Funkcje trygonometryczne

Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym

Oznaczenia boków i kątów trójkąta prostokątnego użyte w definicjach

Sinus

Sinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek przyprostokątnej przeciwległej danemu kątowi do przeciwprostokątnej:

[math] \sin\alpha = \frac{a}{c}\; [/math]

Kosinus

Kosinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek przyprostokątnej przyległej do danego kąta do przeciwprostokątnej:

[math] \cos\alpha = \frac{b}{c}\; [/math]

Tangens

Tangensem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek przyprostokątnej przeciwległej danemu kątowi do przyprostokątnej przyległej do danego kąta:

[math] \mathrm{tg}\,\alpha = \frac{a}{b}\; [/math]

Kotangens

Kotangensem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek przyprostokątnej przyległej do danego kąta do przyprostokątnej przeciwległej danemu kątowi:

[math] \mathrm{ctg}\,\alpha = \frac{b}{a} = \frac{1}{\mathrm{tg}\, x}\; [/math]

Uwaga

Czasem, choć rzadko, używa się też funkcji sekans i kosekans. Są one definiowane jako:

• [math]{\rm sec}\,\alpha = \frac{1}{\sin\alpha}\;[/math]
• [math]{\rm \mathop{cosec}}\,\alpha = \frac{1}{\cos\alpha}\;[/math].

Miara łukowa kąta

Def. 1 radian (1 rad) jest to miara kąta opartego na łuku, którego długość jest równa długości promienia okręgu. Mamy więc proste wzory na zamianę miary kąta w stopniach [math]\alpha_s\;[/math] na miarę łukową [math]\alpha_r\;[/math]:

[math] \alpha_r =\frac{\pi\alpha_s}{180},\; [/math] [math] \alpha_s=\frac{180\, \alpha_r}{\pi}\; [/math]

W szczególności: [math]180^o=\pi \;[/math] (rad); [math]90^o=\frac{\pi}{2}\;[/math]; [math]60^o=\frac{\pi}{3}\;[/math]; [math]30^o=\frac{\pi}{6}\;[/math] (podając kąt w mierze łukowej, często się już nie podaje że jest on mierzony w radianach).

Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta

Mając zdefiniowane funkcje trygonometryczne dla dowolnego kąta [math]\alpha\in [0, \frac{\pi}{2}[\;[/math], łatwo rozszerzyć te definicje na dowolny inny kąt. Robi się to tak:

Niech [math]\alpha\;[/math] będzie kątem skierowanym umieszczonym w ukł wsp. tak, że jego początkowe ramię pokrywa się z dodatnią półosią [math]OX\;[/math], a końcowym ramieniem jest półprosta o początku w punkcie [math](0,0)\;[/math]. Na końcowym ramieniu wybieramy dowolny punkt [math]P = (x,y)\;[/math], różny od punktu [math](0,0)\;[/math].

Funkcje trygonometryczne kąta [math]\alpha\;[/math] definiujemy w sposób następujący:

[math] \sin\alpha = \frac{y}{r}, \;[/math] [math] \cos\alpha = \frac{x}{r},\; [/math]

gdzie [math]r\;[/math] jest odległością punktu [math]P\;[/math] od punktu [math](0,0)\;[/math],zaś [math]r=\sqrt{x^2+y^2}\;[/math].

[math] \mathrm{tg}\,\alpha = \frac{x}{y}, x\ne 0, {\rm wiec}\; \alpha\ne \frac{\pi}{2} + k\pi, \; k\in \mathbb Z \;[/math] [math] \mathrm{ctg}\,\alpha = \frac{y}{x}, x\ne 0, {\rm wiec}\; \alpha\ne k\pi, k\in \mathbb Z \;[/math]

Znaki funkcji trygonometrycznych w poszczególnych ćwiartkach układu współrzędnych

"W pierwszej wszystkie są dodatnie,
 W drugiej tylko sinus, 
 W trzeciej tangens i kotangens, 
 A w czwartej kosinus".

Wartości funkcji trygonometrycznych dla niektórych wartości kątów

stopnie	[math]0^\circ\;\;[/math]	[math]30^\circ\;\;[/math]	[math]45^\circ\;\;[/math]	[math]60^\circ\;\;[/math]	[math]90^\circ\;\;[/math]
[math]\sin\;\;[/math]	[math]0\;\;[/math]	[math] \tfrac{1}{2} \;[/math]	[math] \tfrac{\sqrt{2}}{2} \;[/math]	[math] \tfrac{\sqrt{3}}{2} \;[/math]	[math]1\;\;[/math]
[math]\cos\;\;[/math]	[math]1\;\;[/math]	[math] \tfrac{\sqrt{3}}{2} \;[/math]	[math] \tfrac{\sqrt{2}}{2} \;[/math]	[math] \tfrac{1}{2} \;[/math]	[math]0\;\;[/math]
[math]\mathrm{tg}\;\;[/math]	[math]0\;\;[/math]	[math] \tfrac{\sqrt{3}}{3} \;[/math]	[math]1\;\;[/math]	[math] \sqrt{3} \;[/math]	NI
[math]\mathrm{ctg}\;\;[/math]	NI	[math] \sqrt{3} \;[/math]	[math]1\;\;[/math]	[math] \tfrac{\sqrt{3}}{3} \;[/math]	[math]0\;\;[/math]
[math]\sec\;\;[/math]	[math]1\;\;[/math]	[math] \tfrac{2\sqrt{3}}{3} \;[/math]	[math] \sqrt{2} \;[/math]	[math]2\;\;[/math]	NI
[math]\csc\;\;[/math]	NI	[math]2\;\;[/math]	[math]\sqrt{2}\;[/math]	[math] \tfrac{2\sqrt{3}}{3} \;[/math]	[math]1\;\;[/math]

Wykresy funkcji sinus i cosinus.

Parzystość i nieparzystość funkcji trygonometrycznych

• Funkcja [math]f(x)=\cos(x)\;[/math] jest parzysta: [math]\cos(-x) = \cos(x)\;[/math] [math]\forall_{x\in\mathbb R}\;[/math]
• Funkcja [math]f(x)=\sin(x)\;[/math] jest nieparzysta: [math]\sin(-x) = \sin(x)\;[/math] [math]\forall_{x\in\mathbb R}\;[/math]
• Funkcja [math]f(x)=\mathrm{tg}(x)\;[/math] jest nieparzysta: [math]\mathrm{tg}(-x) = -\mathrm{tg}(x)\;[/math] [math]\forall_{x\in D_f}\;[/math]
• Funkcja [math]f(x)=\mathrm{ctg}(x)\;[/math] jest nieparzysta: [math]\mathrm{ctg}(-x) = \mathrm{ctg}(x)\;[/math] [math]\forall_{x\in D_f}\;[/math]

Okresowość funkcji trygonometrycznych

• Okresem podstawowym funkcji [math]y=\sin x\;[/math] oraz [math]y=\cos x\;[/math] jest [math]2\pi\;[/math]:
  Zachodzi: [math]\sin(x+2k\pi)=\sin(x)\;[/math] oraz [math]\cos(x+2k\pi)=\cos(x)\;[/math] [math]\forall_{x\in\mathbb R}, \forall_{k\in\mathbb Z}\;[/math].
• Okresem podstawowym funkcji [math]y=\mathrm{tg}\, x\;[/math] oraz [math]y=\mathrm{ctg}\, x\;[/math] jest [math]\pi\;[/math]:
  Zachodzi: [math]\mathrm{tg}(x+k\pi)=\mathrm{tg}(x)\;[/math] oraz [math]\mathrm{ctg}(x+k\pi)=\mathrm{ctg}(x)\;[/math] [math]\forall_{x\in D_f}, \forall_{k\in\mathbb Z}\;[/math].

Związki pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta, tzn. tożsamości trygonometryczne

• [math]\sin^2\alpha + \cos^2\alpha=1 \,\;[/math] [math]\forall_{\alpha\in\mathbb R}\;[/math] — jest to tzw. jedynka trygonometryczna;
• [math]\mathrm{tg}\,\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha},\;\; \alpha\ne \frac{\pi}{2}+ k\pi,\; k\in\mathbb Z\;[/math];
• [math]\mathrm{ctg}\,\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha},\;\; \alpha\ne k\pi,\; k\in\mathbb Z\;[/math];
• [math]\mathrm{tg}\,\alpha\,\mathrm{ctg}\,\alpha = 1,\;\; \alpha\ne \frac{k\pi}{2},\; k\in\mathbb Z\;[/math]

Przy użyciu tych tożsamości trygonometrycznych można udowodnić wiele innych — zależnie od potrzeby.

Związki pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi różnych kątów

Dla dowolnych kątów [math]\alpha,\beta\;[/math] zachodzą związki:

• [math]\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha \, \cos\beta + \cos\alpha\, \sin\beta\;[/math]
• [math]\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha \, \cos\beta - \sin\alpha \, \sin\beta\;[/math]

Dow. Wynikają z nich, po przyjęciu [math]\alpha=\beta\;[/math], związki na funkcje trygonometryczne podwojonego kąta

[math]\sin 2 \alpha = 2 \sin\alpha\, \cos\alpha,\;[/math]

[math]\cos 2 \alpha = \cos^2\alpha-\sin^2\alpha\;[/math]

oraz połówkowego kąta:

[math] \sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}},\ \cos\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}\;[/math]

Wzory redukcyjne na sprowadzanie kąta do pierwszej ćwiartki

Okresowość funkcji trygonometrycznych oraz wzory na sumę kątów pozwalają sprowadzić dowolny argument funkcji trygonometrycznej do I. ćwiartki.

Przykład

[math] \sin(270^\circ+\alpha) = \sin 270^\circ \cos \alpha + \cos 270^\circ \sin\alpha =-\cos\alpha;\;[/math] [math] \cos(180^\circ-\alpha) = \cos 180^\circ \cos(-al) - \sin 180^\circ \sin(-\alpha) = - \cos(-\alpha)=-\cos\alpha\;[/math]

Funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych

Z uwagi na okresowość funkcji trygonometrycznych, nie można zdefiniować funkcji odwrotnych do nich dla wszystkich argumentów. Funkcję odwrotną do [math]f\;[/math] można zdefiniować dla tych argumentów, dla których [math]f\;[/math] jest wzajemnie jednoznaczna.

Weźmy funkcję [math]f(x)=\sin x\;[/math] (+ zbiory, pomiędzy którymi [math]f\;[/math] działa). Patrząc na wykres [math]y=f(x)=\sin x\;[/math], widać, że [math]f:X\to Y\;[/math] jest funkcją wzajemnie jednoznaczną, jeśli za zbiór argumentów weźmiemy [math]X=\left [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right ]\;[/math], zaś za zbiór wartości [math]Y=[-1,1]\;[/math].

Funkcję odwrotną [math]\sin^{-1}(\cdot)\;[/math] do funkcji [math]\sin(\cdot)\;[/math] nazywamy [math]\arcsin(\cdot)\;[/math] i definiujemy — zgodnie z definicją funkcji odwrotnej — jako: Jeśli [math]y=\sin(x)\;[/math], to [math]x=\sin^{-1}(y)=\arcsin(y)\;[/math].

Uwaga

Wzajemna jednoznaczność [math]\sin:\;[/math] [math]X\to Y\;[/math] ma miejsce także w innych sytuacjach, np. "X niestandardowy": [math]X_{ns}=\left [\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right ]\;[/math], [math]Y=[-1,1]\;[/math], i zdefiniować funkcję [math]\arcsin_{ns}: [-1,1]\to \left [ \frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right ]\;[/math]. Standardowa umowa mówi, że za [math]X\;[/math] bierze się [math]X=\left [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right ]\;[/math].

Funkcja odwrotna do sinusa

Ostatecznie (aby oswoić z różnymi notacjami):

Def. Dla funkcji [math]\sin(\cdot)\;[/math]: [math]\left [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right ] \stackrel{\sin}{\to} [-1,1]\;[/math] definiujemy odwrotną do niej funkcję [math]\arcsin(\cdot)\;[/math]: [math][-1,1] \stackrel{\arcsin}{\to} \left [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right ] \;[/math] jako: Jeśli [math]y=\sin(x)\;[/math], to [math]x=\arcsin(y)\;[/math] (więc np. [math]\arcsin(1)=\frac{\pi}{2}, \arcsin(\frac{1}{2})=\frac{\pi}{6}\;[/math] itd.).

Wykres funkcji [math]\arcsin\;[/math]

— zgodnie z ogólną reguła uzyskiwania wykresów funkcji odwrotnych — otrzymuje się z wykresu [math]\sin\;[/math] przez zamianę osi lub równoważnie przez symetrię względem osi [math]y=x\;[/math].

Funkcje odwrotne dla innych funkcji trygonometrycznych

Def. Dla funkcji [math]\cos(\cdot)\;[/math]: [math][-[0,\pi] \stackrel{\cos}{\to} [-1,1]\;[/math] definiujemy odwrotną do niej funkcję [math]\arccos(\cdot)\;[/math]: [math][-1,1] \stackrel{\arcsin}{\to} [0,\pi] \;[/math] jako: Jeśli [math]y=\cos(x)\;[/math], to [math]x=\arccos(y)\;[/math].

Def. Dla funkcji [math]\tg(\cdot)\;[/math]: [math]\left ]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right [ \stackrel{\tg}{\to} \left ]-\infty,\infty \right [\;[/math] definiujemy odwrotną do niej funkcję [math]{\rm \mathop{arctg}}(\cdot)\;[/math]: [math] \left ]-\infty,\infty \right [ \stackrel{\rm \mathop{arctg}}{\to} \left ]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right[ \;[/math] jako: Jeśli [math]y=\tg(x)\;[/math] ,to [math]x={\rm \mathop{arctg}}(y)\;[/math].

Biegunowy układ współrzędnych

Punkt na płaszczyźnie można zaznaczyć, zadając układ współrzędnych i pisząc współrzędne punktu [math]p\;[/math] (w tym układzie są to też składowe wektora [math]\vec{OP}\;[/math]).

Do wyznaczenia położenia punktu na płaszczyźnie można jednak użyć innego układu współrzędnych. Jeżeli zamiast [math](x,y)\;[/math] wprowadzimy [math]r,\phi\;[/math] przez

Biegunowy układ współrzędnych

[math] x=\cos \phi, \;\;\;\;\; y=\sin\phi\; [/math]

(lub na odwrót: [math]r=\sqrt{x^2+y^2},\; \phi = {\rm \mathop{arctg}}\frac{y}{x}\;[/math]), to jest to równie dobry układ współrzędnych co [math](x,y)\;[/math]: Każdemu punktowi płaszczyzny odpowiada dokładnie jedna para liczb [math](r,\phi)\;[/math] oraz na odwrót: Każdej parze [math](r,\phi)\;[/math] odpowiada dokładnie jeden punkt płaszczyzny. (jest jeden WYJĄTEK: punkt [math](0,0)\;[/math], gdzie kąt [math]\phi\;[/math] nie jest określony).

Jedną z większych sztuk w matematyce (i fizyce) jest dobór odpowiedniego układu współrzędnych.

Gdy się go odpowiednio (do zagadnienia) dobierze, to problem często znacznie się upraszcza lub nawet trywializuje.

Przykłady

1. Równanie okręgu (o środku w [math](0,0)\;[/math] i promieniu [math]R\;[/math]) ma we współrzędnych kartezjańskich postać [math] x^2+y^2=R^2 \;[/math]

   zaś we współrzędnych biegunowych

   [math] r=R, \;\;\;\;\; \phi - {\rm dowolne.} \;[/math]
2. 

   Rysunek kardioidy dla a=0.9

   Rozważmy krzywą (kardioidę)

   [math] (x^2+y^2 + 2a x)^2=4a^2(x^2+y^2), \;\;\; a\gt 0 \;[/math]

   Analiza we współrzędnych kartezjańskich, aczkolwiek możliwa, jest dość uciążliwa. We współrzędnych biegunowych badanie jest o wiele łatwiejsze i krzywą można narysować "od ręki".

   [math] r=a(1+ \cos\phi) \;[/math]
3. Rozważmy krzywą (lemniskata Bernoulliego) [math] (x^2+y^2)^2=2a^2(x^2-y^2), \;\;\; a\gt 0 \;[/math]
   Rysunek wykres leminiskaty Bernoulliego dla a=3

   Można ją wykreślić we współrzędnych kartezjańskich, aczkolwiek jest to dość pracochłonne. We współrzędnych biegunowych ma ona o wiele dogodniejszą do analizy postać:

   [math] r^2=2a^2 \cos 2 \phi \;[/math]

Twierdzenie kosinusów

Rozpatrzmy trójkąt o bokach długości [math]a,b,c\;[/math], gdzie kąt między bokami [math]a\;[/math] i [math]b\;[/math] wynosi [math]\alpha\;[/math]. Ma miejsce następujące uogólnienie twierdzenia Pitagorasa, zwane twierdzeniem kosinusów:

Zachodzi:

[math] c^2=a^2+b^2-2 a b \cos \alpha. \;[/math]

Ilustracja twierdzenia kosinusów

Twierdzenie sinusów

Rozpatrzmy trójkąt o bokach [math]a,b,c\;[/math] oraz kątach: [math]\alpha\;[/math] — naprzeciw boku [math]a\;[/math] (tzn. kąt pomiędzy bokami [math]b\;[/math] i [math]c\;[/math]); [math]\beta\;[/math] — naprzeciw boku [math]b\;[/math]; [math]\gamma\;[/math] — naprzeciw boku [math]c\;[/math]. Między długościami boków [math]a,b,c\;[/math] a kątami [math]\alpha,\beta, \gamma\;[/math] zachodzą następujące związki, zwane twierdzeniem sinusów:

Zachodzą równości:

Trójkąt.

[math] \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R, \;[/math]

gdzie [math]R\;[/math] — promień okręgu opisanego na trójkącie.