Fizyka III/Fale na granicy ośrodków

W tym rozdziale zajmiemy się zagadnieniem padania fali na granicę dwóch ośrodków. Dla uproszczenia problemu ograniczmy rozważania do fal harmonicznych. Załóżmy, że w pierwszym ośrodku prędkość rozchodzenia się fali wynosi [math]v_1[/math], a w drugim ośrodku [math]v_2[/math]. Fala harmoniczna biegnie w pierwszy ośrodku i pada na granicę z drugim ośrodkiem. Doświadczenie „uczy”, że na granicy ośrodków „część” fali odbije się, a „część” przejdzie do ośrodka drugiego. Częstości fali padającej, odbitej i rozchodzącej się w drugim ośrodku są takie same. Dlatego falę odbitą i „przechodzącą” (rozchodzącą się w drugim ośrodku) możemy zapisać:

[math]\Psi_\mathrm{odb}(z,t)=B\cos(-k_1z-\omega t)\;[/math]

[math]\Psi_\mathrm{prz}(z,t)=C\cos(k_2z-\omega t)\;[/math],

gdzie:

[math]k_i=\frac{\omega}{v_i}[/math].

Ponieważ prędkości fal w obu ośrodkach są różne, to różne są również długości fal. Pojawia się pytanie jaka “część” fali odbija się na granicy ośrodków a jaka “część” przechodzi do drugiego ośrodka, czyli mówiąc w języku fizyki ile wynoszą amplitudy B i C? Odpowiedź na to pytanie znajdziemy na podstawie warunków jakie musi spełniać funkcja falowa na granicy ośrodków. Na ustalenia uwagi rozważmy przypadek dwóch strun połączonych w punkcie [math]z_0=0[/math] (patrz rysunek Figure 1).

Fala rozchodząca się w dwóch połączonych strunach.

W punkcie granicznym dwie struny są połączone na stałe, tzn. padająca fale nie powoduje rozerwania dwóch strun. W takim przypadku wychylenie struny z lewej strony (ośrodek 1) i z prawej strony (ośrodek 2) muszą być takie same, inaczej struny uległyby rozerwaniu. Podobnie prędkości obu strun w punkcie połączenia powinny być takie same. Ponadto, jeśli w punkcie połączenia nie ma żadnej skończonej masy punktowej, to składowe poprzeczne siły z lewej i prawej strony muszą być takie same. Tak więc w oparciu o warunek, że struny nie ulegną rozerwaniu w punkcie połączenia otrzymujemy następujące równości (tzw. warunki ciągłości):

[math]\Psi_\mathrm{pad}(z_0,t)+\Psi_\mathrm{odb}(z_0,t)=\Psi_\mathrm{prz}(z_0,t)\;[/math]

[math]\left(\frac{\partial \Psi_\mathrm{pad}(z,t)}{\partial t}\right)|_{z=z_0}+\left(\frac{\partial \Psi_\mathrm{odb}(z,t)}{\partial t}\right)|_{z=z_0}=\left(\frac{\partial \Psi_\mathrm{prz}(z,t)}{\partial t}\right)|_{z=z_0}[/math]

[math]F_{01}\left(\frac{\partial \Psi_\mathrm{pad}(z,t)}{\partial t}\right)|_{z=z_0}+F_{01}\left(\frac{\partial \Psi_\mathrm{odb}(z,t)}{\partial t}\right)|_{z=z_0}=F_{02}\left(\frac{\partial \Psi_\mathrm{prz}(z,t)}{\partial t}\right)|_{z=z_0}[/math]

gdzie [math]F_{0i}[/math] jest siłą naciągu i-tej struny. Analogiczne warunki otrzymujemy dla fali dźwiękowej padającej prostopadle na granicę dwóch ośrodków:

[math]\Psi_\mathrm{pad}(z_0,t)+\Psi_\mathrm{odb}(z_0,t)=\Psi_\mathrm{prz}(z_0,t)\;[/math]

[math]\left(\frac{\partial \Psi_\mathrm{pad}(z,t)}{\partial t}\right)|_{z=z_0}+\left(\frac{\partial \Psi_\mathrm{odb}(z,t)}{\partial t}\right)|_{z=z_0}=\left(\frac{\partial \Psi_\mathrm{prz}(z,t)}{\partial t}\right)|_{z=z_0}[/math]

[math]B_{1}\left(\frac{\partial \Psi_\mathrm{pad}(z,t)}{\partial t}\right)|_{z=z_0}+B_{1}\left(\frac{\partial \Psi_\mathrm{odb}(z,t)}{\partial t}\right)|_{z=z_0}=B_2\left(\frac{\partial \Psi_\mathrm{prz}(z,t)}{\partial t}\right)|_{z=z_0}[/math]

gdzie [math]B_i[/math] jest modułem ściśliwości w i-tym ośrodku.

Podstawiając postacie harmonicznej fali padającej, odbitej i przechodzącej do powyższych równości (oraz w przypadku strun zakładając, że obie struny mają taki sam przekrój poprzeczny) otrzymujemy:

[math]A+B=C\;[/math]

[math]-AZ_1+BZ_1=-CZ_2\;[/math]

gdzie [math]Z_i[/math] jest oporem falowym (impedancją) i-tego ośrodka.

Stąd łatwo wyprowadzamy wzór na amplitudowy współczynnik odbicia:

[math]r_{12}=\frac{B}{A}=\frac{Z_1-Z_2}{Z_1+Z_2}[/math]

oraz amplitudowy współczynnik transmisji:

[math]t_{12}=\frac{C}{A}=\frac{2Z_1}{Z_1+Z_2}[/math].

Zwróćmy uwagę, że jeśli dwa różne ośrodki mają taki sam opór falowy, to na ich granicy fala nie ulega odbiciu. Ponadto: jeśli [math]Z_2=0\rightarrow r_{12}=1\;[/math] oraz jeśli [math]Z_2\rightarrow\infty\Longrightarrow r_{12}\rightarrow -1,\ t_{12}\rightarrow 0[/math]. Pierwszy warunek odpowiada przypadkowi, gdy drugi ośrodek jest próżnią. A więc opisuje np. odbicie fali od swobodnego końca. Fala odbita ma amplitudę taka samą jak fala padająca. Drugi przypadek odpowiada sytuacji gdy koniec struny jest zamocowany na stałe. W tym przypadku amplituda fali odbitej ma wartość amplitudy fali padającej, ale fala odbita jest przesunięta w fazie o 180° względem fali padającej.

Powyższe współczynniki pozwalają opisać amplitudę fali odbitej i przechodzącej względem amplitudy fali padającej. Często używa się tzw. współczynników natężeniowych odbicia i transmisji. Współczynniki natężeniowe mówią, jaka część energii niesionej przez falę padającą pozostaje w ośrodku pierwszym (razem z falą odbitą) a jaka część przechodzi do ośrodka drugiego. Współczynniki te łatwo otrzymujemy ze wzorów na natężenie harmonicznej fali mechanicznej oraz korzystając z wyżej wyprowadzonych współczynników amplitudowych (dla kierunku padania fali prostopadłego do granicy ośrodków): Natężeniowy współczynnik odbicia:

[math]R=\frac{I_\mathrm{odb}}{I_\mathrm{pad}}=\frac{\frac 12 Z_1B^2\omega^2}{\frac 12 Z_1 A^2 \omega^2}=\left(\frac{Z_1-Z_2}{Z_1+Z_2}\right)^2[/math].

Natężeniowy współczynnik transmisji:

[math]T=\frac{I_\mathrm{prz}}{I_\mathrm{pad}}=\frac{\frac 12 Z_2C^2\omega^2}{\frac 12 Z_1 A^2 \omega^2}=\frac{4Z_1Z_2}{\left(Z_1+Z_2\right)^2}[/math].

Łatwo można sprawdzić, że: [math]R+T=1\;[/math], co oczywiście odpowiada zasadzie zachowania energii.