Matematyka 1NI/Wykorzystywanie pochodnych funkcji odwrotnych

Wykorzystywanie pochodnych funkcji odwrotnych

Zadanie 1

Wykorzystując znaną pochodną: [math][x^k]'=kx^{k-1}\,[/math], znaleźć pochodną funkcji [math]f(x)=\sqrt[k]{x}\,[/math], dla [math]x\gt 0\,[/math].

Wskazówka

Zadanie bardzo łatwe, bez wskazówki.

---

Rozwiązanie

Zachodzi tożsamość:

[math] (f(x))^k=x\; . \, [/math]

Różniczkując obie strony otrzymujemy:

[math] k (f(x))^{k-1} f'(x)=1\; , \, [/math]

skąd wynika szukana pochodna:

[math] f'(x)=\frac{1}{k (f(x))^{k-1}}=\frac{1}{k\sqrt[k]{x^{k-1}}}\; . \, [/math]

---

Zadanie 2

Wykorzystując znaną pochodną: [math][\cos x]'=-\sin x\,[/math], znaleźć pochodną funkcji [math]f(x)=\arccos x\,[/math], dla [math]-1\lt x\lt 1\,[/math].

Wskazówka

Zadanie bardzo łatwe, bez wskazówki.

---

Rozwiązanie

Spełniona jest tożsamość:

[math] \cos(f(x))=x\; . \, [/math]

Różniczkując obie strony po [math]x[/math] otrzymujemy:

[math] -\sin(f(x)) f'(x)=1\; , \, [/math]

skąd możemy wyliczyć pochodną [math]f'(x)\,[/math]:

[math] f'(x)=-\frac{1}{\sin(f(x))}\; . \, [/math]

Z równania (4) wynika, iż

[math] \sin^2(f(x))=1-x^2\; , \, [/math]

a ponieważ [math]f(x)\,[/math] przyjmuje (z definicji) wartości w przedziale [math]]0,\pi[\,[/math], gdzie funkcja sinus jest dodatnia, więc

[math] \sin(f(x))=\sqrt{1-x^2}\; . \, [/math]

Wstawiając to wyrażenie do (6), uzyskujemy wynik końcowy:

[math] f'(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\; . \, [/math]

---

Zadanie 3

Wykorzystując znaną pochodną: [math][a^x]'=\log a\, a^x\,[/math], znaleźć pochodną funkcji [math]f(x)=\log_a x\,[/math], dla [math]x\gt 0\,[/math].

Wskazówka

Zadanie bardzo łatwe, bez wskazówki.

---

Rozwiązanie

W sposób oczywisty spełniona jest tożsamość:

[math] a^{f(x)}=x\; . \, [/math]

Różniczkując obie strony po [math]x[/math] otrzymujemy:

[math] \log a\, a^{f(x)} f'(x)=1\; , \, [/math]

skąd wyliczamy pochodną [math]f'(x)\,[/math]:

[math] f'(x)=\frac{1}{\log a}\, a^{-f(x)}=\frac{1}{x\log a}\; . \, [/math]

---

Zadanie 4

Wykorzystując znaną pochodną: [math]\displaystyle [\mathrm{tgh}\, x]'=\frac{1}{\cosh x^2}\,[/math], znaleźć pochodną funkcji [math]f(x)=\mathrm{artgh}\, x\,[/math], dla [math]-1\lt x\lt 1\,[/math].

Wskazówka

Zadanie bardzo łatwe, bez wskazówki.

---

Rozwiązanie

Spełniona jest oczywiście tożsamość:

[math] \mathrm{tgh}\, f(x)=x\; , \, [/math]

po obustronnym zróżniczkowaniu której otrzymujemy:

[math] \frac{1}{\cosh^2 f(x)}\, f'(x)=1\; . \, [/math]

Wyliczamy stąd pochodną [math]f'(x)\,[/math]:

[math] f'(x)=\cosh^2 f(x)\; . \, [/math]

Prawą stronę możemy teraz znaleźć wykorzystując (13) oraz tak zwaną "jedynkę hiperboliczną"

[math] \cosh^2 t-\sinh^2 t=1\; . \, [/math]

Mamy bowiem:

[math] \cosh^2 f(x)(1-\mathrm{tgh}^2 f(x))=1\; ,\;\;\;\; \mathrm{czyli}\;\;\;\; \cosh^2 f(x)(1-x^2)=1\; .\, [/math]

W efekcie znajdujemy:

[math] f'(x)=\frac{1}{1-x^2}\; . \, [/math]

Warto zwrócić uwagę, że pochodną tę można także znaleźć bez odwoływania się do funkcji odwrotnej. Można bowiem rozwiązać (13) ze względu na [math]f(x)\,[/math]:

[math] \frac{e^{f(x)}-e^{-f(x)}}{e^{f(x)}+e^{-f(x)}}=x\;\; \Longleftrightarrow \;\; e^{2f(x)}=\frac{1+x}{1-x} \;\; \Longleftrightarrow \;\; f(x)=\frac{1}{2}\,\log\frac{1+x}{1-x}\; , \, [/math]

po czym obliczyć [math]f'(x)\,[/math] korzystając ze wzoru na pochodną funkcji złożonej. Ponownie otrzymujemy w ten sposób (17).

---