Matematyka 1NI/Obliczanie pochodnych z definicji

Obliczanie pochodnych z definicji

Zadanie 1

Znaleźć z definicji pochodną funkcji [math]f(x)=\mathrm{ctg}\, x\, [/math] w punkcie [math]x_0\neq k\pi\, [/math], gdzie [math]k\in\mathbb{N}\, [/math].

Wskazówka

Zadanie bardzo proste, bez wskazówki.

---

Rozwiązanie

Napiszemy wyrażenie na iloraz różnicowy:

[math] \begin{array}{ccl} \displaystyle \frac{f(x_0+\bigtriangleup x)-f(x_0)}{\bigtriangleup x} &\!\!\!\! =&\!\!\!\! \displaystyle \frac{\mathrm{ctg}(x_0+\bigtriangleup x)-\mathrm{ctg}\, x_0}{\bigtriangleup x}\\ &\!\!\!\! =&\!\!\!\! \displaystyle \frac{\cos(x_0+\bigtriangleup x)\sin x_0 -\sin(x_0+\bigtriangleup x)\cos x_0}{\bigtriangleup x \sin x_0 \sin(x_0+\bigtriangleup x)}\; .\end{array} \, [/math]

Korzystając ze wzorów na sinus i cosinus sumy kątów oraz ze znanych granic:

[math] \begin{array}{ccl} \displaystyle \lim_{\bigtriangleup x\rightarrow 0}\frac{\sin \bigtriangleup x}{\bigtriangleup x}&\!\!\! =&\!\!\! 1\; ,\\ \displaystyle \lim_{\bigtriangleup x\rightarrow 0}\sin (x_0+\bigtriangleup x)&\!\!\! =&\!\!\! \displaystyle \sin x_0\; , \end{array}\,[/math]

przy czym ta druga wynika z ciągłości funkcji sinus, możemy napisać:

[math] \begin{array}{ccl} f'(x_0)&\!\!\! =&\!\!\! \displaystyle \lim_{\bigtriangleup x\rightarrow 0}\frac{f(x_0+\bigtriangleup x)-f(x_0)}{\bigtriangleup x}\\ &\!\!\! =&\!\!\! \displaystyle \lim_{\bigtriangleup x\rightarrow 0}\frac{(\cos x_0\cos\bigtriangleup x-\sin x_0\sin\bigtriangleup x)\sin x_0 -(\sin x_0\cos\bigtriangleup x+\cos x_0\sin\bigtriangleup x)\cos x_0}{\bigtriangleup x \sin x_0 \sin(x_0+\bigtriangleup x)}\\ &\!\!\! =&\!\!\! \displaystyle -\lim_{\bigtriangleup x\rightarrow 0}\frac{\sin \bigtriangleup x}{\bigtriangleup x}\cdot\frac{\sin^2 x_0 +\cos^2 x_0}{\sin x_0 \sin(x_0+\bigtriangleup x)}=-\frac{1}{\sin^2 x_0}\; . \end{array}\,[/math]

---

Zadanie 2

Znaleźć z definicji pochodną funkcji [math]f(x)=\mathrm{cosh}\, x\, [/math] w punkcie [math]x_0\in\mathbb{R}\, [/math].

Wskazówka

Zadanie bardzo proste, bez wskazówki.

---

Rozwiązanie

Iloraz różnicowy ma postać:

[math] \begin{array}{ccl} \displaystyle \frac{f(x_0+\bigtriangleup x)-f(x_0)}{\bigtriangleup x}&\!\!\! =&\!\!\! \displaystyle \frac{\mathrm{cosh}(x_0+\bigtriangleup x)-\mathrm{cosh}\, x_0}{\bigtriangleup x}=\frac{1}{2}\cdot\frac{e^{x_0+\bigtriangleup x}+e^{-x_0-\bigtriangleup x}-e^{x_0}-e^{-x_0}}{\bigtriangleup x }\\ &\!\!\! =&\!\!\! \displaystyle \frac{1}{2}\,e^{x_0}\frac{e^{\bigtriangleup x}-1}{\bigtriangleup x}-\frac{1}{2}\,e^{-x_0-\bigtriangleup x}\frac{e^{\bigtriangleup x}-1}{\bigtriangleup x}\; . \end{array}\,[/math]

Jak wiadomo

[math] \lim_{\bigtriangleup x\rightarrow 0}\frac{e^{\bigtriangleup x}-1}{\bigtriangleup x}=1\; , \, [/math]

więc

[math] f'(x_0)=\lim_{\bigtriangleup x\rightarrow 0}\frac{f(x_0+\bigtriangleup x)-f(x_0)}{\bigtriangleup x}=\frac{1}{2}\,e^{x_0}-\frac{1}{2}\,e^{-x_0}=\mathrm{sinh}\, x_0 \; . \, [/math]

---

Zadanie 3

Znaleźć z definicji pochodną funkcji [math]f(x)=\mathrm{arctg}\, x\, [/math] w punkcie [math]x_0\in\mathbb{R}\, [/math].

Wskazówka

Należy skorzystać ze wzoru:

[math] \mathrm{arctg}\, a-\mathrm{arctg}\, b=\mathrm{arctg}\frac{a-b}{1+ab}\; , \, [/math]

który słuszny jest dla rzeczywistych [math]a\, [/math] i [math]b\, [/math], dla których [math]ab\gt -1\, [/math].

---

Rozwiązanie

Wyrażenie na iloraz różnicowy ma postać:

[math] \frac{f(x_0+\bigtriangleup x)-f(x_0)}{\bigtriangleup x}=\frac{\mathrm{arctg}(x_0+\bigtriangleup x)-\mathrm{arctg}\, x_0}{\bigtriangleup x}=\frac{\mathrm{arctg}\frac{\bigtriangleup x}{1+x_0(x_0+\bigtriangleup x)}}{\bigtriangleup x}\; , \, [/math]

gdzie wykorzystaliśmy wzór podany we wskazówce:

[math] \mathrm{arctg}\, a-\mathrm{arctg}\, b=\mathrm{arctg}\frac{a-b}{1+ab}\; , \, [/math]

który obowiązuje dla rzeczywistych [math]a\, [/math] i [math]b\, [/math], spełniających [math]ab\gt -1\, [/math]. W naszym przypadku [math]a=x_0+\bigtriangleup x\, [/math], a [math]b=x_0\, [/math], więc (dla małego [math]\bigtriangleup x\, [/math]) warunek ten jest spełniony. Jak wiadomo:

[math] \lim_{t\rightarrow 0}\frac{\mathrm{arctg}\, t}{t}=1\; , \, [/math]

więc otrzymujemy:

[math] \begin{array}{ccl} f'(x_0)=\displaystyle \lim_{\bigtriangleup x \rightarrow 0}\frac{\mathrm{arctg}\frac{\bigtriangleup x}{1+x_0(x_0+\bigtriangleup x)}}{\frac{\bigtriangleup x}{1+x_0(x_0+\bigtriangleup x)}}\cdot \frac{1}{1+x_0(x_0+\bigtriangleup x)}=\frac{1}{1+x_0^2} \; . \end{array}\, [/math]

Aby wykorzystać (10) zastosowaliśmy powyżej podstawienie [math]\displaystyle t=\frac{\bigtriangleup x}{1+x_0(x_0+\bigtriangleup x)}\, [/math].

---

Zadanie 4

Znaleźć z definicji pochodną funkcji [math]f(x)=\sqrt{x}\, [/math] w punkcie [math]x_0\gt 0\, [/math].

Wskazówka

Zadanie bardzo proste, bez wskazówki.

---

Rozwiązanie

Jak zwykle napiszemy wyrażenie na iloraz różnicowy:

[math] \begin{array}{ccl} \displaystyle \frac{f(x_0+\bigtriangleup x)-f(x_0)}{\bigtriangleup x}&\!\!\! =&\!\!\! \displaystyle \frac{\sqrt{x_0+\bigtriangleup x}-\sqrt{x_0}}{\bigtriangleup x}\\ &\!\!\! =&\!\!\! \displaystyle \frac{x_0+\bigtriangleup x-x_0}{\bigtriangleup x\,(\sqrt{x_0+\bigtriangleup x}+\sqrt{x_0})}=\frac{1}{\sqrt{x_0+\bigtriangleup x}+\sqrt{x_0}}\; . \end{array}\, [/math]

Przechodząc z [math]\bigtriangleup x\, [/math] do zera otrzymujemy:

[math] f'(x_0)=\frac{1}{2\sqrt{x_0}} \; . \, [/math]

---

Zadanie 5

Znaleźć z definicji pochodną funkcji [math]f(x)=\sqrt[k]{x}\,[/math] w punkcie [math]x_0\gt 0\, [/math] dla [math]k\in \mathbb{N}\, [/math] i [math]k\geq 2\, [/math].

Wskazówka

Należy skorzystać ze wzoru:

[math] a^k-b^k=(a-b)(a^{k-1}+a^{k-2}b+\ldots +a b^{k-2}+b^{k-1})\; . \, [/math]

---

Rozwiązanie

Wyrażenie na iloraz różnicowy ma teraz postać:

[math] \frac{f(x_0+\bigtriangleup x)-f(x_0)}{\bigtriangleup x}= \frac{\sqrt[k]{x_0+\bigtriangleup x}-\sqrt[k]{x_0}}{\bigtriangleup x}\; . \, [/math]

Aby pozbyć się różnicy pierwiastków z licznika wykorzystamy podany we wskazówce wzór:

[math] a^k-b^k=(a-b)(a^{k-1}+a^{k-2}b+\ldots +a b^{k-2}+b^{k-1})\; , \, [/math]

przyjmując: [math]\displaystyle a=\sqrt[k]{x_0+\bigtriangleup x}\, [/math] oraz [math]\displaystyle b=\sqrt[k]{x_0}\, [/math]. Otrzymujemy:

[math] \begin{array}{ccl} \displaystyle \frac{f(x_0+\bigtriangleup x)-f(x_0)}{\bigtriangleup x}&\!\!\! = &\!\!\! \displaystyle \frac{x_0+\bigtriangleup x-x_0}{\bigtriangleup x\,(\sqrt[k]{(x_0+\bigtriangleup x)^{k-1}}+\sqrt[k]{(x_0+\bigtriangleup x)^{k-2}x_0}+\ldots +\sqrt[k]{x_0^{k-1}})}\\ &\!\!\! = &\!\!\! \displaystyle \frac{1}{\sqrt[k]{(x_0+\bigtriangleup x)^{k-1}}+\sqrt[k]{(x_0+\bigtriangleup x)^{k-2}x_0}+\ldots +\sqrt[k]{x_0^{k-1}}}\; . \end{array}\, [/math]

Przechodząc z [math]\bigtriangleup x\, [/math] do zera mamy:

[math] f'(x_0)=\frac{1}{k\sqrt[k]{x_0^{k-1}}} \; . \, [/math]

---

Zadanie 6

Znaleźć z definicji pochodną funkcji [math]\displaystyle f(x)=\frac{1}{x+x^2}\, [/math] w punkcie [math]x_0\gt 0\, [/math].

Wskazówka

Zadanie bardzo proste, bez wskazówki.

---

Rozwiązanie

Jak zwykle rozpoczynamy od napisania ilorazu różnicowego:

[math] \begin{array}{ccl} \displaystyle \frac{f(x_0+\bigtriangleup x)-f(x_0)}{\bigtriangleup x}&\!\!\! = &\!\!\! \displaystyle \frac{1}{\bigtriangleup x}\left[\frac{1}{(x_0+\bigtriangleup x)(1+x_0+\bigtriangleup x)}-\frac{1}{x_0(1+x_0)}\right]\\ &\!\!\! = &\!\!\! \displaystyle \frac{x_0(1+x_0)-(x_0+\bigtriangleup x)(1+x_0+\bigtriangleup x)}{\bigtriangleup x(x_0+\bigtriangleup x)(1+x_0+\bigtriangleup x)x_0(1+x_0)}\; . \end{array}\, [/math]

Po uproszczeniu otrzymujemy:

[math] \frac{f(x_0+\bigtriangleup x)-f(x_0)}{\bigtriangleup x}=-\frac{1+2x_0+\bigtriangleup x}{(x_0+\bigtriangleup x)(1+x_0+\bigtriangleup x)x_0(1+x_0)}\underset{\bigtriangleup x\rightarrow 0}{\longrightarrow}-\frac{1+2x_0}{x_0^2(1+x_0)^2}\; , \, [/math]

i taka jest też wartość pochodnej.

---

Zadanie 7

Znaleźć z definicji pochodną funkcji [math]f(x)=x\sin x\, [/math] w punkcie [math]x_0\in\mathbb{R}\, [/math].

Wskazówka

Zadanie bardzo proste, bez wskazówki.

---

Rozwiązanie

Iloraz różnicowy ma tym razem postać:

[math] \begin{array}{ccl} \displaystyle \frac{f(x_0+\bigtriangleup x)-f(x_0)}{\bigtriangleup x}&\!\!\! =&\!\!\! \displaystyle \frac{(x_0+\bigtriangleup x)\sin(x_0+\bigtriangleup x)-x_0\sin x_0}{\bigtriangleup x}\\ &\!\!\! =&\!\!\! \displaystyle x_0\,\frac{\sin(x_0+\bigtriangleup x)-\sin x_0}{\bigtriangleup x}+\sin(x_0+\bigtriangleup x)\; . \end{array}\, [/math]

Wykorzystamy teraz wzór:

[math] \sin\alpha-\sin\beta=2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\; , \, [/math]

który pozwoli nam przepisać (21) w postaci:

[math] \frac{f(x_0+\bigtriangleup x)-f(x_0)}{\bigtriangleup x}=2x_0\cos\left(x_0+\frac{\bigtriangleup x}{2}\right)\frac{\sin\frac{\bigtriangleup x}{2}}{\bigtriangleup x}+\sin(x_0+\bigtriangleup x)\; . \, [/math]

Korzystając z ciągłości funkcji trygonometrycznych oraz z wartości granicy:

[math] \lim_{t\rightarrow 0}\frac{\sin a t}{t}=a\; , \, [/math]

otrzymujemy:

[math] f'(x_0)=x_0\cos x_0+\sin x_0\; . \, [/math]

---