Matematyka:Matematyka II NI/Odwzorowania

Odwzorowania

Pojęcie odwzorowania pomiędzy dwoma zbiorami było już definiowane, ale dawno, więc nie od rzeczy będzie przypomnieć, że odwzorowaniem nazywamy sposób przyporządkowania (niekoniecznie każdemu) elementowi [math]x\in X[/math] elementu [math]y\in Y[/math]. Zapisujemy to: [math]T:X\rightarrow Y[/math], Dalej [math]X[/math] będzie podzbiorem [math] { \mathbb R}^N[/math], zaś [math]Y[/math] podzbiorem [math] { \mathbb R}^M[/math].

RYS.

Załóżmy, że mamy jakieś układy współrzędnych w [math] { \mathbb R}^N[/math] i [math] { \mathbb R}^M[/math], tak że dowolny punkt [math]x\in X[/math] ma postać:

[math] x=(x^j),\;\;\; j=1,2,\dots , N. [/math]

i analogicznie w [math]Y[/math]

[math] y=(y^k),\;\;\; k=1,2,\dots , M. [/math]

[math] (Tx)^k = T^k(x^1,x^2,\dots , x^N) \;\;\;k=1,2,\dots , M [/math]

Na odwzorowanie możemy patrzeć po prostu jak na układ [math]M[/math] funkcji [math]N[/math] zmiennych.

Przykł.

1. [math]R\rightarrow { \mathbb R}^3[/math] — krzywa w [math] { \mathbb R}^3[/math].
2. [math] { \mathbb R}^3 \rightarrow { \mathbb R}^3[/math]: Zamiana układu współrzędnych; pole wektorowe.

Definicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady

Odwzorowanie ciągłe

Niech [math]X\subset { \mathbb R}^N[/math], [math]Y\subset { \mathbb R}^M[/math], oraz niech będzie dane odwzorowanie [math]T: X\rightarrow Y[/math].

Mówimy, że odwzorowanie [math]T[/math] jest ciągłe, jeśli dla dowolnego ciągu [math]\lbrace {x}_n \rbrace [/math] elementów zbioru [math]X[/math] zbieżnego do punktu [math]g\in X[/math] mamy

[math]T(x_n)\stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow } T(g). [/math]

Uwaga

Przypominając sobie definicję zbieżności ciągu widzimy, że odwzorowanie [math]T[/math] jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie funkcje [math]T^k[/math] ([math]k=1,2,\dots , M[/math]) są ciągłe.

Przykłady

odwzorowań ciągłych. Tu: [math]X\subset { \mathbb R}^N[/math], [math]Y\subset { \mathbb R}^M[/math],[math]T: X\rightarrow Y[/math].

Odwzorowanie stałe

Dla każdego [math]x\in X[/math]: [math]T(x)=y_0={\rm const.}[/math].

RYS.

Odwzorowanie identycznościowe

Tu niech [math]N=M[/math]. Określamy odwzorowanie identycznościowe wzorem: [math]T(x)=x[/math]; [math]T[/math] często też oznaczamy symbolem [math]Id_X[/math].

Superpozycja odwzorowań

Niech Tu: [math]X\subset { \mathbb R}^N[/math], [math]Y\subset { \mathbb R}^M[/math], [math]Z\subset { \mathbb R}^k[/math] oraz [math]T: X\rightarrow Y[/math], [math]S: Y\rightarrow Z[/math]. Oznaczamy: [math](S\circ T) (x) = S(T(x))[/math], czyli [math]S\circ T: X\rightarrow Z[/math].

RYS.

Odwzorowanie [math]S\circ T[/math] nazywamy superpozycją lub złożeniem odwzorowań [math]S[/math] oraz [math]T[/math].

Twierdzenie=

Jeśli [math]S[/math] i [math]T[/math] są odwzorowaniami ciągłymi, to [math]S\circ T[/math] też jest odwzorowaniem ciągłym.

Dow. (podobny jak w [math] { \mathbb R}^1[/math]): Niech [math]\lbrace {x}_n \rbrace [/math] będzie ciągiem elementów z [math]X[/math]: [math]x_n\in X[/math] oraz [math]x_n\stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow } g\in X[/math].

Ponieważ [math]T[/math] — ciągłe, więc [math]T(x_n)\stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow } T(g)[/math].

Oraz:

Ponieważ [math]X[/math] — ciągłe, więc [math]S(T(x_n))\stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow } S(T(g))[/math].

Zatem [math](S\circ T)(x_n))\stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow } (S\circ T)(g))[/math].

CBDO

Dodawanie liczb rzeczywistych

[math]+: { \mathbb R}^2\ni (x,y)\rightarrow x+y \in { \mathbb R}[/math] (dodawanie liczb rzeczywistych) jest odwzorowaniem ciągłym.

Dowód

Jest to po prostu twierdzenie, że granica sumy dwóch ciągów zbieżnych jest sumą granic.

CBDO

Mnożenie liczb rzeczywistych

[math]\cdot : { \mathbb R}^2\ni (x,y)\rightarrow x\cdot y \in { \mathbb R}[/math] (mnożenie liczb rzeczywistych) jest odwzorowaniem ciągłym.

Dowód

Granica iloczynu dwóch ciągów zbieżnych jest iloczynem granic.

CBDO

Dzielenie liczb rzeczywistych

[math]: : ( { \mathbb R}\times { \mathbb R}\setminus \lbrace 0\rbrace )\ni (x,y)\rightarrow x: y \in { \mathbb R}[/math] (dzielenie liczb rzeczywistych) jest odwzorowaniem ciągłym.

Dowód

Granica ilorazu dwóch ciągów zbieżnych jest ilorazem granic.

CBDO

Nieciągła funkcja dwóch zmiennych

Funkcja dwóch zmiennych, która nie jest ciągła:

[math] f(x,y) =\frac{xy}{x^2+y^2} \mbox{ poza } (0,0) \mbox{ oraz } f(0,0)=0. [/math]

Przewciwobraz zbioru

Jeśli [math]A\subset Y[/math], to zbiór:

[math]T^{-1}(A)=\lbrace x\in X: \;\;T(x)=A \rbrace [/math]

nazywamy przeciwobrazem zbioru [math]A[/math] przy odwzorowaniu [math]T[/math].

Przykł.

[math]T: { \mathbb R}^2\rightarrow { \mathbb R}[/math], [math]T(x,y)=x^2+y^2[/math]; [math]T^{-1}(1)= ...[/math], [math]T^{-1}(1)= ...[/math], [math]T^{-1}(0)= (0,0)[/math], [math]T^{-1}(-1)= \emptyset [/math], [math]T^{-1}([1,2])= ...[/math].

Uwaga

Pojawiający się wyżej symbol [math]T^{-1}[/math] nie oznacza, że [math]T[/math] jest odwracalne! Powyższy zapis należy odczytywać łącznie.

Zbiór otwarty

(*) Niech [math]X\subset { \mathbb R}^N[/math], [math] {\cal O}\subset X[/math].

Mówimy, że [math] {\cal O}[/math] jest otwarty w [math]X[/math], jeżeli istnieje zbiór otwarty [math] {\cal O}^{\prime }[/math] w [math] { \mathbb R}^N[/math] taki, że [math] {\cal O}= X \cap {\cal O}^{\prime }[/math].

RYS.

Inna charakteryzacja odwzorowań ciągłych

Twierdzenie

Niech [math]X\subset { \mathbb R}^N[/math], [math]Y\subset { \mathbb R}^M[/math], [math]T:\; X\rightarrow Y[/math]. Wówczas [math]T[/math] jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy przeciwobrazy wszystkich zbiorów otwartych w [math]Y[/math] są otwarte w [math]X[/math].

Dowód

[math]\Longrightarrow [/math] Zakładamy, że [math]T[/math] — ciągłe i że [math] {\cal O}\subset Y[/math], [math] {\cal O}[/math] — otwarty.

Niech [math]a[/math] będzie jakimś punktem z przeciwobrazu [math] {\cal O}[/math]: [math]a\in T^{-1}( {\cal O})[/math]. Pokażemy, że

[math]\displaystyle \mathop \exists _{\epsilon \gt 0}: K(a,\epsilon )\cap X\subset T^{-1}( {\cal O}) [/math]

Gdy już będziemy mieli dowód (%i 3), to wtedy:

Zdefiniujmy [math] {\cal O}^{\prime }[/math] jako:

[math] {\cal O}^{\prime }=\displaystyle \mathop {\bigcup }_{a\in T^{-1}( {\cal O})} K(a,\epsilon _a). [/math]

[math] {\cal O}^{\prime }[/math] jest otwarty, jako suma mnogościowa kul otwartych.

Ponieważ [math]T^{-1}( {\cal O})\subset X[/math], więc też [math]T^{-1}( {\cal O})\subset {\cal O}^{\prime } \cap X[/math].

Z drugiej strony, ponieważ zachodzi (%i 3), to mamy dla każdego [math]a\in T^{-1}( {\cal O})[/math]: [math] K(a,\epsilon _a)\cap X\subset T^{-1}( {\cal O})[/math] dla pewnego [math]\epsilon _a[/math], z czego wynika, że [math] {\cal O}^{\prime }\cap X \subset T^{-1}( {\cal O})[/math].

Ostatecznie: Ponieważ: [math]T^{-1}( {\cal O})\subset {\cal O}^{\prime }\cap X \subset T^{-1}( {\cal O})[/math], to znaczy, że

[math] T^{-1}( {\cal O}) = {\cal O}^{\prime }\cap X, [/math]

czyli — w myśl definicji (*) wyżej — [math]T^{-1}( {\cal O})[/math] jest otwarty w [math]X[/math].

Teraz dowód (%i 3). Dowód będzie niewprost: Przypuśćmy, że prawdziwe jest zaprzeczenie zdania (%i 3), tzn. że zachodzi

[math] \displaystyle \mathop \forall _{\epsilon \gt 0}: K(a,\epsilon )\cap X\lnot \subset T^{-1}( {\cal O}). [/math]

Bierzemy wobec tego [math]\epsilon =\frac{1}{n}[/math] i mamy, że dla każdego [math]n[/math]

[math] K(a,\frac{1}{n})\cap X\lnot \subset T^{-1}( {\cal O}). [/math]

(tzn. przecięcie wystaje poza zbiór [math]T^{-1}( {\cal O})[/math]).

Czyli dla każdego [math]n[/math] istnieje taki punkt [math]a_n[/math], że [math] a_n\in K(a,\frac{1}{n})[/math], [math]a_n\in X[/math], [math]T(a_n) \notin {\cal O},\;\;\;\mbox{bo }\;\; a_n\notin T^{-1}( {\cal O})[/math], [math]T(a) \in {\cal O},\;\;\;\mbox{bo }\;\; a \in T^{-1}( {\cal O}).[/math] Ponieważ [math]a_n\in K(a,\frac{1}{n})[/math], to [math]d(a_n, a)\lt \frac{1}{n}\stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow } 0[/math], zatem

[math] a_n \stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow } a \;\;\;\mbox{ oraz } \;\;\; T(a_n) \stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow } T(a) [/math]

ponieważ [math]T[/math] z założenia jest ciągłe. Zbiór [math] {\cal O}[/math] jest otwarty w [math]Y[/math], więc

[math] {\cal O}= Y\cap {\cal O}^{\prime }, \;\;\;\mbox{ gdzie } \;\; {\cal O}^{\prime }\;\;\mbox{jest otwarty w }\; { \mathbb R}^N. [/math]

Zachodzi: [math]T(a)\in {\cal O}[/math], czyli [math]T(a)\in {\cal O}^{\prime }[/math] i, ponieważ [math] {\cal O}^{\prime }[/math] jest otwarty, to istnieje takie [math]r[/math], że [math]K(T(a),r)\subset {\cal O}^{\prime }[/math]. Ponieważ [math]d(T(a_n),T(a)) \stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow } 0[/math], to prawie wszystkie wyrazy ciągu [math]T(a_n)[/math] są zawarte w kuli [math]K(T(a),r)[/math]:

[math] T(a_n)\in K(T(a),r)\subset {\cal O}^{\prime } [/math]

zaś [math]K(T(a),r) \subset {\cal O}^{\prime }[/math] (co było wyżej), a ponadto [math]T(a_n)\in Y[/math] ( bo [math]a_n\in X[/math] oraz [math]T:X\rightarrow Y[/math]). Skoro [math]T(a_n)\in Y[/math] i [math]T(a_n\in {\cal O}^{\prime }[/math] to [math]T(a_n)\in {\cal O}[/math] — więc otrzymaliśmy sprzeczność.

[math]\Longleftarrow [/math] Niech [math]x_n\in X[/math] i [math]x_n \stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow } g\in X[/math]. Trzeba pokazać, że również [math]T(x_n) \stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow } T(g)[/math].

Równoważnie będziemy pokazywać, że dla dowolnego [math]\epsilon \gt 0[/math], prawie wszystkie wyrazy [math]T(x_n)\in K(T(g),\epsilon )[/math].

Ponieważ [math] K(T(g),\epsilon )[/math] jest zbiorem otwartym, to [math] K(T(g),\epsilon )\cap Y[/math] jest zbiorem otwartym w [math]Y[/math]. Dalej, ponieważ dla [math]T[/math] — ciągłego przeciwobraz zb. otwartego jest zb. otwartym, to [math]T^{-1}( K(T(g),\epsilon )\cap Y)[/math] jest zbiorem otwartym w [math]X[/math]. Oraz mamy: [math]g\in T^{-1}( K(T(g),\epsilon )\cap Y)[/math], czyli razem z [math]g[/math] musi należeć do [math]X[/math] pewne jego otoczenie.

A to znaczy, że dla każdego ciągu [math]x_n[/math] dążący do [math]g\in X[/math], wszystkie wyrazy [math]x_n[/math] od pewnego miejsca [math]n_0[/math] muszą należeć do [math]X[/math]: Dla [math]n\gt n_0[/math] zachodzi

[math] x_n\in T^{-1}( K(T(g),\epsilon )\cap Y), [/math]

tzn.

[math] T(x_n) \in K(T(g),\epsilon ) /math\gt a to znaczy, że ::\lt math\gt T(x_n) \stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow } T(g). [/math]

CBDO

Jeszcze inna charakteryzacja odwzorowań ciągłych

Twierdzenie

[math](T \mbox{ ciągłe na } X) \Longleftrightarrow \left( \displaystyle \mathop \forall _{x\in X}\; \mathop \forall _{\epsilon \gt 0} \; \mathop \exists _{\delta \gt 0} \; \mathop \forall _{y\in X}\; (d(x,y)\lt \delta ) \Longrightarrow d(T(x),T(y))\lt \epsilon \right) [/math]

Dowód

[math]\Longrightarrow [/math]

Załóżmy, że teza tw. powyżej jest nieprawdziwa, tzn.

[math] \displaystyle \mathop \exists _{x\in X}\; \mathop \exists _{\epsilon \gt 0} \; \mathop \forall _{\delta \gt 0} \; \mathop \exists _{y\in X}\; (d(x,y)\lt \delta )\; \mbox{ i }\; d(T(x),T(y))\ge \epsilon . [/math]

Wybierzmy [math]\delta =\frac{1}{n}[/math]. Istnieje więc taki ciąg [math]\lbrace {y}_n \rbrace [/math] , że

[math]\begin{matrix} d(x,y_n)\lt \frac{1}{n} \;\;\;\;\; (*)\\ d(T(x),T(y_n))\ge \epsilon \;\;\;\;\; (**) \end{matrix}[/math]

Z (*) wynika, że [math]y_n \stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow } x[/math], natomiast z (**) wynika, że [math]T(y_n)\stackrel{n\rightarrow \infty }{\lnot \longrightarrow } T(x)[/math], co jest sprzeczne z założeniem, że [math]T[/math] jest ciągłe.

[math]\Longrightarrow [/math] Niech [math]x_n, x\in X[/math], oraz [math]x_n \stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow }x[/math]. Weźmy [math]\epsilon \gt 0[/math]. Z założenia,

[math] \mathop \exists _{\delta \gt 0} \; \mathop \forall _{y\in X}\; (d(x,y)\lt \delta ) \Longrightarrow d(T(x),T(y))\lt \epsilon . [/math]

Ponieważ [math]x_n \stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow }x[/math], to dla prawie wszystkich [math]n[/math] zachodzi:

[math] d(x,x_n)\lt \delta \;\;\mbox{ oraz } d(T(x),T(x_n))\lt \epsilon [/math]

a ta ostatnia nierówność mówi, że [math]T(x_n) \stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow } T(x)[/math], a to znaczy, że [math]T[/math] jest ciągłe.

CBDO

Twierdzenie

(nazwane w notatkach 'sakramentalnym'; na pewno jest FUNDAmentalne).

Niech [math]K\subset { \mathbb R}^N[/math] — zwarty, oraz niech [math]f: K\rightarrow { \mathbb R}[/math] — funkcja ciągła. Wtedy:

1. [math]f[/math] jest ograniczona.
2. [math]f[/math] osiąga swoje kresy, tzn.:
   [math]\mathop \exists _{x_{min},x_{max}\in K} \; \mathop \forall _{x\in K}\; f(x_{min})\le f(x)\le f(x_{max}) [/math]

   
   

3. [math]f[/math] jest jednostajnie ciągła.

Dowód

1. Przypuśćmy, że [math]f[/math] nie jest ograniczona. Wtedy istnieje [math]\lbrace {x}_n \rbrace [/math] , [math]x_n\in K[/math] taki, że

   [math] f(x_n) \stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow }\infty \;\;\;\;\;(\bullet ) [/math]

   Ponieważ [math]K[/math] jest zwarty, więc ciąg [math]\lbrace {x}_n \rbrace [/math] posiada podciąg zbieżny [math]\lbrace {y}_n \rbrace [/math] : [math]y_n \stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow } g \in K[/math]. Ale [math]f[/math] jest ciągła, więc

   [math] f(y_n) \stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow } f(g) [/math]

   co stanowi sprzeczność z [math](\bullet )[/math]. CBDO
2. Niech [math] {\cal W}\subset { \mathbb R}[/math] będzie zbiorem wartości funkcji [math]f[/math] na [math]K[/math]: [math] {\cal W}= \lbrace f(x):\; x\in K\rbrace [/math]. Niech [math]M[/math] będzie kresem górnym zbioru wartości funkcji na [math]K[/math]: [math]M={\rm sup}\, {\cal W}[/math]. Kres górny należy do domknięcia zbioru: [math]M\in \overline{ {\cal W}}[/math]. [math]\overline{ {\cal W}}[/math] jest domknięty, więc istnieje ciąg [math]\lbrace {x}_n \rbrace [/math] o wyrazach z [math]K[/math] taki, że [math]f(x_n) \stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow } M[/math]. [math]K[/math] jest zwarty, więc domknięty, więc istnieje podciąg [math]\lbrace x_{n_m}\rbrace [/math] ciągu [math]\lbrace {x}_n \rbrace [/math] , który to podciąg jest zbieżny do granicy należącej do [math]K[/math]:

   [math] f(\;\underbrace{{\displaystyle \mathop {\lim }_{{m}\rightarrow {\infty }} } x_{n_m} }_{x_{max}}\;) = {\displaystyle \mathop {\lim }_{{m}\rightarrow {\infty }} } f(x_{n_m}) = M. [/math]

   CBDO

Jednostajna ciągłość

Przypomnijmy sobie, co to znaczy, że funkcja od argumentu rzeczywistego jest jednostajnie ciągła. Dla odwzorowania definicja jest analogiczna:

[math](T \mbox{ jednostajnie ciągłe na } X) \Longleftrightarrow \left( \displaystyle \mathop \forall _{\epsilon \gt 0} \; \mathop \exists _{\delta \gt 0} \; \mathop \forall _{x,y\in X}\; (d(x,y)\lt \delta ) \Longrightarrow d(T(x),T(y))\lt \epsilon \right) [/math]

Teraz

Dowód

Przypuśćmy, że [math]f[/math] nie jest jednostajnie ciągła, tzn.

[math] \mathop \exists _{\epsilon \gt 0} \; \mathop \forall _{\delta \gt 0} \; \mathop \exists _{x,y\in X}\; (d(x,y)\lt \delta )\; \stackrel{\rm i}{\Longrightarrow }\; d(T(x),T(y))\ge \epsilon . [/math]

Weźmy [math]\delta =\frac{1}{n}[/math] i ciągi [math]\lbrace {x}_n \rbrace [/math] , [math]\lbrace {y}_n \rbrace [/math] o wyrazach z [math]X[/math] takie, że

[math] \left. \begin{array}{l} d(x_n,y_n)\lt \frac{1}{n} \\ d(f(x_n),f(y_n))\ge \epsilon .\;\;\;(\bullet \bullet ) \end{array} \right. [/math]

[math]K[/math] jest zwarty, więc można założyć, że [math]x_n \stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow } x_\infty \in K[/math].

Mamy:

[math] d(y_n, x_\infty )\le d(y_n, x_n) + d(x_n,x_\infty ) \stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow } 0 [/math]

Mamy więc: [math]y_n \stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow } x_\infty [/math]; oraz z ciągłości [math]f[/math]:

[math] \left. \begin{array}{c} f(x_n) \stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow } f(x_\infty )\\ f(y_n) \stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow } f(x_\infty ) \end{array} \right\rbrace \Longrightarrow d(f(x_n),f(y_n))\lt \epsilon . [/math]

Ale ostatnia nierówność jest sprzeczna z [math](\bullet \bullet )[/math].

CBDO