Fizyka I OO/Wykład VII

Pojęcia fizyczne wprowadzone na wykładzie

• składanie ruchów harmonicznych, tłumienie drgań
• zjawisko rezonansu

Pokazy

1. Składanie drgań — laser, dwa drgające lusterka
2. Rozkładanie drgań — ruch cienia kulki krążącej po okręgu
3. Rezonans wahadeł matematycznych
4. Program komputerowy — symulacja składania drgań

Energia oscylatora harmonicznego nietłumionego

Z ruchem drgającym, jak z każdym ruchem związana jest energia kinetyczna. Ponieważ wiemy, że prędkość [math]v=v_0\sin\omega t[/math], więc energię kinetyczną wyrazimy jako:

[math]E_k = \frac{mv^2}{2} = \frac{mv_0^2\sin^2\omega t}{2}[/math]

Energia zależy od czasu i zmienia się od wartości maksymalnej [math]\frac{m v_0^2}{2}[/math] do zera. Jeśli tak, to w układzie drgającym musi istnieć jeszcze inny rodzaj energii, której wartość również będzie się zmieniać. W przypadku wahadła matematycznego jest to energia potencjalna grawitacji. W chwili maksymalnego odchylenia przyjmuje ona wartość największą. Energia kinetyczna jest wtedy równa zeru. W momencie przechodzenia przez położenie równowagi energia potencjalna (względem tego poziomu odniesienia) jest równa zeru, a energia kinetyczna ma wartość maksymalną.

Energia w ruchu ciała o masie m przymocowanego do sprężynki o współczynniku sprężystości [math]\kappa[/math] również jest funkcją czasu.

[math]E_p = \frac{\kappa A^2\cos^2\omega t}{2}[/math]

Całkowita energia ciężarka na sprężynie wyraża się wzorem:

[math] E = E_p +E_k = \frac{\kappa A^2 \cos^2\omega t }{2}+\frac{mv_0^2 \sin^2\omega t }{2} [/math]

i jest stała w czasie.

Równanie oscylatora z tłumieniem oraz periodyczną siłą wymuszająca

[math] x\frac{d^2x}{dt^2} = -\omega_0^2 xm - b\frac{dx}{dt} +F_0 \cos\Omega t[/math],

gdzie:

• b — współczynnik tłumienia
• [math]\Omega[/math] — częstość kołowa siły wymuszającej

Rozwiązaniem tego równania jest funkcja:

[math]\begin{array}{l} x = \frac{F_0}{G}\cos\left(\omega t -\delta\right)\\ G = \sqrt{m^2\left(\Omega^2 - \omega_0^2\right)^2+b^2\Omega^2}\\ \cos\delta = \frac{b\Omega}{G} \end{array} [/math]

Amplituda osiąga wartość maksymalną gdy współczynnik oporu b dąży do zera, a częstość kołowa siły wymuszającej jest równa częstości własnej układu drgającego. Takie wzbudzenie układu nazywa się rezonansem. Następuje wtedy maksymalne, efektywne przekazania energii pomiędzy układem drgającym a siła wymuszającą drgania.

Składanie i analiza drgań w dwóch wymiarach

(wykorzystanie programu komputerowego do symulacji zjawiska)

Ogólna postać drgań na płaszczyźnie w kierunkach wzajemnie prostopadłych:

[math]x=A_1\cos(\omega t +\phi_1)[/math]

[math]y = A_2\cos(\omega t +\phi_2)[/math]

Analiza następujących przypadków:

1. [math] \phi = \phi_1-\phi_2 =0[/math] i [math] A = A_1=A_2[/math]
   [math]x=A\cos(\omega t )[/math]
   [math]y = A\cos(\omega t )[/math]
   [math] x = y[/math]
   Drgania harmoniczne wzdłuż prostej nachylonej pod kątem 45° do osi x.
2. [math] \phi = \phi_1-\phi_2 =\nicefrac{\pi}{2}[/math] i [math] A = A_1=A_2[/math]
   [math]x=A\cos(\omega t )[/math]
   [math]y = A\sin(\omega t )[/math]
   Po podniesieniu stronami do kwadratu i dodaniu otrzymujemy równanie okręgu o promieniu A.
   [math] x^2+y^2 = A^2[/math]
3. [math] \phi = \phi_1-\phi_2 =0[/math] i [math] A_1=2A_2[/math]
   [math]x=2A_2\cos(\omega t )[/math]
   [math]y = A_2\cos(\omega t )[/math]
   [math] x = 2 y[/math]
   Drgania wzdłuż prostej nachylonej do osi x pod kątem, którego tangens jest równy 0,5.
4. [math] \phi = \phi_1-\phi_2 =\nicefrac{\pi}{4}[/math] i [math] A = A_1=A_2[/math]
   [math]x=A\cos(\omega t )[/math]
   [math]y = A\cos\left(\omega t +\frac{\pi}{4} \right)[/math]
   Ruch punktu po elipsie, której oś wielka nachylona jest pod kątem 45° do osi x.