Fizyka I OO/Wykład IX
Pokazy
- Odbicie impulsu falowego na falownicy ze zmianą fazy.
- Pokazy w wanience do fal: fali płaskiej, kolistej, dyfrakcji, interferencji.
- Pokaz fali stojącej wzdłuż gumki modelarskiej.
Czoło fali
miejsce geometryczne punktów, w których faza ma taką samą wartość.
Fala płaska
fala w której czołem jest płaszczyzna prostopadła do kierunku rozchodzenia się fali. W przypadku omawianym na wykładzie kierunkiem tym jest oś ox. Linie, które w każdym punkcie są prostopadłe do powierzchni falowej nazywa się promieniami fali.
Fala kulista
czoło fali jest kulą.
Fala stojąca
powstaje w wyniku nałożenia się ( interferencji) fali padającej i odbitej. Zaburzenie nie przemieszcza się w ośrodku. Elementy ośrodka drgają wokół położenia równowagi z różną amplitudą zależną od położenia elementu.
[math] y_1= A\cos (kx-\omega t)[/math]
[math] y_2= A\cos (kx+\omega t-\phi)[/math] — równanie fali odbitej
[math] y_1+y_2= 2A \cos\frac{kx-\omega t+kx+\omega t-\phi}{2}\cos\frac{kx-\omega t-(kx+\omega t-\phi)}{2} = 2A\cos\left(kx+\nicefrac{\phi}{2}\right)\cos\left(\omega t-\nicefrac{\phi}{2}\right)[/math]
Zauważmy, że:
[math]2A\cos\left(kx+\nicefrac{\phi}{2}\right)=A'[/math] — amplituda fali stojącej zależna od x.
[math]\cos\left(\omega t-\nicefrac{\phi}{2}\right)[/math] — czynnik opisujący drgania harmoniczne.
[math] A' = 0[/math] — węzły fali stojącej.
[math] A' = 2A[/math] — strzałki fali stojącej.
Odległość między najbliższymi węzłami [math] x = x_1-x_2[/math].
[math]\left(kx_1+\nicefrac{\phi}{2}\right)-\left(kx_2-\nicefrac{\phi}{2}\right)=\pi[/math]
[math]k(x_1-x_2) = \pi[/math]
[math]\frac{2\pi}{\lambda} = \pi[/math] stąd [math] x = \frac{\lambda}{2}[/math]
W fali stojącej energia nie jest przenoszona, a raczej magazynowana w określonym obszarze.
Interferencja fal
przy założeniu, że amplitudy są różne, częstość własna taka sama.
[math] y = A_1\cos (kx-\omega t) +A_2\cos(kx-\omega t+\phi)[/math]
[math] = A_1\cos (kx-\omega t) +A_2\cos(kx-\omega t)\cos\phi -A_2\sin(kx-\omega t)\sin\phi[/math]
[math] = \cos(kx-\omega t )(A_1+A_2\cos\phi)-A_2\sin(kx-\omega t)\sin\phi[/math]
W powyższym wyprowadzeniu korzystamy ze wzoru [math] \cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta[/math]. Podstawiamy [math] b_1=(A_1+A_2\cos\phi)[/math] oraz [math] b_2=A_2\sin\phi[/math]. To są stałe niezależne od współrzędnej x ani od czasu. Zatem:
[math] y = b_1\cos(kx-\omega t) -b_2sin(kx-\omega t)[/math]
Kolejne podstawienia:
| [math]b_1=B\cos\chi[/math] | [math]b_2=B\sin\chi[/math] |
| [math]b_1^2=B^2\cos^2\chi[/math] | [math]b_2^2=B^2\sin^2\chi[/math] |
| [math] B = \sqrt{b_1^2+b_2^2}[/math] | [math]\tg\chi = \frac{b_2}{b_2}[/math] |
Zatem wynik dodawania dwóch funkcji falowych można teraz zapisać w postaci:
[math] y = B\left(\cos\chi\cos(kx-\omega t) - \sin\chi\sin(kx-\omega t)\right) = b\cos(kx-\omega t +\chi)[/math]
gdzie [math] B = \sqrt{(A_1+A_2\cos\phi)^2+A_2^2\sin^2\phi}[/math]
[math]\tg\chi = \frac{A_2\sin\phi}{A_1+A_2\cos\phi}[/math]
Fala wypadkowa jest sinusoidalna o takiej samej liczbie falowej i częstości kołowej. Amplituda tej fali i przesuniecie fazowe wyrażają się przez amplitudy i przesuniecie fazowe fal składowych.
Równanie falowe
Funkcje y(x,t) dwóch zmiennych, opisujące rozchodzenie się fali, w naszym przypadku była to fala płaska, są rozwiązaniem równań opisujących siły działające na element odkształconego ośrodka. Podobnie było, gdy opisywaliśmy ruch punktu materialnego.
Równanie ruchu typu [math] x(t) = vt +\frac{at^2}{2}[/math] jest rozwiązanie równania różniczkowego wyrażającego siły działające na ten punkt [math] m\frac{d^2x}{dt^2} = F_0[/math], gdy siła jest stała. Teraz sytuacja jest bardziej złożona.
Dla ustalenia uwagi załóżmy, że ośrodkiem odkształcanym jest lina. Jeśli nie rozchodzi się zaburzenie, to stan sznura opisuje funkcja stała: y(x) = const, y(t) = const.
Natomiast, gdy jest odkształcona równie ma postać:
[math]m\frac{\partial^2y}{\partial t^2} = k \frac{\partial^2y}{\partial x^2}[/math]
Lewa strona równania wyraża siłę. Aby zapisać prawą stronę równości, korzystamy z własności wykresów funkcji. Krzywa będąca wykresem funkcji jest wklęsła lub wypukła, jeśli jej druga pochodna jest różna od zera.
Załóżmy, że y(x) jest dwukrotnie różniczkowalna w przedziale (a,b).
Jeśli dla każdego [math] x\in (a,b)\ \frac{\partial^2y}{\partial x^2}\gt 0[/math], to krzywa y(x) jest wypukła, jeśli dla każdego [math] x\in (a,b)\ \frac{\partial^2y}{\partial x^2}[/math], to jest wklęsła. Ogólnie druga pochodna musi być różna od zera.
[math] \frac{m}{k} = \frac{2}{v^2}[/math]
Wynika to z wymiaru [math]\nicefrac m k [/math].
Sprawdzenie, że rozwiązaniem równania jest funkcja [math] y(x,t) = A\cos(kx-\omega t+\phi)[/math]:
[math]\frac{\partial y}{\partial x} = -kA\sin(kx-\omega t+\phi)[/math]
[math] \frac{\partial^2y}{\partial x^2} = -k^2 A \cos(kx-\omega t +\phi)[/math]
[math]\frac{\partial y}{\partial t} = A\omega \sin(kx-\omega t +\phi)[/math]
[math]\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = - A\omega^2 \cos(kx-wt +\phi)[/math]
Lewa strona jest równa prawej pod warunkiem prostego związku
[math]\frac{\omega^2}{k^2} = v^2[/math]
