Fizyka III/Fale elektromagnetyczne w próżni

Rozważania rozpoczniemy od fal elektromagnetycznych w próżni. Dla próżni równania Maxwella w tzw. postaci różniczkowej są następujące:

[math]\mathrm{rot}\vec E = -\frac{\partial\vec B}{\partial t}[/math]

[math]\mathrm{div}\vec B = 0[/math]

[math]\mathrm{rot}\vec B =\mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial\vec E}{\partial t}[/math]

[math]\mathrm{div}\vec E = 0[/math],

gdzie E oznacza pole elektryczne, B indukcję pola magnetycznego a [math]\varepsilon_0[/math] i [math]\mu_0[/math] przenikalność elektryczną i magnetyczną.

Równanie pierwsze pokazuje, ze zmienne pole magnetyczne jest źródłem siły elektromotorycznej, natomiast równanie trzecie, że zmienne pole elektryczne jest źródłem pola magnetycznego. Dokonujemy następujących operacji matematycznych, liczymy:

[math]\mathrm{rot}\ \mathrm{rot}\vec{E} =-\frac\partial{\partial t}\mathrm{rot}\vec B =- \frac\partial{\partial t} \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial \vec E}{\partial t}[/math].

Korzystając z tożsamości [math]\mathrm{rot}\ \mathrm{rot}\vec{E}=\nabla\mathrm{div}\vec E-\Delta\vec E[/math] oraz z faktu [math]\mathrm{div}\vec E=0[/math] otrzymujemy klasyczne równanie falowe na pole elektryczne:

[math]\Delta\vec E = \frac 1{c^2}\frac{\partial^2\vec E}{\partial t^2}[/math].

Prędkość rozchodzenia się fali elektromagnetycznej c nazywamy prędkością światła. W próżni: [math]c=\frac 1\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}=\unit{299792458}{\frac ms}[/math].

Zwróćmy uwagę, że pole elektryczne jest wielkością wektorową, a zatem każda ze składowych pola elektrycznego spełnia klasyczne równanie falowe. Analogiczne równania otrzymujemy na wektor indukcji pola magnetycznego. Mamy więc w sumie sześć równań na składowe pola elektrycznego i pola magnetycznego. Okazuje się, te sześć składowych obu pól nie są niezależne. Przyjmijmy, że rozwiązanie równania falowego jest w postaci harmonicznej biegnącej fali płaskiej: [math]\vec E =\vec E_0\cos(\vec k\vec r -\omega t)[/math]. Korzystając z równania: [math]\mathrm{div}\vec E = \frac{\partial E_x}{\partial x} +\frac{\partial E_y}{\partial y}+ \frac{\partial E_z}{\partial z}=0[/math], otrzymujemy: [math](E_{0x}k_x+E_{0y}k_y+E_{0z}k_z)(-\sin(\vec k\vec r-\omega t))=0[/math].

Równanie to jest spełnione dla każdej chwili czasu co oznacza, że: [math]\vec E\cdot\vec k=0[/math] czyli [math]\vec E\bot \vec k[/math]. Analogicznie dla wektora indukcji pola magnetycznego: [math]\vec B\cdot\vec k=0\Longrightarrow \vec B\bot \vec k[/math]. To oznacza, że fala elektromagnetyczna jest falą poprzeczną. Wektory pola elektrycznego i indukcji pola magnetycznego są prostopadłe do kierunku rozchodzenia się fali.

Okazuje się, że istnieje również związek łączący pole elektryczne i magnetyczne. Korzystając z równania Maxwella oraz przyjmując, że (daleko od źródła)

[math]\vec E =\vec E_0\cos(\vec k\vec r -\omega t)\;[/math]

[math]\vec B =\vec B_0\cos(\vec k\vec r -\omega t)\;[/math]

otrzymujemy następująca zależność:

[math]\vec{B} = \frac 1\omega\left(\vec k\times\vec E\right)=\frac 1 c\left(\vec n\times\vec E\right)[/math]

[math]\vec n=\frac{\vec k}k[/math]

czyli:

[math]\vec B\bot \vec E[/math]

[math]B=\frac Ec[/math].

A zatem dla fali elektromagnetycznej w próżni wektory pola elektrycznego i indukcji pola magnetycznego są prostopadłe do siebie. Drgania wektorów obu pól odbywają się w fazie. Przykład biegnącej, harmonicznej fali elektromagnetycznej pokazano na rysunku Figure 1.

Elektromagnetyczna fala biegnąca.

Fale elektromagnetyczne, jak każde fale przenoszą energię. Korzystając ze wzoru na gęstość energii pola elektromagnetycznego: [math]\rho_E=\frac{\varepsilon_0\vec E^2}2+\frac{\vec B^2}{2\mu_0}[/math], łatwo można otrzymać zasadę zachowania energii w następującej postaci: [math]\frac{\partial\rho_E}{\partial t}+\frac 1{\mu_0}\mathrm{div}\left(\vec E\times\vec B\right)=-\vec E\vec j[/math].

Widzimy, że suma zmiany energii elektromagnetycznej na jednostkę czasu w pewnej objętości i energii wypływającej w jednostce czasu przez powierzchnię ograniczającą tę objętość jest równa wziętej ze znakiem minus pracy wykonanej w jednostce czasu przez pola nad źródłami w tej objętości. Wielkość [math]\vec S=\frac 1{\mu_0}\left(\vec E\times\vec B\right)[/math] nazywamy wektorem Poyntinga. Wektor ten ma sens szybkości przepływu energii przez jednostkę powierzchni, a więc wartość średnia wektora Poyntinga jest natężeniem fali elektromagnetycznej: [math]I=\langle S\rangle[/math]. Dla fali harmonicznej natężenie wynosi:

[math]I=\frac 1{mu_0}\langle EB\rangle=\frac 1{c\mu_0}\langle E^2\rangle = \frac 1{c\mu_0}\langle E^2_0\cos^2(\vec k\vec r -\omega t)\rangle = I= \frac 1{2c\mu_0} E_0^2[/math].

Dla punktowych źródeł emitujących fale izotropowo [math]I=\frac{P_\mathrm{zrodla}}{4\pi r^2}[/math]. Korzystając z wyprowadzonych wzorów policzmy jakie natężenie pola elektrycznego oraz indukcji pola magnetycznego zaobserwujemy na powierzchni Ziemi od satelity telekomunikacyjnego znajdującego się [math]r=\unit{100}{km}[/math] nad Ziemią i emitującego fale ze źródła o mocy [math]P_\mathrm{stacji} =\unit{50}{kW}[/math].

Natężenia promieniowania wynosi: [math]I=\frac{P_\mathrm{stacji}}{\frac 1 2 4\pi r^2}=\unit{7,96\times 10^{-7}}{\frac W{m^2}}[/math], stad otrzymujemy:

[math]E_0=\sqrt{2\mu_0 c I}=\unit{2,45\cdot 10^{-2}}{\frac Vm}[/math]

[math]B_0=\frac {E_0}c = \unit{8,17\cdot 10^{-11}}T[/math].

Wartość pola magnetycznego jest bardzo mała, dlatego w telekomunikacji wykorzystywana jest detekcja pola elektrycznego.

Fale elektromagnetyczne padając na obiekt wywierają ciśnienie. Wzór na ciśnienie promieniowania elektromagnetycznego [math]p_p[/math] (wzór wyprowadza się korzystając z faktu, że pęd „światła” jest równy energii podzielonej przez prędkość światła) jest następujący:

1. Jeśli światło jest całkowicie pochłaniane [math]p_p=\frac I c[/math],
2. Jeśli światło jest całkowicie odbijane: [math]p_p=\frac 2 c I[/math].

Ciśnienie promieniowania widoczne jest miedzy innymi w tworzeniu się dwóch warkoczy za kometa przechodzącą w pobliżu Słońca. Kiedy kometa przelatuje w pobliżu Słońca, z jej parującej lodowej powierzchni uwalniają się pył i naładowane cząstki. Wiatr słoneczny „ustawia” naładowane cząstki wzdłuż promienia od Słońca, natomiast drugi warkocz tworzy pył, który jest „odchylany” od orbity przez ciśnienie promieniowania (patrz rysunek Figure 2).

Kometa z dwoma warkoczami.

Podobnie jak dla fal dźwiękowych czy fal na strunie, również dla fal elektromagnetycznych z superpozycji dwóch fal biegnących w przeciwnych kierunkach otrzymujemy fale stojące, np.:

[math]E_y(x,t)=E_0\left[\cos(kx+\omega t)-\cos(kx-\omega t)\right]=-2E_0\sin(kx)\sin(\omega t )[/math]

[math]B_z(x,t)=B_0\left[-\cos(kx+\omega t)-\cos(kx-\omega t)\right]=-2B_0\cos(kx)\sin(\omega t )[/math]

Należy zwrócić uwagę, że dla fal stojących drgania wektora pola elektrycznego i wektora indukcji pola magnetycznego są przesunięte w fazie o 90°, podczas gdy dla fali biegnącej oba pola drgają z tą samą fazą. Elektromagnetyczne fale stojące o długości fali 12.2 cm wykorzystywane są w kuchenkach mikrofalowych.

Dla fal elektromagnetycznych musimy pamiętać, że pole elektryczne i magnetyczne są wielkościami wektorowymi. Jeśli drgania tych pól odbywają się w jednej płaszczyźnie to mówimy, że fala ma polaryzację liniową. Natomiast jeśli rzut wektora pola elektrycznego na płaszczyznę prostopadłą do kierunku rozchodzenia się fali zatacza okręgi, to mówimy o polaryzacji kołowej. W takim przypadku składowe pola opisane są następująco:

[math]E_x=E_0\cos(kz-\omega t)[/math]

[math]E_y=E_0\cos(kz-\omega t+\nicefrac \pi2)=E_0\sin(kz-\omega t)[/math]

Na rysunku Figure 3 pokazano falę spolaryzowaną kołowo. Rzuty końca wektora pola elektrycznego i indukcji pola magnetycznego zataczają okręgi.

Fala spolaryzowana kołowo.

Dla fal elektromagnetycznych występuje podobnie jak dla fal mechanicznych efekt Dopplera, ale należy mocno podkreślić, że jest to efekt relatywistyczny, związany z transformacją z jednego układu odniesienia do drugiego. Dla efektu Dopplera fal elektromagnetycznych zgodnie z teorią względności nie ma znaczenia czy źródło, czy obserwator jest w ruchu, istotna jest tylko prędkość względna. Załóżmy, że w jednym układzie odniesienia falę opisujemy następująco: [math]E(z,t)=E_0\cos(2\pi f_0(t-\nicefrac zc))[/math].

W drugim układzie, poruszającym się względem pierwszego z prędkością v, falę tę opisujemy: [math]E(z,t)=E_0\cos(2\pi f(t-\nicefrac zc))[/math]. Korzystając z transformacji Lorentza otrzymujemy: [math]E(z,t)=E_0\cos\left(2\pi f_0\left(\frac{t+(\nicefrac v{c^2})z}{\sqrt{1-\nicefrac {v^2}{c^2}}}- \frac{z+vt}{\sqrt{1-\nicefrac {v^2}{c^2}}}\right)\right)=E_0\cos\left(2\pi f_0\frac{1-\nicefrac vc}{ \sqrt{1-\nicefrac {v^2}{c^2}}}(t-\nicefrac zc)\right)[/math].

Stąd częstotliwość fali w drugim układzie odniesienia wynosi: [math]f'=f_0\frac{1-\nicefrac vc}{\sqrt{1-\nicefrac {v^2}{c^2}}}[/math].

Wzór ten jest dla źródła lub obserwatora oddalających się od siebie; jeśli źródło lub obserwator zbliżają się do siebie we wzorze trzeba zmienić znak prędkości v. Dla małych prędkości v, wzór na zmianę częstotliwości można uprościć do postaci: [math]f=f_0(1-\nicefrac vc+\ldots)[/math], a stąd: [math]\frac c\lambda= \frac{c}{\lambda_0}(1-\nicefrac vc)[/math] i [math]v=\frac{\Delta \lambda}\lambda c[/math].

Znając zmianę częstotliwości lub długości fali można wyznaczyć względną prędkość układów odniesienia. Efekt ten jest wykorzystywany w radarach policyjnych do wyznaczanie prędkości pojazdów oraz w astronomii do wyznaczania prędkości gwiazd lub galaktyk. Efekt Dopplera uwzględniany jest również w nawigacji satelitarnej GPS.

Jeśli źródło (lub obserwator) porusza się pod kątem θ w kierunku obserwatora (źródła): to obserwowana częstotliwość wynosi: [math]f=f_0\frac{\sqrt{1-\nicefrac {v^2}{c^2}}}{1+v\cos\nicefrac\theta c}[/math].

Efekt zmiany częstotliwości ma więc miejsce nawet w przypadku gdy kąt [math]\theta =\frac \pi2[/math] (tzw. poprzeczny efekt Dopplera). Efekt taki nie występuje w przypadku fal mechanicznych rozchodzących się w ośrodkach sprężystych.