matematyka 1NI/Wartość bezwzględna
Wartość bezwzględna
Zadanie 1
Rozwiąż równanie
[math]|x+1|+|x+2|=7[/math].
Dla [math] x [/math] należących przedziału [math]]-\infty,-2][/math] równanie przyjmuje postać [math]-x-1-x-2=7[/math] tzn. [math]x=-5[/math].
Dla [math]x\in ]-2,-1][/math] mamy [math]-x-1+x+2=7[/math] czyli [math]1=7[/math], równanie jest sprzeczne.
Dla [math]x\in ]-1,\infty][/math] mamy [math]x+1+x+2=7[/math] czyli [math]x=2[/math]. Ostatecznie
[math]x \in \{-5,2\}[/math]
Rozwiązać równanie [math]|x+1|+|x+2|=1[/math].
Zadanie 2
Rozwiąż równanie
[math]||||x+1|-2|+3|+4|=7[/math].
Wyrażenie [math]|||x+1|-2|+3|+4[/math] jest dodatnie dla dowolnego [math]x[/math] rzeczywistego. Wobec tego
[math]|||x+1|-2|+3|+4=7[/math] to znaczy [math]|||x+1|-2|+3|=3[/math].
Widać również, że [math]||x+1|-2|+3=3[/math] czyli [math]||x+1|-2|=0[/math] skąd otrzymujemy
[math]|x+1|=2[/math] i ostatecznie
[math]x \in \{1,-3\}[/math].
Zadanie 3
Jakimi figurami na płaszczyźnie [math]\mathbb{R}^2[/math] są następujące zbiory
- [math]\{(x,y) \in {\mathbb R^2}| \,\,\, |x+1|+|y+2| \leq 4\}[/math],
- [math]\{(x,y) \in {\mathbb R^2}| \,\,\, y=|x+1|+|x+2| +|x+3|\}[/math].
- W ćwiartce płaszczyzny określonej przez nierówności [math]x\geq -1 \,\wedge \, y \geq -2 [/math] nasz zbiór opisuje nierówność [math]x+y \leq 1[/math]. W ćwiartce płaszczyzny określonej przez nierówności [math]x\leq -1 \,\wedge \, y \geq -2 [/math] nasz zbiór opisuje nierówność [math]-x+y \leq 3[/math]. W ćwiartce płaszczyzny określonej przez nierówności [math]x\geq -1 \,\wedge \, y \leq -2 [/math] nasz zbiór opisuje nierówność [math]x-y \leq 5[/math]. W ćwiartce płaszczyzny określonej przez nierówności [math]x\leq -1 \,\wedge \, y \leq -2 [/math] nasz zbiór opisuje nierówność [math]-x-y \leq 7[/math]. Ostatecznie otrzymujemy kwadrat o wierzchołkach [math](-1,2)[/math], [math](3,-2)[/math], [math](-1,-6)[/math], [math](-5,-2)[/math].
- Rozważamy cztery przypadki [math]x \in ]-\infty,-3][/math], [math]x \in ]-3,-2][/math], [math]x \in ]-2,-1][/math], [math]x \in ]-1,\infty[[/math] otrzymując łamaną, która w rozpatrywanych przedziałach jest opisywana przez odcinki (lub półproste) opisywane odpowiednio przez równania [math]y=-3x-6[/math], [math]y=-x[/math], [math]y=x+4[/math] i [math]y=3x+6[/math].
