Ćwiczenia 1.1

Sygnał jako wekotr

Jak to rozumieć?

W najprostszej wersji znanej ze szkoły wektory rozumiane są tak jak na tym rysunku:

Koncepcje wektora można uogólnić i rozumieć go jako uporządkowany ciąg liczb, czyli współrzędnych wektora:

Łatwo sobie wyobrazić, że tą koncepcję można uogólnić na dowolną liczbę współrzędnych (wymiarów). Wtedy trudniej jest przedstawić go w postaci strzałki, ale możemy przedstawić go np. tak, że kolejne współrzędne rysyjemy jako punkty na dwuwymiarowej płaszczyźnie (nr współrzędnej, wartość współrzędnej):

import pylab as py
import numpy as np

A = np.array([2,3])
py.subplot(2,1,1)
py.plot(A,'o')
py.xlim([-0.1, 1.1])
py.ylim([0,3.1])
py.ylabel('Wartość')

py.subplot(2,1,2)
py.stem(A)
py.xlim([-0.1, 1.1])
py.ylim([0,3.1])
py.ylabel('Wartość')
py.xlabel('Nr. próbki')
py.show()

Widać, że taka reprezentacja świetnie nadaje się do przedstawiania sygnałów dyskretnych (Sygnały ciągłe można rozumieć jako wektory w nieskończenie wymiarowej przestrzeni).

Polecenie

Przedstaw wektor [0,0,1,1,1,0,0,0,1,1,1,0,0)

Dodawanie sygnałów

Wektory dodajemy sumując wartości odpowiadających sobie współrzędnych np.:

(0,1) + (1,0) = (1,1)

Tak samododajemy sygnały: punkt po punkcie.

Proszę:

• dodać sygnały:
  • x1 = (1,2,2,1,3,2,1)
  • x2 = (2,1,2,1,2,1,2)
• wypisać wynik i zilustrować za pomocą subplotów i funkcji stem

• wygenerowa dwa sygnały sin próbkowane 1000Hz, o czasie trwania 1s, i częstościach odpowiednio 10 i 20 Hz
• zilustruj oba sygnały i wynik ich dodawania

Mnożenie przez liczbę

Mnożenie wektora przez liczbę (skalar) robimy mnożąc kazdą ze współrzędnych przez tą liczbę, np.:

5*(1, 2) = (5, 10).

Analogicznie mnożenie sygnału przez liczbę polega na pomnożeniu wartości każdej próbki przez tę liczbę.

• przedstaw przemnożenie sygnału [math]\sin(2 \pi 10 t)[/math] przez 5.

Iloczyn skalarny

Iloczyn skalarny liczymy mnożąc przez sibie odpowiadające sobie współrzędne i dodając powstałe iloczyny:

x1	-2	-2	2	-1	-2
x2	-1	-1	1	1	0
*	2	2	2	-1	0	x*y = 5

• Proszę zaimplementować to obliczenie za pomocą mnożenia i sumowania w pętli, a następnie za pomocą np.dot

Iloczyn skalarny jako miara podobieństwa

Przypomnijmy, że iloczyn skalarny można obliczyć tak:

[math]x \cdot y = |x| |y| \cos( \phi) [/math]

czyli:

[math]\frac{x}{|x|} \cdot \frac{y}{|y|} = \cos( \phi) [/math]

Widać, że po znormalizowaniu wektorów iloczyn skalarny jest równy [math]\cos[/math] kąta pomiędzy wektorami. Gdy wektory są ortogonalne to jest 0, jeśli są równoległe to jest 1, w pozostałych przypadkach ma wartości pomiędzy -1, a 1 . Jest to miara podobieństwa między wektorami.

• Znormalizuj, oblicz iloczyny skalarne i zilustruj wektory:
  • x1 = (-2 0 2 2 0 -2 -2 0 2 2)
  • x2 = (-2 0 1 2 0 -1 -2 0 1 2)

• Znormalizuj, oblicz iloczyny skalarne i zilustruj wektory:
  • x1 = (-2 0 2 2 0 -2 -2 0 2 2)
  • x2 = ( 1 2 0 -1 -2 0 1 2 0 -1)