Matematyka 1NI/Dowodzenie tożsamości i nierówności

Dowodzenie tożsamości i nierówności

Zadanie 1

Wykazać, że:

[math] \mathrm{arctg}\frac{1+x\sqrt{3}}{x-\sqrt{3}}-\mathrm{arcctg}\, x=\left\{\begin{array}{ccc}\displaystyle -\frac{2\pi}{3} & \mathrm{dla} & x\lt \sqrt{3}\; ,\\ \\ \displaystyle \frac{\pi}{3} & \mathrm{dla} & x\gt \sqrt{3}\; .\end{array}\right. \, [/math]

Wskazówka

Należy sprawdzić przez różniczkowanie, czy lewa strona (1) jest stała.

---

Rozwiązanie

Zadanie w istocie sprowadza się do pokazania, że funkcja:

[math] f(x)=\mathrm{arctg}\frac{1+x\sqrt{3}}{x-\sqrt{3}}-\mathrm{arcctg}\, x \, [/math]

jest równa stałej w każdym z przedziałów, w których jest określona, a następnie ustalić wartość tej stałej. To pierwsze sprawdzimy obliczając pochodną:

[math] f'(x)=\frac{1}{1+\left(\frac{1+x\sqrt{3}}{x-\sqrt{3}}\right)^2}\cdot\frac{\sqrt{3}(x-\sqrt{3})-(1+x\sqrt{3})}{(x-\sqrt{3})^2}+\frac{1}{1+x^2}=\frac{-4}{4+4x^2}+\frac{1}{1+x^2}=0\; . \, [/math]

W przedziałach [math]]-\infty, \sqrt{3}[\,[/math] oraz [math]]\sqrt{3},\infty[\,[/math] funkcja jest więc stała. W każdym z tych przedziałów stałe te mogą być różne, a nas najpierw interesuje przypadek:

[math] f(x)=C_1\; ,\;\;\;\;\mathrm{dla}\;\; x\lt \sqrt{3}\; . \, [/math]

Aby ustalić wartość stałej [math]C_1\,[/math], wystarczy obliczyć [math]f(x)\,[/math] dla jakiegoś dogodnie wybranego argumentu z rozważanego przedziału. Podstawmy np. [math]\displaystyle x=\frac{\sqrt{3}}{3}\,[/math]:

[math] C_1=f\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=\mathrm{arctg}(-\sqrt{3})-\mathrm{arcctg}\frac{\sqrt{3}}{3}=-\frac{2\pi}{3}\; . \, [/math]

W przedziale [math]]\sqrt{3},\infty[\,[/math] na pierwszy rzut oka takiego wygodnego argumentu nie widać, ale można tym razem wykorzystać fakt, że

[math] C_2=\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=\mathrm{arctg}\,\sqrt{3}-0=\frac{\pi}{3}\; . \, [/math]

W ten sposób wykazaliśmy prawdziwość (1).

---

Zadanie 2

Wykazać, że:

[math] 2\mathrm{arctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}+\arcsin\left(2x\sqrt{1-x^2}\right)=\pi\; , \, [/math]

dla [math]\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\lt x\lt 1\,[/math].

Wskazówka

Należy sprawdzić przez różniczkowanie, czy lewa strona (7) jest stała.

---

Rozwiązanie

Musimy najpierw pokazać, że funkcja:

[math] f(x)=2\mathrm{arctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}+\arcsin\left(2x\sqrt{1-x^2}\right) \, [/math]

jest równa stałej, w rozważanym przedziale, a następnie ustalić jej wartość. W tym celu obliczamy pochodną:

[math] \begin{array}{ccc} f'(x)&\!\!\! =&\!\!\! 2\,\frac{1}{1+\left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)^2}\cdot\frac{\sqrt{1-x^2}+\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}+\frac{2\sqrt{1-x^2}-\frac{2x^2}{\sqrt{1-x^2}}}{\sqrt{1-4x^2(1-x^2)}} \\ &\!\!\! =&\!\!\! \displaystyle\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{2(1-2x^2)}{\sqrt{1-x^2}\sqrt{(1-2x^2)^2}}\; . \end{array}\, [/math]

Dla [math]\displaystyle x\gt \frac{1}{\sqrt{2}}\,[/math] mamy: [math]\sqrt{(1-2x^2)^2}=-(1-2x^2)\,[/math] i pochodna okazuje się być równa zeru. W konsekwencji [math]f(x)=C\,[/math] w przedziale [math]\displaystyle \left]\frac{1}{\sqrt{2}}, 1\right[\,[/math]. Aby znaleźć stałą [math]C\,[/math], obliczmy teraz:

[math] \lim_{x\rightarrow1^-}f(x)=2\,\frac{\pi}{2}+0=\pi=C\; , \, [/math]

co kończy dowód.

---

Zadanie 3

Wykazać, że dla każdego [math]x\in\mathbb{R}\,[/math] spełniona jest nierówność:

[math] x^2-2x\sin x-2\cos x+2\geq 0\; . \, [/math]

Wskazówka

Należy zbadać przedziały monotoniczności funkcji, którą stanowi lewa strona nierówności.

---

Rozwiązanie

Zdefiniujmy funkcję [math]f\,[/math] wzorem:

[math] f(x)=x^2-2x\sin x-2\cos x+2\; , \, [/math]

dla każdego rzeczywistego [math]x\,[/math]. Zauważmy także, iż [math]f(0)=0\,[/math]. Poniżej znajdziemy przedziały monotoniczności funkcji [math]f\,[/math]. W tym celu obliczamy pochodną:

[math] f'(x)=2x-2\sin x-2x\cos x+2\sin x =4x\sin^2\frac{x}{2}\; . \, [/math]

Jasne jest, że [math]f'(x)\,[/math] ma taki sam znak, jak [math]x\,[/math]. W konsekwencji widzimy, że dla [math]x\lt 0\,[/math] funkcja jest malejąca, a dla [math]x\gt 0\,[/math] -- rosnąca. Wynika stąd, że znaleziona powyżej wartość [math]f(0)=0\,[/math] jest minimalną wartością przyjmowaną przez funkcję. Poza tym punktem funkcja jest dodatnia, a zatem nierówność (11) spełniona.

---

Zadanie 4

Wykazać, że dla każdego [math]x\in\mathbb{R}\,[/math] i [math]x\neq 0\,[/math] spełniona jest nierówność:

[math] 2x\,\mathrm{arctg}\, x\gt 1-\frac{\log(1+x^2)}{x^2}\; . \, [/math]

Wskazówka

Należy zbadać przedziały monotoniczności odpowiedniej funkcji.

---

Rozwiązanie

Przepiszmy nierówność (14) w postaci:

[math] 2x^3\mathrm{arctg}\, x-x^2+\log(1+x^2)\geq 0 \, [/math]

i oznaczmy symbolem [math]f(x)\,[/math] lewą stronę (15). Zauważmy, że tak zdefiniowana funkcja ma miejsce zerowe dla [math]x=0\,[/math]: [math]f(0)=0\,[/math]. Znajdziemy teraz przedziały monotoniczności tej funkcji. W tym celu obliczamy pochodną:

[math] f'(x)=6x^2\mathrm{arctg}\,x+\frac{2x^3}{1+x^2}-2x+\frac{2x}{1+x^2}= 6x^2\mathrm{arctg}\,x\; . \, [/math]

Pochodna [math]f'(x)\,[/math] ma więc taki sam znak, jak [math]\mathrm{arctg}\,x\,[/math], czyli po prostu [math]x\,[/math]. W efekcie widzimy, iż dla [math]x\lt 0\,[/math] funkcja [math]f\,[/math] jest malejąca, a dla [math]x\gt 0\,[/math] -- rosnąca. Wynika stąd, że wartość [math]f(0)=0\,[/math] jest minimalną wartością przyjmowaną przez tę funkcję. Poza tym punktem funkcja jest dodatnia, a zatem nierówność (14) spełniona.

---

Zadanie 5

Wykazać, że dla każdego [math]x\gt 0\,[/math] spełniona jest nierówność:

[math] (2x^2+1)\,\mathrm{arsinh}\, x\gt x\sqrt{x^2+1}\; , \, [/math]

a dla [math]x\lt 0\,[/math] nierówność jest odwrotna.

Wskazówka

Należy zbadać przedziały monotoniczności odpowiedniej funkcji.

---

Rozwiązanie

Przenieśmy prawą stronę nierówności (17) na lewo i zdefiniujmy:

[math] f(x)=(2x^2+1)\,\mathrm{arsinh}\, x-x\sqrt{x^2+1}\; , \, [/math]

Widzimy, że funkcja ta ma miejsce zerowe dla [math]x=0\,[/math]: [math]f(0)=0\,[/math]. Aby znaleźć jej przedziały monotoniczności, obliczamy pochodną:

[math] f'(x)=4x\,\mathrm{arsinh}\, x+\frac{2x^2+1}{\sqrt{x^2+1}}-\sqrt{x^2+1}-\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}=4x\,\mathrm{arsinh}\, x\; . \, [/math]

Wyrażenie to jest zawsze dodatnie (poza punktem [math]x=0\,[/math]), więc funkcja jest rosnąca. Oznacza to, że w przedziale [math]]-\infty, 0[\,[/math] przyjmuje ona wartości ujemne, a w przedziale [math]]0,\infty[\,[/math] -- dodatnie. Nierówność (17) jest zatem spełniona.

---

Zadanie 6

Wykazać, że dla każdego [math]x\geq 1\,[/math] spełniona jest nierówność:

[math] \log x\leq \sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\; . \, [/math]

Wskazówka

Należy zbadać przedziały monotoniczności odpowiedniej funkcji.

---

Rozwiązanie

Zdefiniujmy funkcję [math]f(x)\,[/math] wzorem:

[math] f(x)=\log x-\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\; . \, [/math]

Łatwo zauważyć, że zachodzi: [math]f(1)=0\,[/math]. Sprawdzimy, czy na prawo od tego punktu funkcja jest malejąca. W tym celu obliczamy pochodną:

[math] f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{2\sqrt{x^3}}=-\frac{(\sqrt{x}-1)^2}{2x\sqrt{x}}\; . \, [/math]

Dla [math]x\gt 1\,[/math] wyrażenie to jest ujemne, co oznacza, że funkcja jest malejąca. W przedziale [math]]1, \infty[\,[/math] przyjmuje więc ona wartości ujemne, czyli nierówność (20) jest spełniona.

---

Zadanie 7

Wykazać, że dla każdego [math]x\in]0, 1]\,[/math] spełniona jest nierówność:

[math] \log x\leq \sqrt{1-x^2}\; . \, [/math]

Wskazówka

Należy zbadać przedziały monotoniczności odpowiedniej funkcji.

---

Rozwiązanie

Zdefiniujmy tym razem funkcję [math]f(x)\,[/math] wzorem:

[math] f(x)=\log x-\sqrt{1-x^2}\; . \, [/math]

Łatwo zauważyć, że zachodzi: [math]f(1)=0\,[/math]. Sprawdzimy, czy na lewo od tego punktu funkcja jest rosnąca, co oznaczać będzie, że musi tam ona przyjmować ujemne wartości. Obliczamy pochodną:

[math] f'(x)=\frac{1}{x}+\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{\sqrt{1-x^2}+x^2}{\sqrt{1-x^2}}\; . \, [/math]

Oczywiste jest, że w przedziale [math]]0,1[\,[/math] pochodna ta przyjmuje wartości dodatnie, skąd wynika, że nierówność (23) jest spełniona.

---

Zadanie 8

Wykazać, że dla każdego [math]x\in \mathbb{R}\,[/math] prawdziwa jest nierówność:

[math] \log(x+\sqrt{x^2+1})-\log(1+\sqrt{2})\leq \sqrt{x^2+1}-\sqrt{2}\;. \, [/math]

Wskazówka

Należy zbadać przedziały monotoniczności odpowiedniej funkcji.

---

Rozwiązanie

Definiujemy funkcję [math]f(x)\,[/math] w formie:

[math] f(x)=\log(x+\sqrt{x^2+1})- \sqrt{x^2+1}-\log(1+\sqrt{2})+\sqrt{2}\; . \, [/math]

Zauważmy, że [math]f(1)=0\,[/math]. Sprawdzimy teraz przedziały monotoniczności funkcji. Pochodna funkcji [math]f\,[/math] ma postać:

[math] f'(x)=\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\left(1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right)-\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=\frac{1-x}{\sqrt{x^2+1}}\; . \, [/math]

Dla [math]x\lt 1\,[/math] pochodna ta jest dodatnia, a zatem sama funkcja [math]f\,[/math] rosnąca. Z kolei dla [math]x\gt 1\,[/math] pochodna staje się ujemna, czyli funkcja [math]f\,[/math] malejąca. W punkcie [math]x=1\,[/math] przyjmuje więc ona swoją największą wartość równą 0. W efekcie nierówność (26) jest spełniona.

---