Szeregi

Definicje i przykłady

Zbieżność szeregu

Dla danego ciągu {[math]a_n[/math]} utwórzmy nowy ciąg {[math]s_n[/math]}, zdefiniowany jako:

[math] s_1=a_1, \;\;\; s_2=a_1+a_2,\;\dots,\; s_n = a_1 + a_2 +\dots+a_n = \sum_{j=1}^n a_j \;[/math]

Def. Jeśli wyżej zdefiniowany ciąg {[math]s_n[/math]} posiada granicę, to granicę tę oznaczamy symbolem:

[math] \sum_{n=1}^\infty a_n = \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} s_n = \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} \sum_{j=1}^n a_j [/math]

i nazywamy sumą szeregu nieskończonego [math]a_1+a_2+\dots+a_n+\dots\;[/math]. Mówimy w takim przypadku, że szereg jest zbieżny. Jeśli powyższa granica nie istnieje, to mówimy, że szereg jest rozbieżny.

Uwaga o ciągach i szeregach

Szeregi możemy więc uważać za szczególny przypadek ciągów. Mają one jednak swoją specyfikę, a przy tym są na tyle ważne, że rozważa się je na ogół odrębnie.

Przykładem takiej pewnej odrębności problemów przy rozważaniu ciągów i szeregów jest problem ich zbieżności. W przypadku ciągów (przynajmniej tych które rozważaliśmy) w większości przypadków umiemy policzyć ich granice. Inaczej jest z szeregami: Za pomocą dostępnych nam środków rzadko umiemy znaleźć wartość granicy i najczęściej rozważanym problemem jest problem zbieżności szeregu.

Ciąg sum częściowych

Ciąg {[math]s_n[/math]} nazywamy ciągiem sum częściowych szeregu nieskończonego.

Przykłady

1. Szereg: [math]1+1+1+\dots\;[/math] jest rozbieżny do [math]\infty\;[/math], ponieważ [math]s_n=n\;[/math].
2. Szereg geometryczny [math]1+q+q^2+\dots+q^n+\dots\;[/math] jest zbieżny, gdy [math]|q|\lt 1\;[/math]. Mamy bowiem: [math]s_n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q} \;[/math] i dla [math]|q|\lt 1\;[/math] ciąg {[math]s_n[/math]} jest zbieżny, a jego granica jest [math] \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} s_n =\frac{1}{1-q} \;[/math]
3. Szereg [math]1-1+1-1+1+\dots\;[/math] jest rozbieżny; ciąg {[math]s_n[/math]} jest w tym przypadku: [math]1,0,1,0,1,\dots\;[/math] i nie posiada ani właściwej, ani niewłaściwej granicy.

[math]n[/math]-ta reszta szeregu

[math]n-\;[/math] tą resztą szeregu [math]a_1+a_2+\dots+a_n+\dots\;[/math] nazywamy szereg

[math] r_n = a_{n+1} + a_{n+2} + \dots =\sum_{m=n+1}^\infty a_m. \;[/math]

Stwierdzenie

Jeśli szereg [math]a_1+a_2+\dots+a_n+\dots\;[/math] jest zbieżny, to [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} r_n=0\;[/math].

Dowód

Zauważmy, że jeśli szereg [math]a_1+a_2+\dots+a_n+\dots\;[/math] jest zbieżny, to również szereg (2) jest zbieżny przy każdej wartości [math]n\;[/math]. Ponieważ

[math] r_n=\displaystyle\mathop{\lim}_{k\to \infty} (a_{n+1}+a_{n+2}+\dots+ a_{n+k}) = \displaystyle\mathop{\lim}_{k\to \infty} s_{n+k} -s_n = \sum_{m=1}^\infty a_m - s_n, \;[/math]

więc

[math] \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} r_n = \sum_{m=1}^\infty a_m - \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} s_n = \sum_{m=1}^\infty a_m - \sum_{m=1}^\infty a_m =0. \;[/math]

CBDO

Ogólne własności szeregów związane ze zbieżnością

Niektóre własności szeregów są bezpośrednimi konsekwencjami własności ciągów. W tym podrozdziale wymienimy właśnie takie.

Twierdzenie (Warunek Cauchy'ego)

Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby szereg [math]a_1+a_2+\dots\;[/math] był zbieżny, jest, aby:

[math] \forall_{\epsilon \gt 0} \exists_{k\in \mathbb N \; } \forall_{m\in \mathbb N \; }: |a_{k+1}+a_{k+2} +\dots + a_{k+m}|\lt \epsilon. \;[/math]

Dowód

Widzieliśmy, że zbieżność szeregu jest równoważna zbieżności jego sum częściowych. Ponadto, przypomnijmy sobie warunek Cauchy'ego zbieżności ciągu {[math]s_n[/math]}: Mówił on, iż

[math] \forall_{\epsilon \gt 0} \exists_{k\in \mathbb N \; } \forall_{m\in \mathbb N \; }: |s_{k+m}-s_k| \lt \epsilon, \;[/math]

a że [math]s_n\;[/math] jest [math]n-\;[/math] tą sumą częściową szeregu, to otrzymujemy warunek (3).

CBDO

Twierdzenie

Jeśli szereg [math]a_1+a_2+\dots\;[/math] jest zbieżny, to [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a_n =0\;[/math].

Uwaga

Innymi słowy, jeśli [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a_n \ne 0\;[/math], to szereg [math]a_1+a_2+\dots\;[/math] nie jest zbieżny.

Dowód

Mamy: [math]a_n=s_n-s_{n-1}\;[/math], co daje

[math] \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a_n = \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} s_n - \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} s_{n-1} = 0, \;[/math]

ponieważ [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} s_n = \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} s_{n-1}\;[/math].

CBDO

Uwaga

Powyższe twierdzenie nie daje się odwrócić. Istnieją bowiem szeregi [math]a_1+a_2+\dots\;[/math] rozbieżne, dla których jednak [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a_n=0\;[/math]. Takim szeregiem jest szereg harmoniczny:

[math] 1+ \frac{1}{2} +\frac{1}{3}+\dots+ \frac{1}{n}+\dots \;[/math]

Mamy bowiem: [math] \sum_{k=2^n}^{2^{n+1}-1}\frac{1}{k} \geq 2^n \frac{1}{2^{n+1}-1}\;[/math]

[math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} \frac{2^n}{2^n(2-\frac{1}{2^n})}=\frac{1}{2}[/math]

[math] \frac{1}{2} +\frac{1}{3} \geq 2\cdot \frac{1}{3};\;\;\; \frac{1}{4}+ \frac{1}{5} +\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8} \geq 4\cdot \frac{1}{8};\;\;\; \dots \;\;\; \frac{1}{2^n}+\dots + \frac{1}{2^{n+1}-1} \geq 2^n \frac{1}{2^{n+1}-1}[/math]

tak, więc ciąg sum częściowych szeregu harmonicznego jest ograniczony przez 1/2.

[math] s_{2^{n+1}} - s_{2^n} \gt \frac{1}{2} \Longrightarrow s_{2^n}\gt \frac{1}{2} n. \;[/math]

Tak więc [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} s_{2^n} = \infty\;[/math], czyli ciąg sum częściowych szeregu harmonicznego jest rozbieżny, a to znaczy, że sam szereg harmoniczny też jest rozbieżny (do [math]\infty\;[/math] ).

Szereg ograniczony

Szereg nazywamy ograniczonym, jeśli ciąg jego sum częściowych jest ograniczony (tzn. jeśli istnieje taka liczba [math]M\;[/math], że dla każdego [math]n\in N\;[/math] : [math]s_n\lt M\;[/math] ).

Twierdzenie

Każdy szereg zbieżny jest ograniczony.

Dowód

jest to inne wypowiedzenie znanego nam twierdzenia, że każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.

CBDO

Twierdzenie o zbieżności sumy szeregów i iloczynu szeregu przez stałą

Mamy dwa naturalne twierdzenia dotyczące zbieżności szeregu sumy oraz iloczynu szeregu przez stałą.

Twierdzenie o zbieżności sumy

Jeżeli szeregi [math]a_1 + a_2 + \cdots\;[/math] i [math]b_1 + b_2 + \cdots\;[/math] są zbieżne, to

[math] \sum_{n=1}^\infty(a_n\pm b_n) = \sum_{n=1}^\infty a_n \pm \sum_{n=1}^\infty b_n. \;[/math]

Dowód

Dla ustalenia uwagi weźmy sumę. Mamy

[math] \sum_{n=1}^\infty(a_n+ b_n) = \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} (a_1+b_1 + a_2+b_2 +\dots + a_n+b_n) \;[/math] [math] =\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} (a_1+ a_2 +\dots + a_n) + \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} (b_1 + b_2 +\dots + b_n) = \sum_{n=1}^\infty a_n + \sum_{n=1}^\infty b_n; [/math]

dla różnicy dowód jest analogiczny.

CBDO

Twierdzenie o iloczynie

Jeżeli szereg [math]a_1 + a_2 + \cdots\;[/math] jest zbieżny, to dla dowolnej stałej [math]c\in \mathbb R \; \;[/math]

[math] \sum_{n=1}^\infty c a_n = c \sum_{n=1}^\infty a_n. \;[/math]

Dowód

Mamy bowiem

[math] \sum_{n=1}^\infty c a_n = \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} (c a_1+ c a_2 +\dots + c a_n) \;[/math] [math] =c \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} (a_1+ a_2 +\dots + a_n) = c \sum_{n=1}^\infty a_n. \;[/math]

CBDO

Wniosek

W szczególności

[math] \sum_{n=1}^\infty (- a_n) = - \sum_{n=1}^\infty a_n. \;[/math]

Szeregi naprzemienne-twierdzenie Leibniza; twierdzenie Abela

Szereg naprzemienny — definicja

Szeregiem naprzemiennym nazywamy szereg postaci

[math] a_1-a_2+a_3-a_4+\dots,[/math] gdzie [math]a_n\geq 0. \;[/math]

Twierdzenie Leibnitza

(zwane też częściej kryterium Leibniza) Szereg naprzemienny (4), spełniający warunki [math] a_1\geq a_2\geq a_3\geq \dots \;[/math] oraz

[math]displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a_n =0\;[/math]

jest zbieżny. Ponadto sumy częściowe tego szeregu: [math]s_n=a_1-a_2+a_3-a_4+\dots \pm a_n\;[/math] oraz suma szeregu spełniają nierówności

[math] s_{2n}\leq \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}a_n \leq s_{2n+1}. \;[/math]

Dowód

Ciąg sum częściowych o wskaźnikach parzystych jest niemalejący. Mamy bowiem

[math] s_{2m+2}=s_{2m}+(a_{2n+1}-a_{2n+2}),\;\;\mbox{a z zalozenia}\;\;a_{2n+1}-a_{2n+2}\geq 0. \;[/math]

Jest to jednocześnie ciąg ograniczony, ponieważ

[math] s_{2n}=a_1-((a_2-a_3)+(a_4-a_5)+\dots)\leq a_1. \;[/math]

Skoro tak, to ciąg [math]\{s_{2n}\}\;[/math] jest zbieżny. Oznaczmy jego granicę przez [math]g\;[/math]: [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} s_{2n}=g\;[/math]. Zauważmy, że udowodnimy zbieżność szeregu (5) dowodząc, że [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} s_{2n+1}=g\;[/math].

Mamy [math]s_{2n+1}=s_{2n}+a_{2n+1}\;[/math], co daje

[math] \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} s_{2n+1} =\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} s_{2n} + \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a_{2n+1}=g, \;[/math]

bo [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a_{2n+1}=0\;[/math] na mocy założenia.

Wreszcie, nierówności (6) wynikają z faktów, że ciąg [math]\{s_{2n}\}\;[/math] jest rosnący (więc jego granica jest większa lub równa dowolnemu z wyrazów ciągu), zaś ciąg [math]\{s_{2n+1}\}\;[/math] jest malejący (więc [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} s_{2n+1} \geq s_{2k+1}\;[/math] dla dowolnego [math]k\;[/math] ).

Przykład

Szereg anharmoniczny:

[math] 1-\frac{1}{2} +\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots \;[/math]

jest zbieżny. Pokażemy później, że sumą tego szeregu jest [math]\ln 2\;[/math]. Interpretacja elektrostatyczna: suma szeregu anharmonicznego to połowa energii elektrostatycznej (w przeliczeniu na 1 jon) jednowymiarowego kryształu jonowego (por. Feynman, t.2 cz. 1)

Rysunek sieci krystalicznej

CBDO

Twierdzenie (Abela)

(zwane też częściej kryterium Abela)

Jeśli ciąg {[math]a_n[/math]} dąży monotonicznie do zera, zaś szereg sum częściowych ciągu {[math]b_n[/math]}: [math]B_n =a_1 + a_2 + \cdots +b_n\;[/math] jest ograniczony, to szereg

[math] a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n +\dots \;[/math]

jest zbieżny.

Dowód

Oznaczmy przez [math]\{s_n\}\;[/math] ciąg sum częściowych szeregu [math]b_1 + b_2 + \cdots\;[/math] : [math]s_n = b_1+b_2+\dots+b_n\;[/math]. Na mocy założenia, istnieje takie [math]M\;[/math], że dla każdego [math]n\in \mathbb N \; \;[/math] zachodzi [math]|s_n|\lt M\;[/math].

Aby dowieść, że szereg (8) jest zbieżny, oszacujmy sumę

[math] a_k b_k + a_{k+1} b_{k+1} +\dots + a_n b_n \;[/math]

dla [math]n\gt k\;[/math]. Zauważmy najsampierw, iż

[math] -2M \lt b_m+b_{m+1} + \dots + b_n\lt 2M \;[/math]

dla każdego [math]m\;[/math] i [math]n\geq m\;[/math], ponieważ

[math] |b_m+b_{m+1} + \dots + b_n|= |s_n -s_{m-1}| \leq |s_n| + |s_{m-1}| \leq 2M. \;[/math]

Wyrażenie (9) przepiszmy teraz tak:

[math] a_k b_k + a_{k+1} b_{k+1} +\dots + a_n b_n = \;[/math] [math] (a_k-a_{k+1})b_k + (a_{k+1}-a_{k+2})(b_k+b_{k+1}) + \;[/math] [math] +(a_{k+2}-a_{k+3})(b_k+b_{k+1}+b_{k+2})+\dots +(a_{n})(b_k+b_{k+1}+\dots +b_{n})\leq \;[/math]

[math] \leq 2M ((a_k-a_{k+1})+ (a_{k+1}-a_{k+2}) +\dots+a_n)= 2 M a_k \;[/math] na mocy (10).

Analogicznie mamy [math]a_k b_k + a_{k+1} b_{k+1} +\dots + a_n b_n\geq -2 M a_k\;[/math], a stąd

[math] |a_k b_k + a_{k+1} b_{k+1} +\dots + a_n b_n| \leq 2 M a_k. \;[/math]

Weźmy teraz jakieś [math]\epsilon\gt 0\;[/math]. Zakładamy, że ciąg {[math]a_n[/math]} jest zbieżny do zera; znaczy to, że istnieje takie [math]k\;[/math], że [math]a_k\lt \frac{\epsilon}{2M}\;[/math]. Wyżej udowodniliśmy (11), co przepiszemy jako [math]|a_k b_k + a_{k+1} b_{k+1} +\dots + a_n b_n| \lt \epsilon\;[/math]. Zgodnie z warunkiem Cauchy'ego zbieżności ciągu (jeżeli [math]|a_n-a_m|\lt \epsilon\;[/math] dla [math]n,m\;[/math] dostatecznie dużych, to ciąg {[math]a_n[/math]} jest zbieżny), szereg [math]\sum_{n=1}^\infty a_n b_n\;[/math] jest zbieżny.

CBDO

Uwagi

1. Z wzoru (11) mamy oszacowanie na sumę szeregu: [math] \left| \sum_{n=1}^\infty a_n b_n \right| \leq 2 M a_1; \;[/math] jest tak, ponieważ na mocy wzoru (11) nierówność [math]|a_1 b_1 + a_{k+1} b_{k+1} +\dots + a_n b_n| \leq 2 M a_1\;[/math] zachodzi dla każdego [math]n\;[/math].
2. Uwaga 2. Kryterium Leibniza jest szczególnym przypadkiem kryterium Abela: W tym ostatnim trzeba za ciąg {[math]b_n\;[/math]} wziąć [math]b_n = (-1)^n[/math].