Matematyka 1 OO/Elementy rachunku macierzowego

Zadanie

Dane są macierze:

[math] A= \left[ \begin{array}{rrr} 1&0&5\\ 3&4&2 \end{array} \right] \qquad B= \left[ \begin{array}{r} 2\\4\\-1 \end{array} \right] \qquad C= \left[ \begin{array}{rr} 0&5\\ 2&-2 \end{array} \right] \qquad D= \left[ \begin{array}{rr} 1&3\\ 0&4 \end{array} \right] [/math]

Obliczyć ich następujące kombinacje:

Zadanie

[math] 2A=2\cdot \left[ \begin{array}{rrr} 1&0&5\\ 3&4&2 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rrr} 2&0&10\\ 6&8&4 \end{array} \right] [/math]

Zadanie

[math] 2C-3D = 2\left[ \begin{array}{rr} 0&5\\ 2&-2 \end{array} \right] -3\left[ \begin{array}{rr} 1&3\\ 0&4 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr} 0&10\\ 4&-4 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{rr} -3&-9\\ 0&-12 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr} -3&1\\ 4&-16 \end{array} \right] [/math]

Zadanie

[math] A\cdot B = \left[ \begin{array}{rrr} 1&0&5\\ 3&4&2 \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array}{r} 2\\4\\-1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{r} 1\cdot 2+0\cdot 4+5\cdot (-1)\\ 3\cdot 2+4\cdot 4+2\cdot (-1) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{r} -3\\ 20 \end{array} \right] [/math]

Zadanie

[math] C\cdot D = \left[ \begin{array}{rr} 0&5\\ 2&-2 \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array}{rr} 1&3\\ 0&4 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr} 0+0&0+20\\ 2+0&6-8 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr} 0&20\\ 2&-2 \end{array} \right] [/math]

Zadanie

[math] D\cdot C = \left[ \begin{array}{rr} 1&3\\ 0&4 \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array}{rr} 0&5\\ 2&-2 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr} 0+6&5-6\\ 0+8&0-8 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr} 6&-1\\ 8&-8 \end{array} \right] [/math]

Trzeba podkreślić, że w ogólności mnożenie macierzy nie jest przemienne.

W tym przypadku [math]C\cdot {D}\ne D\cdot {C}[/math].

Zadanie

[math] C^\top = \left[ \begin{array}{rr} 0&5\\ 2&-2 \end{array} \right]^\top =\left[ \begin{array}{rr} 0&2\\ 5&-2 \end{array} \right] \qquad \qquad A^\top = \left[ \begin{array}{rrr} 1&0&5\\ 3&4&2 \end{array} \right]^\top = \left[ \begin{array}{rr} 1&3\\ 0&4\\ 5&2 \end{array} \right] [/math]

Zadanie

[math] C^\top \cdot C = \left[ \begin{array}{rr} 0&2\\ 5&-2 \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array}{rr} 0&5\\ 2&-2 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr} 4&-4\\ -4&29 \end{array} \right] [/math]

Zadanie

[math] \det C = \left| \begin{array}{rr} 0&5\\ 2&-2 \end{array} \right| =0\cdot (-2)-5\cdot 2=-10 [/math]

[math] \det D = \left| \begin{array}{rr} 1&3\\ 0&4 \end{array} \right| =1\cdot 4-0\cdot 3=4 [/math]

[math]\det C\ne 0[/math] i [math]\det D\ne 0[/math] [math]\Rightarrow [/math] macierze [math]C[/math] i [math]D[/math] są odwracalne.

Zadanie

Obliczyć wyznacznik macierzy [math]3\times 3[/math]:

[math]\begin{matrix}\det E &&\!\!\!\!\!\!\!\!= \left| \begin{array}{rrr} 1&3&0\\ 2&-1&2\\ 0&2&1 \end{array} \right| \\&&\!\!\!\!\!\!\!\!= 1\cdot (-1)\cdot 1+2\cdot 2\cdot 0+3\cdot 2\cdot 0 -0\cdot (-1)\cdot 0-2\cdot 2\cdot 1-1\cdot 2\cdot 3 \\&&\!\!\!\!\!\!\!\!=-1-4-6=-11 \end{matrix}[/math]

Zadanie

Rozwiązać układ równań liniowych: [math]\left\lbrace \begin{array}{r} 2x+y=0\\ x-y=3 \end{array} \right. [/math]

Metoda wyznaczników:

[math] W=\det \left[ \begin{array}{rr} 2&1\\ 1&-1 \end{array} \right] = -2-1=-3 [/math]

[math] W_x=\det \left[ \begin{array}{rr} 0&1\\ 3&-1 \end{array} \right] = 0-3=-3 \qquad \qquad W_y=\det \left[ \begin{array}{rr} 2&0\\ 1&3 \end{array} \right] = 6-0=6 [/math]

[math] x=\frac{W_x}{W}=\frac{-3}{-3}=1 \qquad \qquad y=\frac{W_y}{W}=\frac{6}{-3}=-2 [/math]

Metoda przez liczenie macierzy odwrotnej:

[math] W\cdot \left[\begin{array}{r}x\\y\end{array}\right] =\left[\begin{array}{r}0\\3\end{array}\right] [/math]

Mnożąc powyższą równość przez macierz odwrotną do [math]W[/math] dostajemy:

[math] W^{-1}\cdot W \cdot \left[\begin{array}{r}x\\y\end{array}\right] = W^{-1}\cdot \left[\begin{array}{r}0\\3\end{array}\right] [/math]

Z drugiej strony

[math] W^{-1}\cdot W \cdot \left[\begin{array}{r}x\\y\end{array}\right] = I_{(2)}\cdot W \cdot \left[\begin{array}{r}x\\y\end{array}\right] =W \cdot \left[\begin{array}{r}x\\y\end{array}\right] [/math]

Porównując prawe strony dwóch ostatnich wzorów dostajemy

[math] \left[\begin{array}{r}x\\y\end{array}\right] = W^{-1}\cdot \left[\begin{array}{r}0\\3\end{array}\right] [/math]

Macierz odwrotną można obliczyć korzystając z macierzy dopełnień

[math] W^{-1} = \frac{1}{\det W}\cdot W^D = \frac{1}{-3}\cdot \det \left[ \begin{array}{rr} 2&1\\ 1&-1 \end{array} \right]^D = -\frac{1}{3}\cdot \det \left[ \begin{array}{rr} -1&-1\\ -1&2 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr} \frac{1}{3}&\frac{1}{3} \\[6pt] \frac{1}{3}&-\frac{2}{3} \end{array} \right] [/math]

Można też pracowicie liczyć z definicji

[math] \left[ \begin{array}{rr} 1&0\\ 0&1 \end{array} \right] = I_{(2)}=W^{-1}\cdot W = \left[ \begin{array}{rr} a&b\\ c&d \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array}{rr} 2&1\\ 1&-1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr} 2a+b&a-b\\ 2c+d&c-d \end{array} \right] [/math]

Porównując skrajne macierze dostajemy układ równań [math]\left\lbrace \begin{array}{r} 2a+b=1\\ a-b=0\\ 2c+d=0\\ c-d=1 \end{array}\right. [/math],

którego rozwiązaniem są liczby [math]a=b=c=1/3[/math], [math]d=-2/3[/math].

Warto sprawdzić bezpośrednim rachunkiem, że otrzymana macierz jest rzeczywiście macierzą odwrotne do W:

[math] W^{-1}\cdot W = \frac{1}{3}\left[ \begin{array}{rr} 1&1\\ 1&-2 \end{array} \right]\cdot \left[ \begin{array}{rr} 2&1\\ 1&-1 \end{array} \right] = \frac{1}{3}\left[ \begin{array}{rr} 2+1&1-1\\ 2-2&1+2 \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{rr} 1&0\\ 0&1 \end{array} \right] [/math]

[math] W\cdot W^{-1}\cdot = \left[ \begin{array}{rr} 2&1\\ 1&-1 \end{array} \right]\cdot \frac{1}{3}\left[ \begin{array}{rr} 1&1\\ 1&-2 \end{array} \right]\cdot = \frac{1}{3}\left[ \begin{array}{rr} 2+1&2-2\\ 1-1&1+2 \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{rr} 1&0\\ 0&1 \end{array} \right] [/math]

Używając (tak czy inaczej policzonej) macierzy odwrotnej do [math]W[/math] rozwiązujemy wyjściowy układ równań:

[math] \left[\begin{array}{r}x\\y\end{array}\right] = W^{-1}\cdot \left[\begin{array}{r}0\\3\end{array}\right] = -\frac{1}{3}\cdot \det \left[ \begin{array}{rr} -1&-1\\ -1&2 \end{array} \right] \cdot \left[\begin{array}{r}0\\3\end{array}\right] = -\frac{1}{3} \left[\begin{array}{r}-3\\6\end{array}\right] = \left[\begin{array}{r}1\\-2\end{array}\right] [/math]

Mając [math]W^{-1}[/math] możemy łatwo rozwiązać wyjściowy układ równań z dowolnymi prawymi stronami: [math]\left\lbrace \begin{array}{r} 2x+y=c_1\\ x-y=c_2 \end{array} \right. [/math]:

[math] \left[\begin{array}{r}x\\y\end{array}\right] = W^{-1}\cdot \left[\begin{array}{r}c_1\\c_2\end{array}\right] = -\frac{1}{3}\cdot \det \left[ \begin{array}{rr} -1&-1\\ -1&2 \end{array} \right] \cdot \left[\begin{array}{r}c_1\\c_2\end{array}\right] = \frac{1}{3} \left[\begin{array}{l}c_1+c_2\\c_1-2c_2\end{array}\right] [/math]

Co daje:

[math] x=\frac{c_1+c_2}{3} \qquad \qquad y=\frac{c_1-2c_2}{3} [/math]

Zadanie

Rozwiązać układ równań liniowych: [math]\left\lbrace \begin{array}{r} x+2y-3z=0\\ 2x-y+z=3\\ x+y+2x=4 \end{array} \right. [/math]

Metoda wyznaczników:

[math] W= \left|\begin{array}{rrr} 1&2&-3\\ 2&-1&1\\ 1&1&2 \end{array}\right| =-2-6+2-3-1-8=-18 [/math]

[math] W_x= \left|\begin{array}{rrr} 0&2&-3\\ 3&-1&1\\ 4&1&2 \end{array}\right| =0+8-9-12+0-12=-25 [/math]

[math] W_y= \left|\begin{array}{rrr} 1&0&-3\\ 2&3&1\\ 1&4&2 \end{array}\right| =6-24+0+9-4+0=-13 [/math]

[math] W_z= \left|\begin{array}{rrr} 1&2&0\\ 2&-1&3\\ 1&1&4 \end{array}\right| =-4+0+6-0-3-16=-17 [/math]

[math] x=\frac{W_x}{W}=\frac{-25}{-18}=\frac{25}{18} \qquad \qquad y=\frac{W_y}{W}=\frac{-13}{-18}=\frac{13}{18} \qquad \qquad z=\frac{W_z}{W}=\frac{-17}{-18}=\frac{17}{18} [/math]

Należy sprawdzić bezpośrednim rachunkiem, że powyższe liczby rzeczywiście rozwiązują wyjściowy układ równań. Podstawiamy:

[math] x+2y-3z=\frac{25}{18}+\frac{26}{18}-\frac{51}{18}=\frac{25+26-51}{18}=0 [/math]

[math] 2x-y+z=\frac{50}{18}-\frac{13}{18}+\frac{17}{18}=\frac{50-13+17}{18} =\frac{54}{18}=3 [/math]

[math] x+y+2z=\frac{25}{18}+\frac{13}{18}+\frac{34}{18}=\frac{25+13+34}{18} =\frac{72}{18}=4 [/math]

Zadanie

Znaleźć macierz odwrotną do macierzy [math]W[/math] z poprzedniego zadania

[math]\begin{matrix}W^{-1} &&\!\!\!\!\!\!\!\!=\frac{1}{\det {W}}\cdot W^D = -\frac{1}{18} \left[\begin{array}{rrr} \left|\begin{array}{rr}-1&1\\1&2\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{rr}2&-3\\1&2\end{array}\right|& \left|\begin{array}{rr}2&-3\\-1&1\end{array}\right| \\ \\ -\left|\begin{array}{rr}2&1\\1&2\end{array}\right|& \left|\begin{array}{rr}1&-3\\1&2\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{rr}1&-3\\2&1\end{array}\right| \\ \\ \left|\begin{array}{rr}2&-1\\1&1\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{rr}1&2\\1&1\end{array}\right|& \left|\begin{array}{rr}1&2\\2&-1\end{array}\right| \end{array}\right] \\&&\!\!\!\!\!\!\!\!=-\frac{1}{18} \left[\begin{array}{rrr} -3&-7&-1 \\ -3&5&-7 \\ 3&1&-5 \end{array}\right] = \frac{1}{18} \left[\begin{array}{rrr} 3&7&1 \\ 3&-5&7 \\ -3&-1&5 \end{array}\right] \end{matrix}[/math]

Poprawność wyniku można sprawdzić bezpośrednim rachunkiem

[math]\begin{matrix}W^{-1}\cdot W &&\!\!\!\!\!\!\!\!= \frac{1}{18} \left[\begin{array}{rrr} 3&7&1 \\ 3&-5&7 \\ -3&-1&5 \end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{rrr} 1&2&-3\\ 2&-1&1\\ 1&1&2 \end{array}\right] \\&&\!\!\!\!\!\!\!\!= \frac{1}{18}\left[\begin{array}{rrr} 3+14+1&6-7+1&-9+7+2\\ 3-10+7&6+5+7&-9-5+14\\ -3-2+5&-6+1+5&9-1+10 \end{array}\right] = \frac{1}{18}\left[\begin{array}{rrr} 18&0&0\\ 0&18&0\\ 0&0&18 \end{array}\right] \\&&\!\!\!\!\!\!\!\!=\left[\begin{array}{rrr} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array}\right] \end{matrix}[/math]

Rozwiązujemy układ równań z poprzedniego zadania używając [math]W^{-1}[/math]:

[math]\begin{matrix}\left[\begin{array}{r}x\\y\\z\end{array}\right] &&\!\!\!\!\!\!\!\!= W^{-1} \cdot \left[\begin{array}{r}0\\3\\4\end{array}\right] = \frac{1}{18} \left[\begin{array}{rrr} 3&7&1 \\ 3&-5&7 \\ -3&-1&5 \end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{r}0\\3\\4\end{array}\right] = \frac{1}{18} \left[\begin{array}{r}0+21+4\\0-15+28\\0-3+20\end{array}\right] \\&&\!\!\!\!\!\!\!\!= \frac{1}{18} \left[\begin{array}{r}25\\13\\17\end{array}\right] \end{matrix}[/math]