Fizyka I OO/Wykład VI

Pojęcia fizyczne wprowadzone na wykładzie

• wielkości charakteryzujące ruch harmoniczny prosty i ich zależność od czasu

Pokazy

1. Wahadło matematyczne, ciężarek na sprężynce obserwacja i analiza ruchu drgających ciał
2. Zależność [math]x(t)=A\sin\alpha t[/math] — rysunek rozsypanej kaszy na kartonie ciągniętym pod wahadłem matematycznym
3. Animacja komputerowa ruchu drgającego, stałość energii.

Ruch drgający harmoniczny

jest to ruch wywołany niezrównoważoną siłą, której wartość nie jest stała, ale zależy od wychylenia z położenia równowagi. Wahadło matematyczne, czyli kulka o niewielkich rozmiarach zawieszona na długiej nieważkiej i nierozciągliwej nitce porusza się takim ruchem. Aby rozpoczął się ruch należy, co oczywiste, wychylić kulkę z położenia, w którym równoważyła się siła ciężkości i siła naprężenia nitki, czyli z położenia równowagi. Niezrównoważoną siłą, która powoduje ruch wahadła matematycznego jest wypadkowa siły ciężkości i siły naprężenia nitki. Wartość tej siły wynosi [math]F=mg\sin\alpha[/math] i zmienia się w czasie ruchu, bo zmienia się kąt wychylenia nici. Dla małych kątów wartość sinusa można przybliżyć wartością kąta, więc siłę zapisujemy jako:

[math]\vec{F} = -mg \frac{\vec{x}}{l}[/math]

Znak "–" oznacza, że zwrot siły jest przeciwny do zwrotu wychylenia. Wartość tej siły jest wprost proporcjonalna do wychylenia x.

Drugi przykład

ruch ciężarka na sprężynce. W tym przypadku niezrównoważona siła jest siłą sprężystości odkształconej sprężyny. Jej wartość jest również proporcjonalna do wychylenia z położenia równowagi

[math] F = -\kappa x[/math]

[math]\kappa[/math] — współczynnik sprężystości sprężyny.

Oba ruchu charakteryzuje periodyczność. Wszystkie fazy ruchu okresowo powtarzają się. Czas jednego cyklu nazywa się okresem — T. Częstotliwość f — to liczba cykli w jednostce czasu:

[math] T=\frac{1}{f}[/math]

Definicja

Ogólnie mówimy, że

jeśli działa na ciało niezrównoważona siła proporcjonalna do wychylenia i jej zwrot jest przeciwny do zwrotu wektora przemieszczenia, to porusza się ono ruchem drgającym harmonicznym.

[math]F = -m\omega^2 x[/math]

m — masa ciała, [math]\omega[/math] — częstość kołowa — wielkość stała, która zależy od układu drgającego. Związana jest z częstotliwością f zależnością :

[math] \omega = 2\pi f[/math]

Zgodnie z II zasadą dynamiki [math] F=am[/math], gdzie m — masa ciała, a — przyspieszenie: [math] a = \frac{d^2 x}{dt^2}[/math] — jest drugą pochodną wychylenia x względem czasu, zatem równanie ma ogólną postać następującą:

[math]m\frac{d^2x}{dt^2} = -\omega^2 mx [/math]

Jest to równanie różniczkowe, którego rozwiązaniem jest funkcja [math]x=A \cos \omega t [/math]. Pochodna tej funkcji jest równa [math] - \omega \sin \omega t[/math], zatem prędkość, która jest pochodną wychylenia względem czasu wynosi:

[math] \frac{dx}{dt} = -A\omega \sin\omega t[/math]

Iloczyn [math] A\omega[/math] jest stałą, którą oznaczamy jako [math]v_0[/math]. Ma ona wartość maksymalnej prędkości. Znak „minus” oznacza, że zwrot prędkości jest przeciwny do wychylenia. Przyspieszenie jest pochodną prędkości względem czasu i jednocześnie drugą pochodną, (czyli pochodną pochodnej) wychylenia względem czasu.

Pochodna funkcji [math]\sin \omega t[/math] jest równa:

[math]\frac{d(\sin\omega t)}{dt} = \omega \cos\omega t [/math]

Przyspieszenie

[math] s = \frac{dv}{dt} = -\omega v_0 \cos\omega t = -A\omega^2 \cos\omega t [/math]

Widać, że

[math] a = -\omega^2 x[/math]

a jeśli obie strony pomnoży się przez masę m, to uzyskamy:

[math] ma = -\omega^2 x[/math],

Powyższe równanie jest równaniem, które usiłowaliśmy rozwiązać, a uzyskany rezultat pozwala stwierdzić, że rozwiązanie [math]x= A\cos\omega t[/math] jest prawidłowe.

Podsumowując, zapiszmy trzy podstawowe zależności dla ruchu drgającego:

[math] x = A \cos\omega t[/math]

[math] v = -v_0 \sin \omega t[/math]

[math] a = -a_0 \cos\omega t[/math]

Energia kinetyczna w ruchu drgającym wyraża się wzorem:

[math] E_p = \frac{kA^2 \cos^2 \omega t}{2}[/math]

i zmienia się z czasem jak funkcja cosinus kwadrat. W czasie ruchu zamienia się ona na energię potencjalną. W omawianych przykładach jest to energia potencjalna grawitacji lub sprężystości. Gdy nie ma tarcia, suma energii potencjalnej i kinetycznej jest stała.