Matematyka:Matematyka II NI/Własności RN

Własności [math] { \mathbb R}^N[/math]

Odległości i normy w [math] { \mathbb R}^N[/math]

Będziemy się teraz zajmować funkcjami od [math]n[/math] zmiennych, tzn. określonymi na [math] { \mathbb R}^N\equiv { \mathbb R}\times { \mathbb R}\times \dots \times { \mathbb R}[/math] (iloczyn kartezja/nski [math]N[/math] egzemplarzy [math] { \mathbb R}[/math]).

Punkt [math]x[/math] należący do [math] { \mathbb R}^N[/math] będziemy oznaczać jako

[math] x=(x^1, x^2, \dots , x^N). [/math]

Przykł.

Wysokość terenu n.p.m. jako funkcja długości i szerokości geograficznej.

Przykł.

Temperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości.

Odległość

Początkiem do badania [math] { \mathbb R}^n[/math] i funkcji na niej jest zdefiniowanie odległości. Przypomnijmy sobie, jak definiowaliśmy odległość w [math] { \mathbb R}^2[/math]. Jest ona wyznaczana z tw. Pitagorasa: RYS.: Dla dwóch punktów [math]a=(a^1, a^2)[/math] i [math]b=(b^1,b^2)[/math] odległość [math]D(a,b)[/math] pomiędzy nii jest

[math] D(a,b)=\sqrt{(a^1-b^1)^2+ (a^2-b^2)^2}. [/math]

Analogicznie postępujemy w przestrzeniach o większej liczbie wymiarów: Jeśli [math]x,y\in { \mathbb R}^N[/math], to odległość [math]d(x,y)[/math] między nimi definiujemy jako

Definicja

[math]d(x,y)=\sqrt{\sum _{k=1}^N(x^k-y^k)^2}[/math]

Inne oznaczenie [math]d(x,y)[/math] w [math] { \mathbb R}^N[/math] to [math]||x-y||[/math], tzn.

Definicja

Jeśli mamy punkt [math]r=(r^1, r^2,\dots , r^N)\in { \mathbb R}^N[/math], to na [math]||r||=\sqrt{\sum _{k=1}^N(x^k-y^k)^2}[/math] możemy patrzeć jako na odległość punktu [math]r[/math] od zera:

[math]||r||=\sqrt{\sum _{k=1}^N(r^k)^2}=d(r,0).[/math]

Tak zdefiniowana norma ma ważne własności, które teraz wypiszemy.

Własności normy

1. [math]||-r|| = ||r||[/math] i ogólniej, [math]||\alpha r||=|\alpha |\cdot ||r||[/math], gdzie [math]\alpha \in { \mathbb R}[/math].
2. [math]||x+y||\le ||x|| + ||y||;[/math]

   ta nierówność nazywana jest nierównością trójkąta.

Dowód p.2

Nierówność trójkąta wynika z nierówności Schwarza: Dla dowolnych [math]x,y\in { \mathbb R}^N[/math] zachodzi

[math]|\sum _{k=1}^N x^k\cdot y^k| \le ||x||\cdot ||y||. [/math]

Dowód

Rozpatrzmy następującą funkcję zmiennej rzeczywistej [math]\lambda [/math]:

[math] f(\lambda )=\sum _{k=1}^N (x^k -\lambda y^k)^2 =\sum _{k=1}^N (x^k)^2 -2\lambda \sum _{k=1}^N x^k y^k +\lambda ^2\sum _{k=1}^N ( y^k)^2 [/math]

[math]f(\lambda )[/math] jest trójmianem kwadratowym w [math]\lambda [/math]. Ponadto [math]f(\lambda )\le 0[/math], ponieważ [math]f(\lambda )[/math] jest pełnym kwadratem. Skoro trójmian [math]f(\lambda )[/math] jest nieujemny, to jego wyróżnik [math]\Delta [/math] musi być niedodatni. Policzmy ten wyróżnik:

[math]\Delta = 4(\sum _{k=1}^N x^k y^k )^2-4 \sum _{k=1}^N (x^k)^2 \sum _{k=1}^N ( y^k)^2\le 0,[/math]

co możemy przepisać jako

[math] (\sum _{k=1}^N x^k y^k)^2 \le \sum _{k=1}^N (x^k)^2 \sum _{k=1}^N ( y^k)^2 [/math]

Po wyciągnięciu pierwiastka kwadratowego z obu stron nierówności i skorzystaniu z definicji normy (%i 2) otrzymujemy nierówność (%i 4). CBDO Dow. nierówności trójkąta (%i 3). Policzmy:

[math] ||x-y||^2 = \sum _{k=1}^N (x^k+ y^k)^2 = \sum _{k=1}^N (x^k)^2 +2\sum _{k=1}^N x^k y^k+\sum _{k=1}^N ( y^k)^2 [/math]

[math] \le ||x||^2+2||x||\cdot ||y|| + ||y||^2 =(||x|| + ||y||)^2. [/math]

z czego trzeba jeszcze wyciągnąć pierwiastek, aby otrzymać (%i 3).

CBDO

Uwaga

Czy w nierówności Schwarza może wystąpić równość? TAK — jeśli [math]x[/math] jest proporcjonalne do [math]y[/math] (tzn. [math]x=\gamma y[/math] dla pewnego [math]\gamma \in { \mathbb R}[/math]; wtedy [math]\Delta =0[/math], a to znaczy (p. równ (%i 5)) że w nier. Schwarza ma miejsce równość.

Podsumujmy własności odległości, definiowanej przez (%i 1): Dla dowolnych punktów [math]x,y,z\in { \mathbb R}^N[/math] zachodzi:

1. [math]d(x,y)\ge 0[/math], przy czym [math]d(x,y)=0 \; \Longleftrightarrow \;x=y[/math].
2. [math]d(x,y)=d(y,x)[/math].
3. [math]d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)[/math] (jest to tzw. nierówność trójkąta). RYS.

Okazuje się, że odległość euklidesowa nie jest jedyną funkcją od dwu argumentów, spełniającą powyższe warunki. Na przestrzeni [math] { \mathbb R}^N[/math] można wprowadzić wiele innych funkcji, zależnych od dwu argumentów, które spełniają powyższe warunki i które w związku z tym można też nazwać odległościami. Prowadzi to do pojęcia przestrzeni metrycznej:

Przestrzeń metryczna

Przestrzenią metryczną nazywamy zbiór punktów z funkcją dwóch zmiennych [math]d(\cdot ,\cdot )[/math] (zwaną metryką lub odległością), których odległość spełnia powyższe własności 1., 2. i 3.

Przykł.

Wprowadźmy na [math] { \mathbb R}^N[/math] następującą metrykę:

[math]d_\diamond (x,y) = \sum _{i=1}^N |x_i-y_i| [/math]

łatwo sprawdzić, że [math]d_\diamond (x,y)[/math] spełnia powyższe własności 1., 2. i 3.; pierwsze dwie są oczywiste, a trzecia wynika z nierówności dla wartości bezwzględnej: [math]|x-z|\le |x-y|+|y-z|[/math].

Ciągi punktów z [math] { \mathbb R}^N[/math]

Oznaczmy przez [math]\lbrace {a}_n \rbrace [/math] [math] = (a_1, a_2,\dots )[/math] ciąg punktów z [math] { \mathbb R}^N[/math]: [math]a_n\in { \mathbb R}^N[/math], tzn. [math]a_n=(a_n^1, a_n^2, \dots , a_n^N)[/math].

Zbieżność

Mówimy, że ciąg [math]\lbrace {a}_n \rbrace [/math] punktów z [math] { \mathbb R}^N[/math] jest zbieżny do [math]g\in { \mathbb R}^N[/math], jeśli

[math]\displaystyle \mathop {\forall }_{\epsilon \gt 0}\; \mathop {\exists }_{M\in { \mathbb N}} \; \mathop {\forall }_{n\gt M}: d(a_n,g)\lt \epsilon . [/math]

Uwaga

(%i 7) oznacza, że ciąg (o wartościach rzeczywistych!): [math]d(a_n,g)[/math] dąży do zera dla [math]n[/math] dążącego do [math]\infty [/math]:

[math] d(a_n,g) \stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow } 0. [/math]

Jeśli warunek (%i 7) jest spełniony, to piszemy też:

[math] a_n \stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow } g. [/math]

Podobnie jak w przypadku ciągów o wartościach rzeczywistych, mamy twierdzenie o jednoznaczności granicy.

Twierdzenie

Jeśli [math]a_n \stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow } g[/math] i [math]a_n \stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow } g^{\prime }[/math], to [math]g=g^{\prime }[/math].

Dowód

Mamy:

[math] 0\le d(g,g^{\prime })\le d(g, a_n) + d(g^{\prime },a_n) \stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow } 0, [/math]

co znaczy, że [math]d(g,g^{\prime })=0[/math], a więc [math]g=g^{\prime }[/math].

CBDO Badanie zbieżności ciągów o wartościach w [math] { \mathbb R}^N[/math] jest równoważne badaniu zbieżności ciągów w [math] { \mathbb R}[/math]. Mówi o tym nast/epujące

Stwierdzenie

Niech [math]\lbrace {a}_n \rbrace [/math] będzie ciągiem punktów przestrzeni [math] { \mathbb R}^N[/math]; niech [math]g\in { \mathbb R}^N[/math]. Wtedy

[math](a_n \stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow } g) \Longleftrightarrow [/math] dla wszystkich [math]k=1,2,\dots ,N: a^k_n \stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow } g^k). [/math]

Dowód

[math]\Longleftarrow [/math]

[math] d(a_n,g) = \sqrt{\sum _{k=1}^N (a_n^k-g^k)^2}, [/math]

i ponieważ każde z wyraże/n pod pierwiastkiem dąży do zera: [math]|a^k_n-g^k| \stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow } 0[/math], to ich suma też dąży do zera, a to znaczy, że [math]a_n \stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow } g[/math].

[math]\Longrightarrow [/math] Mamy: [math]||r|| = \sqrt{\sum _{k=1}^N(r^k)^2}[/math]. Wybierzmy którąś [math]k-[/math]tą składową i mamy z nierówności trójkąta:

[math] ||r||\ge \sqrt{(r^k)^2}=|r^k|, [/math]

co daje:

[math] d(a_n,g)\ge |a_n^k-g^k|\ge 0, [/math]

i z tw. o 3 ciągach, jeżeli [math]d(a_n,g)\stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow } 0[/math], to także [math]|a_n^k-g^k|\stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow } 0[/math], a to znaczy, że [math]a_n^k\stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow } g^k[/math] dla [math]k=1,2,\dots , N[/math].

CBDO

Ograniczoność

Def. Niech [math]X\subset { \mathbb R}^N[/math]. Mówimy, że [math]X[/math] jest ograniczony, jeśli istnieje taka liczba [math]M[/math], że

[math] \displaystyle \mathop {\forall }_{x\in X}: ||x||\le M [/math]

(tzn. odległości wszystkich punktów zbioru [math]X[/math] od zera są nie większe od liczby [math]M[/math]).

Niech [math]s\in { \mathbb R}^N[/math] i [math]R\in { \mathbb R}_+[/math].

Kula otwarta

Kulą (otwartą) [math]K(s,R)[/math] o środku w [math]s[/math] i promieniu [math]R[/math] nazywamy zbiór tych punktów [math] { \mathbb R}^N[/math], że ich odległość od [math]s[/math] jest nie większa od [math]R[/math]: RYS.

[math]K(s,R)= \lbrace x\in { \mathbb R}^N:\; d(x,s)\lt R\rbrace . [/math]

Uwaga

Własność ograniczoności zbioru można równoważnie tak wypowiedzieć: Zbiór [math]Z[/math] jest ograniczony, jeśli zawiera się w pewnej kuli (o pewnym środku i pewnym promieniu).

Twierzednie Bolzano-Weierstrassa

Każdy ograniczony ciąg punktów [math] { \mathbb R}^N[/math] posiada podciąg zbieżny.

Dowód

Niech [math]a_n = (a^1_n, a^2_n,\dots , a^N_n)[/math].

Jeśli ciąg [math]\lbrace {a}_n \rbrace [/math] — ograniczony, to wszystkie ciągi [math]\lbrace {a^k}_n \rbrace [/math] ( [math]k[/math] — numer składowej, tzn. [math]k=1,2,\dots , N[/math]; [math]n[/math] — numer elementu ciągu, tzn. [math]n=1,2,3,\dots [/math]) są ograniczone. Wynika to z nierówności pokazywanej wyżej: [math]||r||\ge r^k[/math] dla dowolnego [math]r\in { \mathbb R}^N[/math].

Po zastosowaniu tw. Bolzano-Weierstrassa do ciągu [math]\lbrace {a^1_n}_n \rbrace [/math] otrzymamy podciąg [math]\lbrace a_{n_k}\rbrace [/math] ciągu [math]\lbrace {a}_n \rbrace [/math] taki, że ciąg pierwszych współrzędnych jest zbieżny. Stosujemy teraz tw. Bolzano-Weierstrassa do ciągu [math]\lbrace a^2_{n_k}\rbrace [/math] i otrzymujemy podciąg ciągu [math]\lbrace a_{n_k}\rbrace [/math], którego pierwsza i druga składowa są zbieżne. Itd., operację powtarzamy [math]N[/math] razy, aż otrzymamy zbieżność we wszystkich składowych.

CBDO

Ciąg Cauchy'ego

Niech [math]\lbrace {a}_n \rbrace [/math] — ciąg punktów z [math] { \mathbb R}^N[/math]. Mówimy, że ciąg [math]\lbrace {a}_n \rbrace [/math] jest ciągiem Cauchy'ego, jeśli

[math]\displaystyle \mathop {\forall }_{\epsilon \gt 0}\; \mathop {\exists }_{M\in { \mathbb N}} \; \mathop {\forall }_{m,n\gt M}: d(a_m,a_n)\lt \epsilon .[/math]

Twiedzenie

W przestrzeni [math] { \mathbb R}^N[/math] ciąg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągiem Cauchy'ego.

Dowód

[math]\Longrightarrow [/math]: Załóżmy, że [math]a_n \stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow } g[/math]. Z definicji ciągu zbieżnego (powtórzonej tu 2 razy):

[math] \displaystyle \mathop {\forall }_{\epsilon \gt 0}\; \mathop {\exists }_{M\in { \mathbb N}} \; \mathop {\forall }_{m,n\gt M}: d(a_m,g )\lt \frac{\epsilon }{2}\; \wedge \; d(a_n, g)\lt \frac{\epsilon }{2}. [/math]

Z nierówności trójkąta (Equation 3) mamy:

[math] d(a_n,a_m)\le d(a_n, g)+d(a_m, g) \lt \frac{\epsilon }{2} + \frac{\epsilon }{2} = \epsilon [/math]

czyli otrzymujemy (%i 10), a więc [math]\lbrace {a}_n \rbrace [/math] jest ciągiem Cauchy'ego.

[math]\Longleftarrow [/math]: Załóżmy teraz, że [math]\lbrace {a}_n \rbrace [/math] jest ciągiem Cauchy'ego. Wtedy

[math] \displaystyle \mathop {\forall }_{\epsilon \gt 0}\; \mathop {\exists }_{M\in { \mathbb N}} \; \mathop {\forall }_{m,n\gt M}: d(a_m,a_n)\lt \epsilon ; [/math]

a że

[math] d(a_m,a_n) \ge |a^k_m-a^k_n|\;\;\; [/math] dla [math]\;\;k=1,2,\dots N [/math]

to każdy z ciągów [math]\lbrace {a^k}_n \rbrace [/math] jest ciągiem Cauchy'ego. A jak wiemy, jeżeli ciąg rzeczywisty jest ciągiem Cauchy'ego, to jest zbieżny. Zatem każdy z ciągów [math]\lbrace {a^k}_n \rbrace [/math] jest zbieżny; a to znaczy, że też i ciąg [math]\lbrace {a}_n \rbrace [/math] jest zbieżny.

CBDO

Zbiory otwarte i domknięte

Przestrze/n [math] { \mathbb R}^N[/math], którą rozpatrujemy, ma naturalną strukturę przestrzeni wektorowej. Ich własności były/będą omawiane na części 'algebraicznej' wykładu; tu przypomnijmy najważniejsze fakty:

Przestrzeń wektorowa

Przestrzeni [math] { \mathbb R}^N[/math] nadajemy strukturę przestrzeni wektorowej nad ciałem liczb rzeczywistych (i oznaczamy ([math] { \mathbb R}^N, +,\cdot [/math])), jeśli zdefiniujemy w niej działania dodawania wektorów i mnożenia wektora przez liczbę:

Dla dowolnych [math]x,y\in { \mathbb R}^N[/math], [math]\lambda \in { \mathbb R}[/math] zachodzi:

1. [math]+:\;\; { \mathbb R}^N\cdot { \mathbb R}^N \rightarrow { \mathbb R}^N: \;\;\;(x+y)^k =x^k + y^k[/math];
2. [math]\cdot :\;\; { \mathbb R}\times { \mathbb R}^N:\;\;\; (\lambda x)^k = \lambda x^k[/math]

Zbiory domknięte

Zbiór domknięty — definicja

Def. Niech [math]A\subset { \mathbb R}^N[/math]. Zbiór [math]A[/math] nazywamy domkniętym, jeśli dla dowolnego zbieżnego ciągu elementów z [math]A[/math] jego granica też należy do [math]A[/math];

tzn.: [math]A[/math] — domknięty [math]\Longleftrightarrow [/math]

[math] \displaystyle \mathop {\forall }_{\lbrace x_n\rbrace }\;(x_n\in A,\;\; x_n\stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow }g) \Longrightarrow (g\in A). [/math]

Przykł. zbiorów domkniętych

1. [math] { \mathbb R}^N[/math].
2. Zbiór jednoelementowy.
3. Zbiór sko/nczony.
4. W szczególności — zbiór pusty.
5. Niech [math]\lbrace {a}_n \rbrace [/math] — ciąg o wyrazach z [math] { \mathbb R}^N[/math], [math]a_n\stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow }g\in { \mathbb R}^n[/math]. Wtedy zbiór [math]\lbrace a_1, a_2, \dots \rbrace \cup g[/math] jest zbiorem domkniętym.

Przykł.

Odcinek [math]]0,1][/math] nie jest domknięty, bo wszystkie elementy ciągu [math]\frac{1}{n}[/math] należą do [math]]0,1][/math], a granica [math] 0[/math] nie należy do [math]]0,1][/math].

Domknięcie zbioru

Niech [math]A\subset { \mathbb R}^N[/math]. Domknięciem zbioru [math]A[/math] (ozn. [math]\overline{A}[/math]) nazywamy zbiór:

[math]\overline{A} = \lbrace x\in { \mathbb R}^N: [/math] Istnieje ciąg [math] \lbrace x_n\rbrace [/math] o wyrazach z [math] A [/math] t. że [math] x_n\stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow }x\rbrace . [/math]

Przykł.

Domykanie z lewej strony odcinka [math]]0,1][/math]. Stwierdzenia.

1. [math]A\subset \overline{A}[/math].
2. Jeśli [math]A[/math] — domknięty to [math]A=\overline{A}[/math].
3. [math]\overline{A}[/math] jest zbiorem domkniętym oraz [math]\overline{\overline{A}}=\overline{A}[/math].
4. Jeśli ciąg [math]\lbrace {x}_n \rbrace [/math] dąży do granicy [math]g[/math]: [math]x_n\stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow }g[/math] i każdy jego wyraz [math]x_n[/math] jest granicą ciągu elementów zbioru [math]A[/math], to [math]g[/math] też jest granicą ciągu elementów ze zbioru [math]A[/math].

Dowód

Punkt [math]x_n[/math] jest granicą ciągu elementów ze zbioru [math]A[/math]; nazwijmy ten ciąg [math]\lbrace y_m\rbrace [/math]. Mamy

[math] \displaystyle \mathop {\forall }_{\epsilon \gt 0}\; \mathop {\exists }_{M\in { \mathbb N}} \; \mathop {\forall }_{m\gt M}: d(y_m,x_n)\lt \epsilon , [/math]

a więc

[math] \displaystyle \mathop {\forall }_{\epsilon \gt 0}\; \mathop {\exists }_{a\in A}\; d(a,x_n) \lt \epsilon [/math]

Weźmy teraz [math]\epsilon =\frac{1}{n}[/math] i odpowiednio do tego [math]a_n\in A[/math] tak, by zachodziło [math]d(a_n,x_n)\lt \frac{1}{n}[/math]. Zachodzi:

[math] 0\le d(a_n,g)\le d(a_n, x_n) + d(x_n, g) \lt \frac{1}{n} + d(x_n, g); [/math]

prawa strona dąży do zera gdy [math]n\rightarrow \infty [/math] ([math]\frac{1}{n}[/math] wiadomo, zaś [math]d(x_n,g)\stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow }0[/math] z założenia). Zatem również [math]d(a_n,g)\stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow }0[/math], a to znaczy, że [math]a_n\stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow }g[/math].

CBDO

Mamy następującą charakteryzację domknięcia.

Stw.

[math] \overline{A} =\lbrace x\in { \mathbb R}^N: \; \displaystyle \mathop {\forall }_{\epsilon \gt 0}\; K(x,\epsilon )\cap A \ne \emptyset \rbrace [/math]

(tzn. do domknięcia należą te punkty [math]x[/math], że przecięcie kuli o środku w [math]x[/math] i dowolnie małym promieniu ze zbiorem [math]A[/math] jest niepuste). (RYS.)

Dowód

Oznaczmy prawą stronę równości przez [math]B[/math]. Jeżeli [math]x\in B[/math], to biorąc [math]\epsilon = \frac{1}{n}[/math] znajdziemy [math]x_n\in K(x,\frac{1}{n})\cap A[/math]. To znaczy, że [math]x_n\in A[/math] oraz że [math]d(x_n,x)\lt \frac{1}{n}[/math], czyli [math]x_n \stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow }x[/math].

Pokazaliśmy w ten sposób, że [math]B\subset \overline{A}[/math].

Z drugiej strony, jeśli [math]x\in \overline{A}[/math], to w dowolnie małej kuli [math]K(x,\epsilon )[/math] o środku w [math]x[/math] zawarte są prawie wszystkie elementy ciągu [math]\lbrace {x}_n \rbrace [/math] o wyrazach z [math]A[/math] i granicy [math]x[/math]. Spełniony jest więc warunek, że przecięcie tej kuli z [math]A[/math] jest zbiorem niepustym, czyli że [math]x\in B[/math]. Tak więc [math]x\in \overline{A}\Longrightarrow x\in B[/math], czyli [math]\overline{A}\subset B[/math].

Oba te warunki znaczą, że [math]\overline{A}=B[/math].

CBDO

Zbiory otwarte

Pukt wewnętrzny i otoczenie

Def. Niech [math] {\cal O}\subset { \mathbb R}^N[/math] oraz [math]x\in {\cal O}[/math]. Mówimy, że [math]x[/math] jest punktem wewnętrznym zbioru [math] {\cal O}[/math] (lub, że [math] {\cal O}[/math] jest otoczeniem punktu [math]x[/math]) jeśli istnieje [math]\epsilon \gt 0[/math] takie, że [math]K(x,\epsilon )\subset {\cal O}[/math].

Zbiór otwarty

Zbiór [math]A[/math] nazywamy zbiorem otwartym, jeśli każdy element tego zbioru jest jego punktem wewnętrznym.

Przykł.

zbiorów otwartych:

1. [math] { \mathbb R}^N, \emptyset [/math] są zbiorami otwartymi.
2. [math]K(x, r)[/math] ([math]r\gt 0[/math]) jest zbiorem otwartym. Dow. Chcemy pokazać, że (RYS.)

   [math] \displaystyle \mathop {\forall }_{y\in K(x,r)}\; \mathop {\exists }_{\epsilon \gt 0} \; K(y,\epsilon )\subset K(x,r). [/math]

   Bierzemy [math]\epsilon =r-d(x,y)\gt 0[/math]. Dla dowolnego [math]z\in K(y,\epsilon )[/math] mamy:

   [math] d(z,x)\le d(z,y)+d(y,x)\lt \epsilon +d(y,x) = r [/math]

   co znaczy, że [math]z\in K(x,r)[/math].

CBDO

Stwierdzenie

Jeśli [math]x[/math] jest punktem wewnętrznym [math] {\cal O}[/math] i [math]x[/math] jest granicą ciągu [math]\lbrace {x}_n \rbrace [/math] : [math]x={\displaystyle \mathop {\lim }_{n\rightarrow \infty } }x_n[/math], to prawie wszystkie wyrazy ciągu [math]\lbrace {x}_n \rbrace [/math] należą do O.

I na odwrót:

Stwierdzenie

Niech [math]x\in { \mathbb R}^N[/math] i [math] {\cal O}\subset { \mathbb R}^N[/math]. Przypuśćmy, że dla dowolnego ciągu [math]\lbrace {x}_n \rbrace [/math] elementów [math] { \mathbb R}^N[/math] zachodzi:

[math] ({\displaystyle \mathop {\lim }_{n\rightarrow \infty } }x_n = x) \Longrightarrow ([/math] prawie wszystkie wyrazy [math] x_n\in {\cal O}). [/math]

Wtedy [math]x[/math] jest punktem wewnętrznym zbioru [math] {\cal O}[/math].

Dowód

(nie wprost).

Załóżmy, że [math]x[/math] nie jest punktem wewnętrznym zbioru [math] {\cal O}[/math], tzn.

[math] \displaystyle \mathop {\forall }_{\epsilon \gt 0}\; K(x,\epsilon )\lnot \subset {\cal O}. [/math]

Bierzemy [math]\epsilon =\frac{1}{n}[/math]. Mamy: [math]K(x,\frac{1}{n}) \lnot \subset {\cal O}[/math]. Zatem istnieje taki ciąg [math]\lbrace {x}_n \rbrace [/math] , że [math]x_n\in K(x,\frac{1}{n})[/math] oraz [math]x_n \notin {\cal O}[/math]. Skoro [math]x_n[/math] należy do kuli [math]K(x,\frac{1}{n})[/math], to odległość między [math]x[/math] a [math]x_n[/math] jest mniejsza niż promie/n kuli:.

[math] 0\lt d(x,x_n) \lt \frac{1}{n}, [/math]

a to znaczy, że ciąg [math]\lbrace {x}_n \rbrace [/math] jest zbieżny do [math]x[/math]: [math]x_n \stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow }x[/math].

W ten sposób otrzymaliśmy sprzeczność z założeniem (znaleźliśmy bowiem ciąg [math]\lbrace {x}_n \rbrace [/math] dążący do [math]x[/math], którego wyrazy nie należą do [math] {\cal O}[/math]), więc nieprawdziwe jest zaprzeczenie tezy, czyli prawdziwa jest teza mówiąca, iż [math]x[/math] jest punktem wewnętrznym [math] {\cal O}[/math].

CBDO

Uwaga

Otwartość i domkniętość nie są pojęciami przeciwstawnymi! Np. zbiór [math] { \mathbb R}^N[/math] jest zarówno otwarty jak i domknięty.

Uwaga

Otwartość/domkniętość zbioru zależy też od tego, podzbiorem jakiego zbioru on jest. Np. jeśli rozpatrujemy [math]A=]0,1[[/math] jako podzbiór [math] { \mathbb R}[/math], to kulami otwartymi w [math] { \mathbb R}[/math] są odcinki (otwarte) i [math]A[/math] jest otwarty. Jeśli natomiast rozpatrujemy [math]A[/math] jako podzbiór [math] { \mathbb R}^2[/math], to kulami otwartymi w [math] { \mathbb R}^2[/math] są koła (bez brzegu) i [math]A[/math] nie jest już otwarty, bo żadne koło o niezerowym promieniu nie mieści się w [math]A[/math].

Twierdzenie

Niech [math] {\cal O}\subset { \mathbb R}^N[/math] i [math]A= { \mathbb R}^N \setminus {\cal O}[/math]. Wtedy ma miejsce równoważność

[math]( {\cal O}[/math] jest otwarty [math]) \Longleftrightarrow (A [/math] jest domknięty [math]).[/math]

Dowód

[math]\Longrightarrow [/math] Weźmy zbieżny [math]\lbrace {x}_n \rbrace [/math] o wyrazach należących do [math]A[/math]: [math]x_n\in A[/math], [math]x_n \stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow }x[/math]. Chcemy pokazać, że [math]x\in A[/math].

Przypuśćmy, że przeciwnie: [math]x\notin A[/math]. Wobec tego [math]x\in {\cal O}[/math] (bo [math]A[/math] i [math] {\cal O}[/math] są rozłączne, a ich suma to całe [math] { \mathbb R}^N[/math]). Z założenia [math] {\cal O}[/math] jest zbiorem otwartym, więc [math]x[/math] jest punktem wewnętrznym [math] {\cal O}[/math] i (p. poprzednie Stw.) prawie wszystkie wyrazy ciągu [math]\lbrace {x}_n \rbrace [/math] należą do [math] {\cal O}[/math], więc nie należą do [math]A[/math]. Otrzymaliśmy sprzeczność.

[math]\Longleftarrow [/math] Niech [math]x\in {\cal O}[/math]. Skoro tak to [math]x\notin A = \overline{A}[/math], a więc istnieje kula [math]K(x,\epsilon )[/math] taka, że [math]K(x,\epsilon )\cap A = \emptyset [/math], a to znaczy, że [math]K(x,\epsilon )\subset {\cal O}[/math], więc [math]x[/math] jest punktem wewnętrznym [math] {\cal O}[/math], czyli [math] {\cal O}[/math] jest otwarty.

CBDO

Wniosek

Niech [math]x\in { \mathbb R}^N[/math], [math]A\subset { \mathbb R}^N[/math] i [math] {\cal O}= { \mathbb R}^N \setminus A[/math]. Wtedy zachodzi jeden i tylko jeden z wykluczających się warunków:

1. [math]x[/math] jest punktem wewnętrznym zbioru [math] {\cal O}[/math].
2. [math]x\in \overline{A}[/math].

Dowód

Trzeba pokazać, że nieprawdą jest równoważność obydwu powyższych warunków, tzn: Nieprawda, że [math]1. \Longleftrightarrow 2.[/math]

Pokażemy najsampierw że z zaprzeczenia 1. wynika 2.

Zaprzeczenie zdania: "[math]x[/math] jest punktem wewnętrznym [math] {\cal O}[/math]" to jest to samo, co zaprzeczenie zdania: "[math]\displaystyle \mathop \exists _{\epsilon \gt 0}: K(x,\epsilon )\subset {\cal O}[/math]", czyli: "[math]\displaystyle \mathop \forall _{\epsilon \gt 0}: K(x,\epsilon )\lnot \subset {\cal O}[/math]". To zaś jest równoważne zdaniu: "[math]\displaystyle \mathop \forall _{\epsilon \gt 0}: K(x,\epsilon )\cap A \ne \emptyset [/math]", a to znaczy, że [math]x[/math] jest punktem domknięcia zbioru [math]A[/math], tzn. [math]x\in \overline{A}[/math]

To teraz że z zaprzeczenia 2. wynika 1.

Skoro [math]x[/math] nie należy do domknięcia [math]A[/math], to [math]x\in {\cal O}[/math] oraz że [math]\displaystyle \mathop \exists _{\epsilon \gt 0}: K(x,\epsilon )\cap A = \emptyset [/math], a to znaczy, że [math] K(x,\epsilon )\subset {\cal O}[/math], tzn. [math]x[/math] jest punktem wewnętrznym [math] {\cal O}[/math].

CBDO

Twierdzenie

1. [math] { \mathbb R}^N[/math] i [math]\emptyset [/math] są zbiorami otwartymi.
2. Jeśli [math]( {\cal O}_\alpha )_{\alpha \in {\cal A} }[/math] ([math] {\cal A} [/math] — dowolny zbiór wskaźników) jest rodziną zbiorów otwartych, to [math] \bigcup _{\alpha \in {\cal A} } {\cal O}_\alpha [/math] też jest zbiorem otwartym.
3. Jeżeli [math] {\cal O}_1, {\cal O}_2[/math] są otwarte, to [math] {\cal O}_1\cap {\cal O}_2[/math] jest otwarty.

Dow

1. Było
2. Niech [math]x\in \bigcup _{\alpha \in {\cal A} } {\cal O}_\alpha [/math]. Istnieje więc [math]\alpha _0\in {\cal A} [/math] takie, że [math]x\in {\cal O}_{\alpha _0}[/math]. Ponieważ [math] {\cal O}_{\alpha _0}[/math] — otwarty, więc istnieje kula o niezerowym promieniu, zawarta w [math] {\cal O}_{\alpha _0}[/math]:

   [math] \exists _{\epsilon \gt 0}: K(x,\epsilon )\subset {\cal O}_{\alpha _0} \subset \bigcup _{\alpha \in {\cal A} } {\cal O}_\alpha , [/math]

   czyli [math] \bigcup _{\alpha \in {\cal A} } {\cal O}_\alpha [/math] jest zbiorem otwartym.
3. Niech [math]x\in {\cal O}_1\cap {\cal O}_2[/math], tzn. [math]x\in {\cal O}_1[/math] i [math]x\in {\cal O}_2[/math]. Tak więc

   [math] \displaystyle \mathop \exists _{\epsilon _1\gt 0}: K(x,\epsilon _1)\subset {\cal O}_1 \;\;\; {\rm i}\;\;\; \exists _{\epsilon _2\gt 0}: K(x,\epsilon _2)\subset {\cal O}_2. [/math]

   Bierzemy [math]\epsilon = {\rm min}(\epsilon _1,\epsilon _2)\gt 0[/math] i wtedy mamy

   [math] K(x,\epsilon )\subset K(x,\epsilon _1)\subset {\cal O}_1\;\;\; {\rm i}\;\;\; K(x,\epsilon )\subset K(x,\epsilon _2)\subset {\cal O}_2, [/math]

   zatem [math]K(x,\epsilon )\subset {\cal O}_1\cap {\cal O}_2[/math], czyli [math] {\cal O}_1\cap {\cal O}_2[/math] jest zbiorem otwartym. Uwaga. Przez indukcję dowodzi się, że powyższa własność zachodzi dla dowolnej sko/nczonej ilości zbiorów: Dla dowolnego [math]n\in { \mathbb N}[/math], jeśli [math] {\cal O}_1, {\cal O}_2,\dots {\cal O}_n[/math] są otwarte, to również [math] {\cal O}_1\cap {\cal O}_2\cap \dots \cap {\cal O}_n[/math] jest otwarty. Własność ta nie jest prawdziwa dla rodzin niesko/nczonych: Weźmy np. rodzinę zbiorów otwartych [math]A_n=]-\frac{1}{n},1+\frac{1}{n}[[/math]; mamy: [math]\bigcap _{n=1}^\infty A_n = [0,1][/math], co nie jest zbiorem otwartym.

CBDO

Stwierdzenie — uwaga

Każdy zbiór otwarty [math] {\cal O}[/math] jest sumą pewnej rodziny zbiorów otwartych.

Dowód

Niech [math]x\in {\cal O}[/math]; wobec tego [math]x\in {\cal O}_x[/math], gdzie [math] {\cal O}_x[/math] jest pewną kulą o środku w punkcie [math]x[/math], taką,że [math] {\cal O}_x\subset {\cal O}[/math]. Mamy następujące zawierania:

[math] {\cal O}\subset \bigcup _{x\in {\cal O}} {\cal O}_x \subset {\cal O}, [/math]

skąd wynika, że [math] \bigcup _{x\in {\cal O}} {\cal O}_x = {\cal O}[/math]. CBDO

Niektóre dalsze własności zbiorów domkniętych.

Dopełnienie zbioru, przypomnienie własności dopełnienia

Zbiory domknięte mają własności, powiązane z powyższymi własnościami zbiorów otwartych:

1. [math] { \mathbb R}^N, \emptyset [/math] są zbiorami domkniętymi.
2. Jeśli [math]A_1,A_2[/math] — zbiory domknięte, to [math]A_1\cup A_2[/math] też jest zbiorem domkniętym. Z indukcji, zachodzi to też dla dowolnej sko/nczonej sumy mnogościowej: Jeśli [math]A_1, A_2, \dots , A_n[/math] są zbiorami domkniętymi, to [math]A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n[/math] też jest zbiorem domkniętym dla dowolnego [math]n[/math].
3. Natomiast przecięcie dowolnej rodziny (sko/nczonej czy niesko/nczonej) zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym: Jeśli [math]\lbrace A_\alpha \rbrace [/math], [math]\alpha \in {\cal A} [/math] jest rodziną zbiorów domkniętych, to również [math]\bigcup _{\alpha \in {\cal A} } A_\alpha [/math] też jest zbiorem domkniętym.

Dowód

1. [math] { \mathbb R}^N[/math] jest domknięty, bo [math] { \mathbb R}^N\setminus { \mathbb R}^N=\emptyset [/math] jest otwarty. [math]\emptyset [/math] jest domknięty, bo [math] { \mathbb R}^N\setminus \emptyset = { \mathbb R}^N[/math] jest otwarty.
2. Jeśli [math]A_1[/math], [math]A_2[/math] — domknięte, to [math]A_1^{\prime }[/math], [math]A_2^{\prime }[/math] — otwarte; zatem (było) [math]A_1^{\prime }\cap A_2^{\prime }[/math] — otwarty, a że [math]A_1^{\prime }\cap A_2^{\prime } = (A_1\cup A_2)^{\prime }[/math], więc [math](A_1\cup A_2)^{\prime }[/math] — otwarty, a to znaczy że [math]A_1\cup A_2[/math] — domknięty.
   Uwaga: Własność ta nie jest słuszna dla sum niesko/nczonych: Jako przykład weźmy [math]A_n= [\frac{1}{n},1][/math]. Każdy zbiór [math]A_n[/math] jest domknięty, a ich suma [math]\displaystyle \mathop {\bigcup }_{n=1}^\infty = ]0,1][/math] nie jest zbiorem domkniętym.
3. Jeśli [math]A_\alpha [/math] jest domknięty to [math] { \mathbb R}^N\setminus A_\alpha [/math] jest otwarty. Suma dowolnej ilości zbiorów otwartych jest otwarta (własność 3. zb. otwartych), wobec tego: [math]\bigcup _{\alpha \in {\cal A} } ( { \mathbb R}^N \setminus A_\alpha ) = \bigcup _{\alpha \in {\cal A} } A^{\prime }_\alpha [/math] jest otwarty.
   Ale mamy: [math]A^{\prime }\cup B^{\prime }= (A\cap B)^{\prime }[/math] dla dowolnych zbiorów [math]A[/math] i [math]B[/math], ([math]A^{\prime }[/math] — dopełnienie [math]A[/math], tzn. [math] { \mathbb R}^N\setminus A[/math]) i również: [math]\displaystyle \mathop {\bigcup }_{\alpha \in {\cal A} } A^{\prime }_\alpha = \left(\mathop {\bigcap }_{\alpha \in {\cal A} } A_\alpha \right)^{\prime } [/math].
   A mamy jeszcze dla dowolnych zbiorów [math]X,Y[/math]: [math]X\setminus Y = X\cap Y^{\prime }[/math], zatem [math]\displaystyle \left(\mathop {\bigcap }_{\alpha \in {\cal A} } A_\alpha \right)^{\prime } = { \mathbb R}^N \setminus \left(\mathop {\bigcap }_{\alpha \in {\cal A} } A_\alpha \right) [/math].
   Tak więc [math] { \mathbb R}^N \setminus \left(\displaystyle \mathop {\bigcap }_{\alpha \in {\cal A} } A_\alpha \right) [/math] jest otwarty, zatem [math]\displaystyle \mathop {\bigcap }_{\alpha \in {\cal A} } A_\alpha [/math] jest domknięty.

CBDO

Zbiory zwarte

Zbiór zwarty

Def. Niech [math]K\subset { \mathbb R}^N[/math]. Mówimy, że [math]K[/math] jest zwarty, jeśli z dowolnego ciągu elementów zbioru [math]K[/math] można wybrać podciąg zbieżny do elementu zbioru [math]K[/math].

Twierdzenie

Niech [math]K\subset { \mathbb R}^N[/math]. Wtedy:

[math] (K [/math] jest zwarty [math]) \Longleftrightarrow (K[/math] jest domknięty i ograniczony [math]). [/math]

Dowód

[math]\Longleftarrow [/math] Na mocy twierdzenia Bolzano-Weierstrassa, z dowolnego ciągu ograniczonego można wybrać podciąg zbieżny. Granica tego ciągu musi być w [math]K[/math], bo [math]K[/math] — domknięty.

[math]\Longrightarrow [/math] Załóżmy, że [math]K[/math] jest zwarty. Bierzemy ciąg elementów z [math]K[/math] zbieżny do [math]x\in { \mathbb R}^N[/math]. Granicą dowolnego podciągu jest ten sam punkt [math]x[/math]. Zatem (z zał. i z definicji zb. zwartego) [math]x\in K[/math]. To pokazuje, że [math]K[/math] jest domknięty.

Przypuśćmy teraz, że zbiór [math]K[/math] nie jest ograniczony. Wtedy istnieje ciąg [math]\lbrace {x}_n \rbrace [/math] elementów zbioru [math]K[/math] taki, że [math]d(0,x_n)\stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow } \infty [/math]. Tak też jest dla dowolnego podciągu ciągu [math]\lbrace {x}_n \rbrace [/math] . Ale taki podciąg nie może być zbieżny.

CBDO