FizykaI FMiN/Dynamika laws

Prawa ruchu: dynamika

Bezwładność

Bezwładność (inercja)

właściwość układu fizycznego (ciała) charakteryzująca jego podatność na zmiany stanu (ruchu)

(Encyklopedia PWN 1998)

Bezwładność przejawia się na dwa sposoby:

• dążenie układu do zachowania stanu, w którym się znajduje

dążenie ciał do pozostawania w spoczynku lub w ruchu

• "opór" stawiany przez układ, gdy próbujemy zmienić jego stan

np. gdy próbujemy wprawić w ruch lub zatrzymać ciało

I zasada dynamiki

Zasada bezwładności

Isaac Newton

I zasada dynamiki, inaczej zwana Zasadą bezwładności została sformułowana przez Isaaca Newtona w dziele: "Zasady matematyczne filozofii naturalnej" (1687) ( Philosophiae Naturalis Principia Mathematica)

"Każde ciało trwa w swym stanie spoczynku lub ruchu prostoliniowego i jednostajnego, jeśli siły przyłożone nie zmuszają ciała do zmiany tego stanu."

Zasada bezwładności w ujęciu Newtona ma dwie "wady":

• przyjmuje, że można zdefiniować bezwzględny spoczynek i ruch
• zakłada, że na ciało mogą nie działać żadne siły

Układ odniesienia

Newton zakładał istnienie "przestrzeń absolutna", która "pozostaje zawsza taka sama i nieruchoma"

[math]\Rightarrow[/math] "absolutnego" układu odniesienia

Dziś wiemy, że taki układ nie istnieje. Powstaje więc pytanie: względem jakiego układu spełniona jest I zasada dynamiki ?

Jeśli dwa układy poruszają się względem siebie z przyspieszeniem, I zasada dynamiki nie może być spełniona w obu z nich...

Ciało izolowane

Aby na ciało nie działały żadne siły musi być całkowicie odizolowane od wpływu innych ciał. Ale w realnym świecie bardzo trudno o taką "doskonałą" izolację.

Wszystkie znane nam siły makroskopowe maleją z odległością

[math]\Rightarrow[/math] ciało uznamy za izolowane jeśli będzie dostatecznie daleko od innych ciał.

Jednak aby zweryfikować zasadę bezwładności musimy mieć dwa ciała izolowane:

• ciało obserwowane i
• układ odniesienia (obserwatora).

Z jednej strony ciała te muszą być od siebie dostatecznie daleko, żeby wyeliminować wszelki wpływ, a z drugiej strony dostatecznie blisko, żeby możliwa była obserwacja.

Zauważmy też, że każda obserwacja jest związana z jakimś oddziaływaniem!

W rzeczywistym doświadczeniu nigdy nie spełnimy idealnych warunków izolacji ciała.

Ale możemy stworzyć warunki, w których oczekiwane odstępstwa będą bardzo bardzo małe...

Układ inercjalny

Układ w którym obowiązuje I zasada dynamiki nazywamy układem inercjalnym.

Jeśli istnieje jeden układ inercjalny to istnieje nieskończenie wiele układów inercjalnych!

Inercjalny będzie także każdy inny układ poruszający się względem niego z prędkością [math]\vec{V} = const[/math]

Zasada bezwładności jest równoważna z postulatem:

Istnieje układ inercjalny

Jaki układ możemy uznać za inercjalny ?

Wszystko zależy od rozważanego zagadnienia i dokładności pomiaru.

Na ogół wystarcza układ laboratoryjny, czyli układ zwiazany z Ziemią.

Niemniej, w przypadku precyzyjnych pomiarów możemy zaobserwować efekty związane z ruchem obrotowym Ziemi. Powodują one, że układ związany z powierzchnią Ziemi nie jest ściśle inercjalny.

W takiej sytuacji, a także w przypadku rozpatrywania ruch Księżyca lub satelitów Ziemi, lepszym wyborem jest układ odniesienia związany ze środkiem Ziemi. Ale i on nie jest ściśle inercjalny, bo Ziemia porusza się z przyspieszeniem dookoła Słońca. Także układ związany ze Słońcem nie jest ściśle inercjalny na skutek rotacji Galaktyki...

Układ odniesienia	Inercjalność ograniczona przez	Przyspieszenie
Powierzchnia Ziemi	Rotację Ziemi	[math]a_Z \approx 0.03 \; \frac{m}{s^2}[/math]
Środek Ziemi	Obieg wokół Słońca	[math]a_S \approx 0.006 \; \frac{m}{s^2}[/math]
Słońce	Rotację Galaktyki	[math]a_G \approx 0.000\; 000\; 000\; 3 \; \frac{m}{s^2}[/math]

II zasada dynamiki

II prawo Newtona

"Zmiana ruchu jest proporcjonalna do przyłożonej siły poruszającej i odbywa się w kierunku prostej, wzdłuż której siła jest przyłożona"

Zmiana ruchu ciała (w układzie inercjalnym) jest zawsze wynikiem oddziaływania otoczenia (innych ciał)!

Oddziaływanie to opisujemy ilościowo wprowadzając pojęcie siły

Siła jest wielkością wektorową (istotna jest nie tylko wartość, ale i kierunek zmiany ruchu).

Siły możemy porównywać ilościowo bez konieczności wprawiania ciał w ruch. Naogół wykorzystujemy przy tym I zasadę dynamiki (równowaga sił). Przykładem jest porównywanie ciężaru poprzez ważenie ciał, pomiar siły dynamometrem...

Ruch pod wpływem stałej siły

Rozważmy ciało P, na które działają kolejno różne siły [math]\vec{F}[/math] nadając mu różne przyspieszenia [math]\vec{a}[/math]

Dla uproszczenia wybierzmy układ odniesienia tak, że [math]\vec{r}(0) = \vec{v}(0) = 0[/math]. W takiej sytuacji ciało będzie się poruszać ruchem prostoliniowym, jednostajnie przyspieszonym

Zgodnie z II zasadą Newtona przyspieszenie jest proporcjonalne do działającej siły

[math] a \; = \; \frac{d^2 x }{d t^2} \; \sim \; F [/math]

Czas na pokonanie zadanej odległości L:

[math]L = \frac{a}{2} \; t_1^2 \; \Rightarrow \; t_1^2 = \frac{2L}{a} [/math]

Prędkość uzyskana przez ciało na końcu odcinka L:

[math] v_1 = \frac{2L}{t_1} \; \Rightarrow \; a = \frac{v_1^2}{2L} [/math]

Porównując uzyskane przez ciało prędkości możemy porównywać przyspieszenia, a stąd wnioskować o wartości siły.

Możemy wybrać jakąś siłę, jako jednostkową i w ten sposób ilościowo określić wartości pozostałych sił.

Doświadczenie potwierdza (pokaz na wykładzie), że prędkość uzyskiwana przez ciało rośnie jak pierwiastek przyłożonej siły (cztery razy większa siła nadaje dwa razy większą prędkość).

Masa bezwładna

Rozważmy sytuację, w której ustalona siła [math]\vec{F}[/math] diałając na różne ciała P nadaje im różne przyspieszenia [math]\vec{a}[/math].

Możemy wprowadzić współczynniki m, które określają stosunki przyspieszeń różnych ciał

[math] a_1 : a_2 : a_3 : \ldots \; = \; \frac{1}{m_1} : \frac{1}{m_2} : \frac{1}{m_3} : \ldots [/math]

Lub też:

[math] m_1 \; a_1 \; = \; m_2 \; a_2 \; = \; m_3 \; a_3 \; = \; \ldots [/math]

Doświadczenie potwierdza (pokaz na wykładzie), że stosunki przyspieszeń zależą od badanych ciał ale nie zależą od przyłożonej siły.

Możemy wybrać jakieś ciało i uznać je za "jednostkowe". Tak wybrane współczynkiki nazywamy masą bezwładną ciała.

m - masa bezwładna

Ruch harmoniczny

Pokaz

Wózek na torze powietrznym przyczepiony do sprężyny

Siła z jaką działa sprężyna zależy wyłącznie od położenia wózka

[math]F_x \; = \; - k \cdot x[/math]

Przyjmijmy, że położeniem równowagi jest [math]x=0[/math]

Jeśli w chwili początkowej ciało znajduje się w położeniu [math]x(0) = R [/math] i [math]v_x(0)=0[/math], wtedy jego ruch (run harmoniczny) opisany jest zależnością:

[math] x(t) \; = \; R \cdot \cos (\omega t) [/math]

[math] a(t) \; = \; - \omega^2 \cdot x(t) \qquad \omega = \frac{2 \pi}{T} [/math]

Mierząc okres drgań możemy więc wnioskować o przyspieszeniu ciała:

[math] a \; \sim \; T^{-2} [/math]

Zgodnie z drugą zasada dynamiki oczekujemy, że:

[math] a \; \sim \; \frac{1}{m} \; \Rightarrow \; T^2 \sim m[/math]

Wyniki pomiarów (pokaz na wykładzie; masa wózka zwiększana poprzez doczepianie odważników) potwierdzają, że kwadrat okresu drgań rośnie liniowo z masą.

Siła

Jednostką masy bezwładnej jest kilogram, 1 kg

Druga zasada dynamiki Newtona definiuje pojęcie siły (klasyczna definicja siły):

[math]\vec{F} \; = \; m \; \vec{a}[/math]

Jednostka siły: 1 niuton

[math]1 \; N\; = \; 1 \; kg \cdot 1 \; \frac{m}{s^2}[/math]

Druga zasada dynamiki jest:

• wnioskiem z doświadczeń
• definicją nowych wielkości: masy i siły

Zasada niezależności działania sił

Jeśli na ciało o masie [math]m[/math] działają dwie niezależne siły [math]F_1[/math] i [math]F_2[/math]:

[math] \left.\begin{array}{l} \vec{F}_1 = m \vec{a}_1 \\[5mm] \vec{F}_2 = m \vec{a}_2 \end{array}\right\} \; \Rightarrow \; \vec{F}_1 + \vec{F}_2 = m ( \vec{a}_1 + \vec{a}_2 ) [/math]

⇒ przyspieszenie wywołane przez siłę wypadkową jest równe sumie przyspieszeń

Zasada addytywności masy

Jeśli dwie siły działając na dwie masy wywołują równe przyspieszenie:

[math]\left. \begin{array}{l} \vec{F}_1 = m_1 \vec{a} \\[5mm] \vec{F}_2 = m_2 \vec{a} \end{array} \!\! \right\} \; \Rightarrow \; \vec{F}_1 + \vec{F}_2 = (m_1 + m_2) \vec{a} [/math]

⇒ siła wypadkowa w działani na całkowitą masę daje takie samo przyspieszenie

Masa jest wielkością addytywną: wypadkowa masa układu ciał równa jest sumie mas.

Uogólnienie

Druga zasada dynamiki Newtona w postaci "klasycznej"

[math]\vec{F} \; = \; m \; \vec{a}[/math]

ważna jest tylko dla ciał których masa jest stała [math]m \; = \; const[/math]

Możemy jednak uogólnić:

[math] \vec{F} \; = \; m \; \frac{d\vec{v}}{dt} \; \begin{array}{c} _{m=const} \\ = \\ ~ \end{array} \; \frac{d(m \vec{v})}{dt} \; = \; \frac{d\vec{p}}{dt} [/math]

gdzie [math]\vec{p} = m \vec{v}[/math] - pęd cząstki

Uogólniona zasada dynamiki:

[math]\vec{F} \; = \frac{d\vec{p}}{dt}[/math]

jest słuszna także dla ciał o zmieniającej się masie (np. rakieta) oraz w przypadku relatywistycznym (choć zmieni się definicja pędu ciała!).

Z powyższej zależności wynika, że zmiana pędu ciała pod wpływem działającej siły równa jest tzw. popędowi siły:

[math] \Delta \vec{p} \; = \; \int\limits_{\Delta t} \vec{F} \; dt [/math]

III zasada dynamiki

Zasada akcji i reakcji

Akcja i reakcja

"Każdemu działaniu towarzyszy równe i przeciwnie skierowane przeciwdziałanie.
Wzajemne oddziaływania dwóch ciał są zawsze równe sobie i skierowane przeciwnie."

[math] \vec{F}_{12} \; = \; - \vec{F}_{21} [/math]

Pokaz

Dwa wózki na torze połączone sprężyną

Siły akcji i reakcji są równe co do wartości.

Przyspieszenia są odwrotnie proporcjonalne do mas:

[math] \vec{F}_A \; = \; -\vec{F}_B [/math]

[math] m_A \; \vec{a}_A \; = \; - m_B \; \vec{a}_B [/math]

[math] a_A : a_B \; = \; \frac{1}{m_A} : \frac{1}{m_B} [/math]

Siły akcji i reakcji są przejawem oddziaływanie między dwoma ciałami
⇒ pary sił działające na różne ciała (!).

Przykład

Kula leżąca na stole stojącym na ziemi

Pary sił akcji-reakcji:

• nacisk kuli na stół - siła reakcji stołu
• nacisk stołu na podłogę - siła reakcji podłogi

ale także

• ciężar kuli - siła przyciągania Ziemi przez kulę
• ciężar stołu - siła przyciągania Ziemi przez stół

Poruszamy się także dzięki siłom reakcji...

Idąc, jadąc na rowerze czy wiosłując działamy siłą na ziemię (wodę) starając się ją odepchnąć. To siła reakcji powoduje nasz ruch!

Siła wyporu

Pokaz

Ciało zanurzone w cieczy traci na wadze...

[math]\Rightarrow[/math] Ciecz działa na ciało siłą wyporu

Ale ciecz w której ciało zanurzamy "przybiera" na wadze...

[math]\Rightarrow[/math] ciało działa na ciecz...

III zasada dynamiki mówi nam, że łączny ciężar cieczy i ciała musi pozostać niezmieniony...

Statyka

Ciało spoczywa, jeśli działające na niego siły równoważą się (I zasada dynamiki).

W przypadku ciała na równi, siła ciężkości równoważona jest przez siłę reakcji równi i napięcie sznurka:

[math] R \; = \; Q \cdot \cos \alpha [/math]

[math] N \; = \; Q \cdot \sin \alpha [/math]

Pomijamy tu siły tarcia, zakładamy też, że sznurek jest równoległy do równi.

Ciało spoczywa, jeśli działające na niego siły równoważą się.

Równowaga w pionie:

[math] Q \; = \; N_1 \sin \alpha \; + \; N_2 \sin \beta [/math]

Równowaga w poziomie:

[math] N_1 \cos \alpha \; = \; N_2 \cos \beta [/math]

Otrzymujemy:

[math] N_1 \; = \; \frac{Q \cos \beta }{\sin (\alpha + \beta)} [/math]

Dla [math]\beta = \alpha [/math]:

[math] N_1 \; = N_2 \; = \; \frac{Q }{2 \sin (\alpha)} [/math]

Nie jest możliwe naciągnięcie liny tak, by była dokładnie poziomo [math]\beta = \alpha = 0[/math]

Ruch

Jeśli ciało porusza się ruchem przyspieszonym to oznacza, że działające na niego siły NIE równoważą się!

W przypadku ciała na równi:

[math] R \; = \; Q \cdot \cos \alpha [/math]

[math] N \; \ne \; Q \cdot \sin \alpha [/math]

Równowaga sił zachowana jedynie na kierunku prostopadłym do równi!

Równania ruchu

Podstawowym zagadnieniem dynamiki jest rozwiązywanie równań ruchu, czyli określanie ruchu ciała ze znajomości działających na nie sił.

Postać ogólna

Siła działająca na ciało może zależeć od położenia i prędkości ciała oraz czasu

[math] \vec{F} \; = \; \vec{F}(\vec{r}, \vec{v}, t)[/math]

Podstawiając tą zależność do II zasady dynamiki otrzymujemy ogólną postać równania ruchu:

[math]\displaystyle m \; \frac{d^2 \vec{r}(t)}{dt^2} \; = \; \vec{F}(\vec{r}, \vec{v}, t)[/math]

Jest to w istocie układ trzech równań różniczkowych drugiego rzędu

[math] m ( \frac{d^2 x}{dt^2} , \frac{d^2 y}{dt^2} , \frac{d^2 z}{dt^2}) \; = \; (F_x, F_y, F_z)[/math]

Ogólne rozwiązanie ma sześć stałych całkowania:

[math] \vec{r} \; = \; \vec{r}\; (t,C_1, C_2, \ldots ,C_6)[/math]

Warunki początkowe

Aby ściśle określić ruch ciała musimy poza rozwiązaniem równań ruchu wyznaczyć wartości wolnych parametrów (w ogólnym przypadku sześciu)

Najczęściej dokonujemy tego określając warunki początkowe:

[math] \vec{r}_0 \; = \; \vec{r}\; (t_0) [/math]

[math] \vec{v}_0 \; = \; \vec{v}\; (t_0) [/math]

gdzie [math]t_0[/math] - wybrana "chwila początkowa"

W mechanice klasycznej obowiązuje "zasada przyczynowości": jeśli znamy równania ruchu oraz dokładnie poznamy warunki początkowe możemy jednoznacznie określić stan układu w przeszłości i w przyszłości.

Zachowanie obiektów mikroświata (np. cząstek elementarnych) nie jest jednak deterministyczne.

Granice stosowalności mechaniki klasycznej określa wartość stałej Plancka [math] h=6.626\cdot 10^{-34}\; J \cdot s [/math]

Przykład

W ogólnym przypadku siła sprężysta może być przedstawiona w postaci:

[math] \vec{F} \; = \; - k \; \vec{r}[/math]

Jest to więc siła centralna - działająca zawsze w kierunku środka układu (zawsze możemy tak wybrać), stara się przywrócić ciało do położenia równowagi.

Równanie ruchu sprowadza się do postaci:

[math] \frac{d^2\vec{r}}{dt^2} \; = \; - \omega^2 \; \vec{r} \; , \qquad \qquad \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} [/math]

⇒ oscylator harmoniczny.

Ogólne rozwiązanie równania ruchu:

[math] \vec{r}(t) \; = \; \vec{A} \cdot \cos \omega t \; + \; \vec{B} \cdot \sin \omega t [/math]

Wartości [math]\vec{A}[/math] i [math]\vec{B}[/math] możemy wyznaczyć z warunków początkowych:

[math]\vec{r}_0 = \vec{r}(0) \; = \; \vec{A} [/math]

[math] \vec{v}_0 = \vec{v}(0) \; = \; \omega \vec{B} [/math]

[math] \Rightarrow \; \vec{r}(t) \; = \; \vec{r}_0 \cdot \cos \omega t \; + \; \frac{\vec{v}_0}{\omega} \cdot \sin \omega t [/math]

Ruch jest płaski, odbywa się w płaszczyźnie wyznaczonej przez [math]\vec{r}_0[/math] i [math]\vec{v}_0[/math].

Torem ruchu w ogólnym przypadku jest elipsa.

W szczególnym przypadku torem ruchu może być:

• odcinek, jeśli [math]\vec{r}_0 || \vec{v}_0[/math] (albo [math]\vec{r}_0 = 0 [/math] albo [math]\vec{v}_0=0[/math])
• okrąg, jeśli [math]\vec{r}_0 \perp \vec{v}_0[/math] i [math]v_0 = \omega \cdot r_0[/math]

Więzy

Do tej pory rozważaliśmy ruch ciała, które może się przemieszczać
bez ograniczeń w całej trójwymiarowej przestrzeni - trzy stopnie swobody: [math]f[/math]=3.

W każdej chwili stan ciała opisuje sześć parametrów (dwa wektory: [math]\vec{r}[/math] i [math]\vec{v}[/math])

Powierzchnia więzów

Powierzchnia więzów

W wielu przypadkach ruch ciała jest jednak ograniczony [math]\Rightarrow[/math] cząstka nieswobodna

Ruch ciała może być na przykład ograniczony do zadanej powierzchni (np. powierzchnia stoku w przypadku narciarza, czy powierzchnia jeziora w przypadku łódki).

Ogólny warunek opisujący powierzchnie:

[math] h(x,y,z,t) \; = \; 0 [/math]

Dodatkowy warunek powoduje, że zamiast trzech mamy dwa stopnie swobody [math]f[/math]=2

⇒ rozwiązanie równań ruchu ma cztery parametry początkowe

Krzywa więzów

Krzywa więzów

Czasami ruch ciała jest ograniczony do zadanej krzywej w przestrzeni (np. wagon na torach, winda). Krzywą w przestrzeni możemy zawsze opisać porzez dwa warunki:

[math] h_1(x,y,z,t) \; = \; 0 [/math]

[math] h_2(x,y,z,t) \; = \; 0 [/math]

W zagadnieniu pozostaje więc jeden stopień swobody [math]f[/math]=1, a rozwiązanie równań ruchu ma dwa parametry początkowe.

Do równania ruchu musimy wprowadzić dodatkową siłę reakcji więzów

[math]\displaystyle m \; \frac{d^2 \vec{r}(t)}{dt^2} \; = \; \vec{F}(\vec{r}, \vec{v}, t) + \vec{F}_R[/math]

gdzie:

[math]\vec{F}(\vec{r}, \vec{v}, t)[/math] - siły zewnętrzne,

[math]\vec{F}_R[/math] - reakcja więzów

Przy braku oporów ruchu (więzy idealne) siła reakcji więzów jest zawsze prostopadła do powierzchni lub krzywej więzów!

Więzy mogą być stacjonarne ( skleronomiczne), niezależne od czasu:

[math] h(x,y,z) \; = \; 0 [/math]

lub zależne od czasu ( reonomiczne):

[math]h(x,y,z,t)\;=\;0[/math]

Przykład krzywej więzów: wahadło jednowymiarowe o długości l

Równania więzów:

[math] l^2 - x^2 - y^2 - z^2 \; = \; 0[/math] - sfera

[math] x \; = \; 0 [/math] - płaszczyzna

Wahadło

Wahadło matematyczne

Warunki narzucone przez więzy najłatwiej uwzględnić opisując położenie kulki przez kąt [math]\Theta[/math]:

[math] y = l \; \sin \Theta \; \; z = - l \; \cos \Theta [/math]

O sile reakcji [math]F_R(t)[/math] wiemy jedynie tyle, że działa wzdłuż nitki.

[math] \frac{d^2y}{dt^2} = -\frac{F_R}{m} \sin \Theta \; \; \frac{d^2z}{dt^2} = -g + \frac{F_R}{m} \cos \Theta [/math]

Wynika z tego, że przyspieszenie styczne nie zależy od [math]F_R[/math]:

[math] a_\Theta \equiv \cos \Theta \; \frac{d^2y}{dt^2} + \sin \Theta \; \frac{d^2z}{dt^2} \; = \; -g \cdot \sin \Theta [/math]

W przybliżeniu małych kątów ([math]\sin \theta \approx \theta[/math]) otrzymujemy więc:

[math] l \; \frac{d^2\Theta}{dt^2} \; = \; -g \cdot \Theta [/math]

Jest to równanie oscylatora harmonicznego

częstość wahań: [math]\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}[/math],

okres [math]T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}[/math]

Rozwiązanie równania oscylatora harmonicznego:

[math] \Theta(t) = \Theta_0 \cdot \cos (\omega t ) [/math]

Znając zależność wychylenia od czasu możemy wyznaczyć współrzędne:

[math] y = l \; \sin \Theta \qquad z = - l \; \cos \Theta [/math]

Z kolei siłę reakcji możemy wyznaczyć z równania ruchu w [math]z[/math]:

[math] \frac{dz}{dt} \; = \; l \sin \Theta \; \left[ - \Theta_0 \; \omega \sin ( \omega t) \right][/math]

[math] \frac{d^2 z}{d t^2} \; = \; l \omega^2 \; \cos \Theta \; \left[ \Theta_0\; \sin (\omega t ) \right]^2 - l \omega^2 \sin \Theta \; \Theta_0\; \cos (\omega t )[/math]

Otrzymujemy:

[math] F_R \; = \; \frac{m}{\cos \Theta} \left( \frac{d^2 z}{d t^2} + g \right) \; = \; mg \left[ \Theta_0^2 \; \sin^2 ( \omega t) - \tan \Theta \; \Theta_0\cos( \omega t) + \frac{1}{\cos\Theta} \right] [/math]

W przybliżeniu małych kątów: [math]\tan \Theta \approx \Theta[/math] i [math]\frac{1}{\cos\Theta} \approx 1 + \frac{1}{2}\Theta^2[/math]

[math] F_R \; = \; mg \left[ \Theta_0^2 \; \sin^2 ( \omega t) - \frac{1}{2}\Theta_0^2 \; \cos^2 ( \omega t) + 1 \right] [/math]

Podstawiając zależność wychylenia [math]\Theta[/math] od czasu otrzymujemy ostatecznie:

[math] F_R(\Theta) \; = \; mg \left[ 1 + \Theta_0^2 - \frac{3}{2} \Theta^2(t) \right] [/math]

Uzyskana zależność przedstawiona jest poniżej dla kilku wybranych wartości wychylenia początkowego. Jak widać, naprężenie jest największe dla [math]\Theta=0[/math], w chwili przechodzenia wahadła przez położenie równowagi.