Matematyka:Matematyka II NI/Całka Riemanna Całka nieoznaczona

Całka Riemanna

Niech [math]f[/math] będzie funkcją ograniczoną na [math][a,b][/math] o wartościach rzeczywistych.

Niech [math]\pi [/math] będzie (skończonym, [math]n+1[/math]-elementowym) ciągiem:

[math] \pi = (x_0, x_1, x_2, \dots , x_n) [/math]

gdzie: [math]x_0=a[/math], [math]x_n=b[/math], [math]a=x_0\lt x_1\lt x_2\lt \dots \lt x_{n-1}\lt x_n=b[/math].

Ciąg [math]\pi [/math] nazywamy podziałem odcinka [math][a,b][/math]. Niech

[math] \bar{S}(f,\pi )= \sum _{i=1}^n \mathop {{\rm sup}\,}_{x\in [x_{i-1}, x_i]} f(x) \cdot (x_i-x_{i-1}). [/math]

Całka górna

Całką górną z funkcji [math]f[/math] nazywamy infimum z [math]\bar{S}(f,\pi )[/math] po wszystkich możliwych podziałach:

[math] \mathop {\overline{\int }}_{[a,b]} f =\mathop {{\rm inf}\,}_\pi \bar{S}(f,\pi ) [/math]

i analogicznie

całką dolną

z funkcji [math]f[/math] nazywamy

[math] \mathop {\underline{\int }}_{[a,b]} f=\mathop {{\rm sup}\,}_\pi \underline{S}(f,\pi ) [/math]

Mamy

[math] \bar{S}(f,\pi ) \ge \mathop {{\rm inf}\,}_{x\in [a, b]} f(x) \sum _{i=1}^n (x_i-x_{i-1}) = \mathop {{\rm inf}\,}_{x\in [a, b]} f(x) \cdot (b-a) [/math]

Średnica podziału. Własności sumy górnej i dolnej

Średnica podziału

średnicą podziału [math]\pi [/math] odcinka [math][a,b][/math] nazywamy liczbę [math]\delta _\pi [/math], równą

[math] \delta _\pi = \displaystyle \mathop {\rm max}_i (x_i -x_{i-1}) [/math]

(tzn. długość najdłuższego odcinka podziału).

Całka (górna) jako kres (dolny) sumy (górnej) i granica ciągu

Twierdzenie

Niech [math]f[/math] — ograniczona na [math][a,b][/math], o wartościach rzeczywistych oraz [math]\lbrace \pi _k\rbrace [/math] — ciąg podziałów taki, że [math]{\displaystyle \mathop {\lim }_{{k}\rightarrow {\infty }} } \delta _{\pi _k} =0[/math]. Wtedy:

[math]{\displaystyle \mathop {\lim }_{{k}\rightarrow {\infty }} } \bar{S}(f,\pi _k) = \displaystyle \mathop {\overline{\int }}_{[a,b]} f \;\;\;\;\; {\rm i\;\;analogicznie} \;\;\;\;\; {\displaystyle \mathop {\lim }_{{k}\rightarrow {\infty }} } \underline{S}(f,\pi _k) = \displaystyle \mathop {\underline{\int }}_{[a,b]} f[/math]

Dowód

Dla danego podziału [math]\pi [/math], oznaczmy przez [math]\pi \vee \lbrace y\rbrace [/math] podział [math]\pi [/math] z dostawionym punktem [math]y\in [a,b][/math]; zakładamy, że dostawka odbywa się w sposób nietrywialny, tzn. [math]y[/math] nie pokrywa się z żadnym z punktów [math]x_i[/math]. Niech [math]y\in ]x_{i-1},x_i[[/math].

Obliczmy teraz [math] \bar{S}(f,\pi ) - \bar{S}(f,\pi \vee \lbrace y\rbrace ); [/math] do obliczenia różnicy wystarczy rozpatrzyć odcinek [math][x_{i-1},x_i][/math], bo wkłady od pozostałych odcinków kasują się. Mamy:

[math] \bar{S}(f,\pi ) - \bar{S}(f,\pi \vee \lbrace y\rbrace ) = \displaystyle \mathop {\rm sup}_{x\in [x_{i-1},x_i]} f(x)\cdot (x_i-x_{i-1}) - \left[ \mathop {\rm sup}_{x\in [x_{i-1},y]} f(x)\cdot (y-x_{i-1}) + \mathop {\rm sup}_{x\in [y,x_i]} f(x)\cdot (x_i-y) \right] \ge 0 [/math]

(p. RYS. dla ilustracji; powyższa różnica jest równa polu powierzchni zakreskowanego prostokąta). Podsumowując, mamy więc:

[math] \bar{S}(f,\pi ) - \bar{S}(f,\pi \vee \lbrace y\rbrace )\ge 0. [/math]

czyli dostawianie punktów w podziale zmniejsza sumę górną.

Oczywista nierówność

Mamy też oczywistą nierówność:

[math] 0\le \bar{S}(f,\pi ) - \bar{S}(f,\pi \vee \lbrace y\rbrace ) \le \delta _{\pi \vee \lbrace y\rbrace } \left( \mathop {\rm sup}_{x\in [a,b]} f(x) - \mathop {\rm inf}_{x\in [a,b]} f(x)\right) [/math]

Oznaczmy ten ostatni nawias jako [math]M[/math]:

[math] \mathop {\rm sup}_{x\in [a,b]} f(x) - \mathop {\rm inf}_{x\in [a,b]} f(x); [/math]

mamy więc:

[math] \delta _{\pi \vee \lbrace y\rbrace }\cdot M \ge \bar{S}(f,\pi ) - \bar{S}(f,\pi \vee \lbrace y\rbrace )\ge 0. [/math]

Teraz rozpatrzmy sytuację, gdy do danego podziału [math]\pi [/math] dostawiliśmy [math]n[/math] punktów [math]\lbrace y_1, y_2, \dots , y_n\rbrace [/math]. Mamy:

[math] 0\le \bar{S}(f,\pi ) - \bar{S}(f,\pi \vee \lbrace y_1, y_2,\dots , y_n\rbrace ) \le M\cdot \delta _{\pi \vee \lbrace y_1, y_2,\dots , y_n\rbrace } [/math]

[math] \le M\cdot \left( \delta _{\pi \vee \lbrace y\rbrace } + \delta _{\pi \vee \lbrace y_1, y_2\rbrace } +\dots + \delta _{\pi \vee \lbrace y_1, y_2,\dots , y_n\rbrace } \right) [/math]

[math] \le M \cdot \delta _\pi \cdot (n-1) [/math]

Mamy więc:

[math]M \cdot \delta _\pi \cdot (n-1) \ge \bar{S}(f,\pi ) - \bar{S}(f,\pi \vee \lbrace y_1, y_2,\dots , y_n\rbrace ) \ge 0. [/math]

Oznaczmy kolekcję [math]n[/math] dostawionych punktów [math]\lbrace y_1, y_2, \dots , y_n\rbrace [/math] jako podział [math]\rho [/math]. Ostatnią nierówność tzn. (%i 2) przepiszmy więc jako

[math] M \cdot \delta _\pi \cdot n_\rho \ge \bar{S}(f,\pi ) - \bar{S}(f,\pi \vee \rho ) \ge 0. [/math]

We/xmy teraz dowolne [math]\epsilon \gt 0[/math]. Wtedy (z definicji kresu dolnego) istnieje taki podział [math]\rho [/math], że

[math] \displaystyle \mathop {\overline{\int }}_{[a,b]} f \le \bar{S}(f,\rho ) \le \mathop {\overline{\int }}_{[a,b]} f +\frac{\epsilon }{2}. [/math]

Weźmy teraz [math]\pi [/math] — inny podział. Mamy:

[math] \displaystyle \mathop {\overline{\int }}_{[a,b]} f \le \bar{S}(f,\pi ) \le \bar{S}(f,\pi \vee \rho ) + M \cdot \delta _\pi \cdot n_\rho \le \bar{S}(f,\rho ) M \cdot \delta _\pi \cdot n_\rho [/math]

[math] \le \mathop {\overline{\int }}_{[a,b]} f +\frac{\epsilon }{2} + M \cdot \delta _\pi \cdot n_\rho . [/math]

Weźmy teraz dla wybranego powyżej [math]\epsilon [/math] następujące [math]\delta [/math]:

[math] \delta = \frac{\epsilon }{2 M n_\rho }; [/math]

jeśli teraz [math]\delta _\pi \equiv \delta _{\pi _k}\lt \delta [/math], to z faktów powyżej wynika

[math] \forall _{\epsilon \gt 0} \exists _{\delta \gt 0} \forall _{\pi _k:\delta _{\pi _k}\lt \delta } \displaystyle \mathop {\overline{\int }}_{[a,b]} f \le \bar{S}(f,\pi _k) \le \displaystyle \mathop {\overline{\int }}_{[a,b]} f + \epsilon [/math]

tzn. dla każdego [math]\epsilon \gt 0[/math] istnieje takie [math]K[/math], że dla [math]k\gt K[/math] mamy:

[math] \left| \bar{S}(f,\pi _k) - \displaystyle \mathop {\overline{\int }}_{[a,b]} f \right| \le \epsilon , [/math]

czyli

[math] {\displaystyle \mathop {\lim }_{{k}\rightarrow {\infty }} } \bar{S}(f,\pi _k) = \displaystyle \mathop {\overline{\int }}_{[a,b]} f. [/math]

tzn. pokazaliśmy pierwszą z równości (%i 1). Dla drugiej równości dowód jest analogiczny. CBDO

Nierówność pomiędzy całkami górną i dolną. Funkcje całkowalne w sensie Riemanna.

Niech [math]f[/math] będzie dowolną funkcją ograniczoną na [math][a,b][/math]. Niech [math]\pi , \rho [/math] będą podziałami odcinka [math][a,b][/math]. Z pokazanych wyżej własności sum górnych i dolnych od razu widać, że

[math] \bar{S}(f,\pi ) \ge \bar{S}(f,\pi \vee \rho ) \ge \underline{S}(f,\pi \vee \rho ) \ge \underline{S}(f, \rho ), [/math]

co można wypowiedzieć jako: każda suma górna jest większa od każdej sumy dolnej. Przechodząc do granicy z średnicą podziałów dążącą do zera, otrzymujemy następującą nierówność dla całek: górnej i dolnej:

Stwierdzenie

Dla [math]f[/math] — dowolnej funkcji ograniczonej na [math][a,b][/math] zachodzi

[math]\displaystyle \mathop {\overline{\int }}_{[a,b]} f \ge \displaystyle \mathop {\underline{\int }}_{[a,b]} f [/math]

Bardzo ważny przypadek, gdy obie te całki są równe, prowadzi do definicji:

Funkcja całkowalna w sensie Riemanna

Niech [math]f[/math] będzie dowolną rzeczywistą funkcją ograniczoną na [math][a,b][/math]. Mówimy, że [math]f[/math] jest całkowalna w sensie Riemanna, jeśli

[math]\displaystyle \mathop {\overline{\int }}_{[a,b]} f = \displaystyle \mathop {\underline{\int }}_{[a,b]} f. [/math]

W takim przypadku tę wspólną granicę oznaczamy: [math]\displaystyle \mathop {\int }_a^b f(x) {\sf d}x[/math].

Sumy wypunktowane i ich związek z całką Riemanna

Wypunktowanie

Niech [math]\pi = \lbrace a\lt x_1, x_2, \dots , x_n=b\rbrace [/math] — podział odcinka [math][a,b][/math]. Niech [math]\xi =\lbrace \xi _1, \dots , \xi _n\rbrace [/math] — zbiór punktów takich, że [math]\xi _i\in [x_{i-1},x_i][/math]; [math]\xi [/math] nazywamy wypunktowaniem.

Suma wypunktowana

Niech [math]f[/math] — funkcja ograniczona na [math][a,b][/math]. Sumą wypunktowaną funkcji [math]f[/math] względem podziału [math]\pi [/math] i wypunktowania [math]\xi [/math] nazywamy sumę

[math]S(f,\pi , \xi ) = \sum _{i=1}^n f(\xi _i) (x_i-x_{i-1}). [/math]

Mamy oczywistą zależność

[math] \underline{S}(f,\pi )\le S(f,\pi , \xi )\le \bar{S}(f,\pi ) [/math]

co — w połączeniu z definicją funkcji całkowalnej w sensie Riemanna — prowadzi od razu do twierdzenia:

Twierdzenie

Niech [math]f[/math] — funkcja ograniczona na [math][a,b][/math]. Jeżeli [math]f[/math] jest całkowalna w sensie Riemanna, to dla dowolnego ciągu [math]\lbrace \pi _k\rbrace [/math] podziałów odcinka [math][a,b][/math] takiego, że [math]{\displaystyle \mathop {\lim }_{{k}\rightarrow {\infty }} }\delta _{\pi _k}=0[/math], ciąg wypunktowanych sum Riemanna jest zbieżny do [math]\displaystyle \mathop {\int }_a^b f(x) {\sf d}x[/math].

Jest też w pewnym sensie na odwrót:

Twierdzenie

Niech [math]f[/math] — funkcja rzeczywista na [math][a,b][/math] (uwaga: nie musi być ograniczona — to wyjdzie jako element tezy). Jeżeli dla dowolnego ciągu [math]\lbrace \pi _k\rbrace [/math] podziałów odcinka [math][a,b][/math] takiego, że [math]{\displaystyle \mathop {\lim }_{{k}\rightarrow {\infty }} }\delta _{\pi _k}=0[/math], ciąg wypunktowanych sum Riemanna jest zbieżny do granicy niezależnej od sposobu wypunktowania, to [math]f[/math] jest ograniczona i całkowalna w sensie Riemanna.

Dowód

dowodu nie będzie.

Twierdzenie

Niech [math]f,g[/math] — funkcje ograniczone na odcinku [math][a,b][/math]. Jeśli [math]f,g[/math] są całkowalne na [math][a,b][/math] to [math]f+g[/math] też jest całkowalna na [math][a,b][/math] oraz

[math]\int _a^b (f+g)(x) {\sf d}x = \int _a^b f(x) {\sf d}x + \int _a^b g(x) {\sf d}x[/math]

Dowód

Mamy:

[math] \bar{S}(f+g,\pi ) \le \bar{S}(f,\pi )+ \bar{S}(g,\pi ) [/math]

(ponieważ na dowolnym zbiorze [math]X[/math] mamy: [math]\displaystyle \mathop {{\rm sup}\,}_{X} (f+g) \le \mathop {{\rm sup}\,}_{X} f + \mathop {{\rm sup}\,}_{X} g[/math]) oraz

[math] \underline{S}(f+g,\pi ) \ge \underline{S}(f,\pi )+ \underline{S}(g,\pi ) [/math]

(ponieważ znów, na dowolnym zbiorze [math]X[/math] mamy: [math]\displaystyle \mathop {{\rm inf}\,}_{X} (f+g) \ge \mathop {{\rm inf}\,}_{X} f + \mathop {{\rm inf}\,}_{X} g[/math]).

Mamy więc

[math] \underline{S}(f,\pi )+ \underline{S}(g,\pi ) \le \underline{S}(f+g,\pi ) \le \underline{S}(f+g,\pi ) \le \bar{S}(f+g,\pi ) \le \bar{S}(f,\pi )+ \bar{S}(g,\pi ) [/math]

Jeżeli teraz weźmiemy ciąg podziałów [math](\pi _k)[/math] taki, że [math]\lim _{k\rightarrow \infty } \pi _k =0[/math], to skrajne strony nierówności będą równe [math]\int _a^b f(x) {\sf d}x + \int _a^b g(x) {\sf d}x[/math], a to znaczy, że wyrazy w środku są równe i wynoszą: [math]\int _a^b (f+g)(x) {\sf d}x[/math] — a to znaczy, że funkcja [math]f+g[/math] jest całkowalna i że zachodzi wzór (%i 6).

CBDO

Mamy też proste

Twierdzenie

Jeśli [math]f[/math] — całkowalna na [math][a,b][/math], to [math]\alpha f[/math] (gdzie [math]\alpha =[/math]const.) też jest całkowalna i zachodzi

[math]\int _a^b (\alpha f)(x) {\sf d}x = \alpha \int _a^b f(x) {\sf d}x [/math]

Dowód

Wynika to z oczywistego faktu, że na dowolnym zbiorze X mamy, dla [math]\alpha \gt 0[/math], [math]\displaystyle \mathop {{\rm sup}\,}_{X} (\alpha f) =\alpha \mathop {{\rm sup}\,}_{X} f[/math] i analogicznie dla infimum, co prowadzi do natychmiastowego wniosku dla całek.

CBDO

Twierdzenie

Jeśli [math]f[/math] — całkowalna na [math][a,b][/math] oraz [math]f \ge 0[/math] na [math][a,b][/math], to

[math]\int _a^b f(x) {\sf d}x \ge 0.[/math]

Dowód

Mamy bowiem, z uwagi na nieujemność [math]f[/math]: [math]\bar{S}(f,\pi )\ge 0[/math] dla dowolnego podziału [math]\pi [/math] i skoro tak, to również [math]\displaystyle \mathop {{\rm inf}\,}_\pi \bar{S}(f,\pi )\ge 0[/math]; a że dla funkcji całkowalnej mamy [math]\int _a^b f(x) {\sf d}x = \displaystyle \mathop {{\rm inf}\,}_\pi \bar{S}(f,\pi )[/math], to otrzymujemy (%i 8).

CBDO

Przykł.

1. Funkcja stała [math]f(x)=\lambda [/math] jest całkowalna. Mamy bowiem:

   [math] \bar{S}(f,\pi ) = \sum _i \lambda (x_i-x_{i-1}) = \lambda (b-a); \;\;\;\;\; \underline{S}(f,\pi )= \sum _i \lambda (x_i-x_{i-1}) = \lambda (b-a). [/math]

2. [math]\int _0^1 x {\sf d}x = \frac{1}{2}[/math]. — ćw., rachunek z definicji.
3. [math]\int _0^1 e^x {\sf d}x = e-1[/math]; znów ćw. — rachunek z definicji.

Przykł. Kanoniczne przykłady całek:

1. Całka jako pole powierzchni pod krzywą [math]f(x)[/math];
2. Całka jako droga, gdy dana jest prędkość. Dokładniej: Gdy punkt materialny porusza się po prostej z prędkością [math]v(t)[/math], to droga przebyta na odcinku czasu między [math]t_1[/math] a [math]t_2[/math] jest równa [math]\int _{t_1}^{t_2} v(t) {\sf d}t[/math].

Klasy funkcji całkowalnych

Twierdzenie

Jeśli [math]f[/math] — ograniczona i monotoniczna na [math][a,b][/math], to jest całkowalna na [math][a,b][/math].

Uwaga

[math]f[/math] nie musi być ciągła!

Dowód

Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że [math]f[/math] jest rosnąca. Pokażemy, że

[math]\forall _{\epsilon \gt 0} \exists _{\pi} \;-\;[/math] podział [math]\bar{S}(f,\pi ) - \underline{S}(f,\pi )\lt \epsilon .[/math]

Bierzemy podział [math]\pi [/math] i mamy, ze względu na to, że [math]f[/math] jest rosnąca: RYS.:

[math] \bar{S}(f,\pi ) = \sum _{i=1}^n f(x_i)(x_i-x_{i-1}), [/math]

[math] \underline{S}(f,\pi ) = \sum _{i=1}^n f(x_{i-1})(x_i-x_{i-1}) [/math]

skąd

[math] \bar{S}(f,\pi ) - \underline{S}(f,\pi ) = \sum _{i=1}^n [f(x_i)-f(x_{i-1})](x_i-x_{i-1}) [/math]

Największa różnica wartości funkcji na przedziale [math][a,b][/math] jest równa [math]f(b)-f(a)[/math]. Zakładamy, że [math]f(b)\gt f(a)[/math], bo gdyby była równość, to [math]f[/math] jest stała, więc jest całkowalna.

Niech teraz będzie dana [math]\epsilon \gt 0[/math]. Bierzemy taki podział [math]\pi [/math], aby jego średnica [math]\delta _\pi [/math] była mniejsza niż

[math] \delta _\pi \lt \frac{\epsilon }{f(b)-f(a)}. [/math]

Wtedy mamy:

[math] \bar{S}(f,\pi ) - \underline{S}(f,\pi ) = \sum _{i=1}^n [f(x_i)-f(x_{i-1})](x_i-x_{i-1}) \le \frac{\epsilon }{f(b)-f(a)}\sum _{i=1}^n [f(x_i)-f(x_{i-1})] [/math]

[math] =\frac{\epsilon }{f(b)-f(a)}\left[ f(x_1)-f(a)+f(x_2)-f(x_1) + f(x_3)-f(x_2)+\dots +f(b)-f(x_{n-1}) \right] =\epsilon ; [/math]

tak więc dla danego [math]\epsilon [/math] znale/xliśmy przedział spełniający warunek (%i 9).

CBDO

Twierdzenie

Jeżeli [math]f[/math] jest ciągła na [math][a,b][/math] to jest całkowalna na [math][a,b][/math].

Dowód

Było twierdzenie mówiące, że jeśli [math]f[/math] jest ciągła na zbiorze domkniętym (tu: odcinku [math][a,b][/math]) to jest tam jednostajnie ciągła:

[math]\forall _{\epsilon \gt 0} \exists _\delta \forall _{x,x^{\prime }\in [a,b],|x-x^{\prime }|\lt \delta } |f(x)-f(x^{\prime })|\lt \epsilon . [/math]

Szacujemy [math]\bar{S}(f,\pi ) - \underline{S}(f,\pi )[/math]:

[math] \bar{S}(f,\pi ) - \underline{S}(f,\pi ) = \sum _{i=1}^n \left( \mathop {\rm sup}_{x_{i-1}\le x \le x_i} f(x) - \mathop {\rm inf}_{x_{i-1}\le x \le x_i} f(x)\right) (x_i-x_{i-1}) \le ... [/math]

Dla danego [math]\epsilon [/math] we/xmy podział o średnicy [math]\delta (\epsilon )[/math] takiej, by był spełniony warunek (%i 10) w wersji: [math]|f(x)-f(x^{\prime })|\lt \frac{\epsilon }{b-a}[/math]. Wówczas na każdym odcinku [math][x_{i-1},x_i][/math] mamy:

[math] \mathop {\rm sup}_{x_{i-1}\le x \le x_i} f(x) - \mathop {\rm inf}_{x_{i-1}\le x \le x_i} f(x)\le \frac{\epsilon }{b-a}, [/math]

i mamy

[math] ...\le \frac{\epsilon }{b-a}\sum _{i=1}^n(x_i-x_{i-1}) = \frac{\epsilon (b-a)}{b-a} = \epsilon . [/math]

Zatem różnicę [math]\bar{S}(f,\pi ) - \underline{S}(f,\pi )[/math] możemy uczynić dowolnie małą, czyli [math]f[/math] jest całkowalna.

CBDO

Uwaga

Nie wszystkie funkcje są całkowalne w sensie Riemanna.

Przykł.

Rozważmy funkcję Dirichleta:

[math]f_D(x) = \left\lbrace \begin{array}{ccc} 1 & {\rm dla} & x\in { \mathbb Q}\\ 0 & {\rm dla} & x\notin { \mathbb Q}\end{array} \right.[/math]

Przypomnijmy sobie, że zarówno liczby wymierne, jak i niewymierne są rozłożone gęsto w [math] { \mathbb R}[/math], tzn. między dowolnymi dwoma liczbami wymiernymi znajduje się liczba niewymierna i na odwrót — między dowolnymi dwoma liczbami niewymiernymi znajduje się liczba wymierna. Tak więc kresem górnym funkcji Dirichleta na dowolnym odcinku domkniętym jest 1, a kresem dolnym 0. Biorąc więc dowolny podział [math]\pi [/math], mamy: [math]\bar{S}(f,\pi )=1[/math], [math] \underline{S}(f,\pi )=0[/math]. Tak więc na dowolnym odcinku [math][a,b][/math]

[math] \displaystyle \mathop {\overline{\int }}_{[a,b]} f_D =1,\;\;\;\;\;\mathop {\underline{\int }}_{[a,b]} f_D =0 [/math]

tak więc całka Riemanna z funkcji Dirichleta nie istnieje.

Związek rachunku różniczkowego i całkowego

Twierdzenie (podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego i całkowego)

Niech [math]f[/math] — funkcja ciągła na [math][a,b][/math]. Wtedy funkcja [math]F(x)[/math], zdefiniowana przez:

[math] [a,b]\ni x \rightarrow F(x)=\int _a^x f(z){\sf d}z [/math]

jest różniczkowalna oraz zachodzi: [math]F^{\prime }(x)=f(x)[/math], [math]F(a)=0[/math].

Dowód

Ponieważ [math]f[/math] jest ciągła, to jest całkowalna na [math][a,b][/math].

Oznaczmy:

[math] m=\mathop {\rm inf}_{x\in [a,b]} f(x), \;\;\;M=\mathop {\rm sup}_{x\in [a,b]} f(x) [/math]

Oczywiste jest, że [math]f[/math] jest funkcją całkowalną nieujemną na [math][a,b][/math]. Wobec tego [math]\int _a^b (f-m)(x) {\sf d}x \ge 0 [/math], z czego mamy: RYS.

[math] \int _a^b f(x) {\sf d}x \ge m(b-a). [/math]

Analogicznie otrzymujemy

[math] \int _a^b f(x) {\sf d}x \le M(b-a). [/math]

Przypomnijmy sobie definicję ilorazu różnicowego:

[math] F^{\prime }(x) = {\displaystyle \mathop {\lim }_{{h}\rightarrow {0}} } \frac{F(x+h)-F(x)}{h} [/math]

Weźmy najsampierw [math]h\gt 0[/math]. Mamy: RYS.

[math] F(x+h)=\int _a^{x+h} f(z){\sf d}z = \int _a^{x} f(z){\sf d}z + \int _x^{x+h} f(z){\sf d}z \;\;\;\;\;{\rm oraz}\;\;\;\;\; F(x)=\int _a^{x} f(z){\sf d}z , [/math]

co daje

[math] F(x+h)-F(x) = \int _x^{x+h} f(z){\sf d}z. [/math]

Oznaczmy tymczasowo:

[math] m_{x,h} = \mathop {\rm inf}_{z\in [x,x+h]} f(z),\;\;\;M_{x,h} = \mathop {\rm sup}_{z\in [x,x+h]} f(z) [/math]

Mamy:

[math] m_{x,h} \cdot h \le F(x+h)-F(x) \le M_{x,h} \cdot h [/math]

i po podzieleniu przez [math]h[/math] dostajemy

[math] m_{x,h} \le \frac{F(x+h)-F(x)}{h} \le M_{x,h}. [/math]

Weźmy teraz przypadek [math]h\lt 0[/math]. RYS. Mamy:

[math] F(x)=\int _a^{x} f(z){\sf d}z = \int _a^{x+h} f(z){\sf d}z + \int ^x_{x+h} f(z){\sf d}z \;\;\;\;\;{\rm oraz}\;\;\;\;\; F(x+h)=\int _a^{x+h} f(z){\sf d}z , [/math]

skąd

[math] F(x+h)-F(x) = -\int ^x_{x+h} f(z){\sf d}z [/math]

oraz (pamiętajmy, że [math](-h)[/math] jest dodatnie!)

[math] m_{x, -h}\cdot (-h) \le -\int ^x_{x+h} f(z){\sf d}z \le M_{x,-h} \cdot (-h), [/math]

gdzie

[math] m_{x,-h} = \mathop {\rm inf}_{z\in [x+h,x]} f(z),\;\;\;M_{x,-h} = \mathop {\rm sup}_{z\in [x+h,x]} f(z). [/math]

Po podzieleniu przez [math](-h)[/math] otrzymujemy

[math] m_{x,-h} \le -\frac{1}{h}\int ^x_{x+h} f(z){\sf d}z =\frac{F(x+h)-F(x)}{h} \le M_{x,-h}. [/math]

Weźmy teraz [math]\epsilon \ge |h|[/math] i oznaczmy:

[math] m_{x,\epsilon }= \mathop {\rm inf}_{z\in [x-\epsilon ,x+\epsilon ]} f(z), \;\;\;\;\; M_{x,\epsilon }= \mathop {\rm sup}_{z\in [x-\epsilon ,x+\epsilon ]} f(z). [/math]

Dla [math]h: |h|\le \epsilon [/math] (znak [math]h[/math] może tu być dowolny) mamy wtedy

[math] m_{x,\epsilon }\le \frac{F(x+h)-F(x)}{h}\le M_{x,\epsilon }, [/math]

a ponieważ [math]f[/math] jest ciągła, to przy [math]\epsilon \rightarrow 0[/math] obie strony powyższej nierówności dążą do [math]f(x)[/math], tak więc

[math] {\displaystyle \mathop {\lim }_{{h}\rightarrow {0}} }\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=f(x). [/math]

CBDO

Wnioski

1. Jeśli [math]f[/math] — ciągła na [math][a,b][/math], to mamy:

   [math] \int _a^b f(x) {\sf d}x = F(b)-F(a) [/math]

   dla [math]F[/math] — dowolnej funkcji pierwotnej do [math]f[/math].
2. ([math](1-\epsilon )[/math]—twierdzenie o wartości średniej w rachunku całkowym). Jeśli [math]f[/math] — ciągła na [math][a,b][/math], to istnieje punkt [math]\xi \in [a,b][/math] taki, że
   [math]\int _a^b f(x) {\sf d}x = f(\xi ) (b-a). [/math]

   Dow. Zastosujmy do funkcji pierwotnej [math]F(x)=\int _a^x f(x) {\sf d}x[/math] twierdzenie Lagrange'a o wartości średniej w rachunku różniczkowym:

   [math] \exists \; \xi \in [a,b]:\; F^{\prime }(\xi )=\frac{F(b)-F(a)}{b-a} [/math]

   co od razu daje wzór (%i 12). CBDO Inny dowód, oparty o własność Darboux.

Twierdzenie (O całkowaniu przez części)

Jeśli [math]f,g\in C^1([a,b])[/math] (tzn. [math]f^{\prime }, g^{\prime }[/math] są ciągłe na [math][a,b][/math]) to zachodzi wzór

[math] \int _a^b f^{\prime }(x) g(x) {\sf d}x = \left. f(x) \cdot g(x)\right|^b_a -\int _a^b f(x) g^{\prime }(x) {\sf d}x [/math]

[math] \equiv (f\cdot g)(b) - (f\cdot g)(a) - \int _a^b f(x) g^{\prime }(x) {\sf d}x \equiv f(b)\cdot g(b) - f(a)\cdot g(a) - \int _a^b f(x) g^{\prime }(x) {\sf d}x [/math]

Dowód

[math] \int _a^b(f^{\prime }\cdot g - f\cdot g^{\prime })(x){\sf d}x =\int _a^b(f\cdot g)^{\prime }(x){\sf d}x = (f\cdot g)(b) -(f\cdot g)(a). [/math]

CBDO

Twierdzenie

Jeśli [math]f[/math] — całkowalna na [math][a,b][/math] to [math]|f|[/math] też jest całkowalna na [math][a,b][/math] i zachodzi nierówność

[math]\left| \int _a^bf(x){\sf d}x\right|\le \int _a^b\left|f(x)\right|{\sf d}x.[/math]

Dowód

Dla dowolnego [math]x\in [a,b][/math] mamy: [math]-\left|f(x)\right| \le f(x) \le \left|f(x)\right|[/math], co — przy założeniu, że [math]|f|[/math] jest całkowalna — daje

[math] -\int _a^b\left|f(x)\right|{\sf d}x \le \int _a^b f(x){\sf d}x \le \int _a^b \left|f(x)\right|{\sf d}x [/math]

a to znaczy, że zachodzi wzór (%i 13). Do zakończenia dowodu pozostaje więc pokazać, że [math]|f|[/math] jest całkowalna — co teraz uczynimy. Pokażemy mianowicie, że

[math]\forall _\epsilon \exists _\pi \; \bar{S}(|f|,\pi )- \underline{S}(|f|,\pi )\lt \epsilon .[/math]

Pokażemy najsampierw, że na dowolnym odcinku [math]I[/math] mamy:

[math]\mathop {\rm sup}_{x\in I} |f(x)| - \mathop {\rm inf}_{x\in I} |f(x)| \le \mathop {\rm sup}_{x\in I} f(x) - \mathop {\rm inf}_{x\in I} f(x) [/math]

Pokażemy to, rozważając trzy możliwe przypadki:

1. Na całym odcinku [math]I[/math] funkcja [math]f[/math] jest nieujemna: [math]f(x)\ge 0[/math]. RYS. Mamy wtedy:

   [math] \mathop {\rm sup}_{x\in I} |f(x)| = \mathop {\rm sup}_{x\in I} f(x),\;\;\; \mathop {\rm inf}_{x\in I} |f(x)| = \mathop {\rm inf}_{x\in I} f(x) [/math]

   i nierówność (%i 15) zachodzi (mamy w niej równość).
2. Na całym odcinku [math]I[/math] funkcja [math]f[/math] jest niedodatnia: [math]f(x)\le 0[/math]. RYS. Mamy wtedy:

   [math] \mathop {\rm sup}_{x\in I} |f(x)| = - \mathop {\rm inf}_{x\in I} f(x),\;\;\;\;\; \mathop {\rm inf}_{x\in I} |f(x)| =- \mathop {\rm sup}_{x\in I} f(x), [/math]

   i znowu nierówność (%i 15) zachodzi (mamy znów w niej równość).
3. Trzecia i ostatnia możliwość to ta, że [math]f[/math] zmienia znak na [math]I[/math]. Wtedy:

   [math] \mathop {\rm sup}_{x\in I} f(x)\gt 0, \;\;{\rm więc}\;\; \mathop {\rm sup}_{x\in I} f(x) =\mathop {\rm sup}_{x\in I} |f(x)|, [/math]

   oraz

   [math] \mathop {\rm inf}_{x\in I} f(x)\lt 0, \;\;{\rm więc}\;\;-\mathop {\rm inf}_{x\in I} f(x)\gt 0, [/math]

   więc tym bardziej

   [math] -\mathop {\rm inf}_{x\in I} f(x)\gt -\mathop {\rm inf}_{x\in I} |f(x)| [/math]

   i po dodaniu do obu stron tej nierówności wyrazu [math]\mathop {\rm sup}_{x\in I} f(x)[/math] otrzymujemy znów nierówność (%i 15) (tym razem ostrą).

CBDO Mamy zatem:

[math] \sum _i \left( \mathop {\rm sup}_{x\in [x_{i-1},x_i]} |f(x)| - \mathop {\rm inf}_{x\in [x_{i-1},x_i]} |f(x)| \right)(x_i-x_{i-1}) \le \sum _i \left( \mathop {\rm sup}_{x\in [x_{i-1},x_i]} f(x) - \mathop {\rm inf}_{x\in [x_{i-1},x_i]} f(x) \right)(x_i-x_{i-1}) [/math]

Powyższa nierówność znaczy, że

[math] \bar{S}(|f|,\pi )- \underline{S}(|f|,\pi )\le \bar{S}(f,\pi )- \underline{S}(f,\pi ); [/math]

a ponieważ [math]f[/math] z założenia jest całkowalna, to zachodzi

[math] \forall _\epsilon \exists _\pi \; \bar{S}(f,\pi )- \underline{S}(f,\pi )\lt \epsilon , [/math]

więc tym bardziej (%i 14) — a to znaczy, że [math]|f|[/math] jest całkowalna.

CBDO

Twierdzenie (pierwsze twierdzenie o wartości średniej)

Jeśli [math]f,g[/math] — ciągłe na [math][a,b][/math] i [math]g[/math] jest funkcją nieujemną: [math]g(x)\ge 0[/math], wtedy istnieje [math]\xi \in [a,b][/math] taki, że

[math]\int _a^b f(x) g(x){\sf d}x = f(\xi ) \int ^a_b g(x) {\sf d}x. [/math]

Dowód

Oznaczmy:

[math] m=\mathop {\rm inf}_{x\in [a,b]} f(x), \;\;\;\;\; M=\mathop {\rm sup}_{x\in [a,b]} f(x). [/math]

Ponieważ dla dowolnego [math]x\in [a,b][/math] mamy: [math]m\le f(x) \le M[/math], to zachodzą też nierówności:

[math] m\cdot g(x)\le f(x) \cdot g(x) \le M\cdot g(x) [/math]

oraz

[math] m\int _a^b g(x){\sf d}x \le \int _a^b f(x) g(x){\sf d}x\le M\int _a^b g(x){\sf d}x [/math]

Jeżeli [math]g\ge 0[/math] ciągła nie jest tożsamościowo równa zeru, to [math]\int _a^b g(x) {\sf d}x \gt 0[/math]. RYS. Weźmy bowiem [math]x_0[/math] takie, że [math]g(x_0)\gt 0[/math]. Z ciągłości [math]g[/math], istnieje taka [math]\delta \gt 0[/math], że [math]g(x)\gt 0[/math] dla każdego [math]x\in [\delta -x_0, \delta +x_0][/math].

Ponieważ [math]f[/math] jest ciągła na odcinku domkniętym [math][a,b][/math], to osiąga na [math][a,b][/math] swoje kresy. Przyjmijmy, że kres dolny osiąga w [math]x_1[/math], a kres górny w [math]x_2[/math], gdzie [math]x_1, x_2\in [a,b][/math]. Mamy więc

[math] f(x_1)=m\le \frac{\int _a^b f(x) g(x){\sf d}x}{\int _a^b g(x){\sf d}x}\le M=f(x_2) [/math]

Z własności Darboux dla funkcji [math]f[/math] mamy, że funkcja [math]f[/math] na odcinku [math][x_1, x_2][/math] osiąga wszystkie wartości pośrednie pomiędzy [math]m[/math] i [math]M[/math], a w szczególności osiąga wartość [math]\frac{\int _a^b f(x) g(x){\sf d}x}{\int _a^b g(x){\sf d}x}[/math] (w jakimś punkcie [math]\xi [/math]). Mamy więc

[math] f(\xi )=\frac{\int _a^b f(x) g(x){\sf d}x}{\int _a^b g(x){\sf d}x} [/math]

a to jest dokładnie równość (%i 16) czyli teza twierdzenia.

CBDO

Twierdzenie (drugie twierdzenie o wartości średniej)

Niech [math]f,g[/math] — ciągłe na [math][a,b][/math] i ponadto [math]g[/math] — rosnąca i różniczkowalna w sposób ciągły. Wtedy istnieje taki [math]\xi \in [a,b][/math], że

[math]\int _a^b f(x) g(x){\sf d}x = g(a) \int _a^\xi f(x) {\sf d}x + g(b) \int _\xi ^b f(x) {\sf d}x. [/math]

Dowód

Niech [math]F(x)[/math] — funkcja pierwotna do [math]f(x)[/math], np. [math]F(x)=\int _a^x f(z){\sf d}z[/math]. Obliczmy lewą stronę równości (%i 17). Mamy

[math] \int _a^b f(x)g(x){\sf d}x = \int _a^b F^{\prime }(x)g(x) {\sf d}x = F\cdot g|^b_a -\int _a^b F(x) g^{\prime }(x) {\sf d}x [/math]

[math] =F(b)g(b)-F(a)g(a) -F(\xi ) \int _a^b g^{\prime }(x) {\sf d}x [/math]

[math] =F(b)g(b)-F(a)g(a) -F(\xi ) (g(b) - g(a)) [/math]

[math] =g(b)\int _a^b f(x){\sf d}x - g(b) \int _a^\xi f(x) {\sf d}x + g(a) \int _a^\xi f(x) {\sf d}x [/math]

[math] =g(b)\int _a^\xi f(x){\sf d}x + g(b)\int _\xi ^b f(x){\sf d}x- g(b) \int _a^\xi f(x) {\sf d}x + g(a) \int _a^\xi f(x) {\sf d}x [/math]

[math] = g(b)\int _\xi ^b f(x){\sf d}x + g(a) \int _a^\xi f(x) {\sf d}x [/math]

czyli dostaliśmy (%i 17).

CBDO

---