Tekst źródłowy strony Reprezentacje czas-częstość

==Reprezentacje czas-częstość==

[[Transformata Wignera|Transformata Wignera]]  daje jako pierwotny wynik estymatę gęstości
energii sygnału w przestrzeni czas-częstość; jej pełny obraz zawiera rzędu
<math>N^2</math> wartości &mdash; dla sygnału o długości <math>N</math> punktów mamy w każdym punkcie
<math>N/2</math> częstości. Z kolei [[Przekształcenie Fouriera|przekształcenia Fouriera]] czy [[Falki (wavelets)|falkowe]] opisują sygnał w
kategorii współczynników określających "dopasowanie" sygnału do konkretnych
funkcji: <math>e^{i\omega t}</math>, <math>g(t)e^{i\omega t}</math> czy <math>\psi(\frac{t-u}s)</math>. Liczba
tych funkcji, których iloczyn z sygnałem będziemy traktować jako jego
reprezentację, ustalamy właściwie dowolnie, ale zwykle jest ona bliższa
rozmiarowi sygnału <math>N</math> niż <math>N^2</math>. W szczególnym przypadku bazy
ortogonalnej, którą można stworzyć z funkcji <math>e^{i\omega t}</math> lub falek
<math>\psi(\frac{t-u}s)</math>, będzie ich dokładnie <math>N</math>.

Z tych współczynników możemy również utworzyć mapę gęstości energii sygnału w
przestrzeni czas-częstość. Każdy iloczyn określa zawartość energii sygnału
w pewnym przedziale czasu i częstości. Ze względu na zasadę
nieoznaczoności, iloczyn tych przedziałów ("pole") nie może być dowolnie mały.
Dla [[Spektrogram|spektrogramu]] będą to jednolite przedziały o rozmiarach wyznaczonych przez
szerokość okna <math>g(t)</math>. Z kolei w przypadku [[Falki (wavelets)|transformacji falkowej]] wzrost
częstości funkcji związany jest ze zmianą skali <math>s</math>, czyli "rozciąganiem"
<math>\psi</math>, dlatego funkcje o niższej częstości będą zajmowały większy przedział
czasu.

Okazuje się, że tworzone w ten sposób estymaty gęstości energii są równoważne
pewnym sposobom uśredniania [[Transformata Wignera|transformaty Wignera]].

Która z tych metod jest najlepsza? Przede wszystkim musimy ustalić, co w tym
miejscu znaczy "lepszy". Mamy do czynienia z reprezentacjami sygnału w
postaci iloczynów z ustalonymi zestawami funkcji; najlepsza będzie taka
reprezentacja, dla której większość z tych iloczynów jest bliska zeru.
Dlaczego? Przede wszystkim oznacza to, że najważniejsze (lub raczej
najsilniejsze) cechy sygnału udało się wyrazić z pomocą niewielu znanych
funkcji, których iloczyny z sygnałem są istotnie różne od zera.
Tak zwięzły opis sygnału odkrywa zwykle jego podstawowe cechy i ułatwia dalszą
analizę. Poza poznaniem głównych cech badanego sygnału, wymiernym celem jest
często kompresja.

Jeśli funkcje używane do analizy sygnału tworzą bazę ortogonalną, jak w
przypadku [[Przekształcenie Fouriera|transformaty Fouriera]] czy niektórych falek, to reprezentacj w takiej
bazie zawiera dokładnie ilość informacji potrzebną do odtworzenia sygnału.
Jeśli ilość funkcji wybranych do reprezentacji jest większa niż wymiar bazy,
to mamy do czynienia z redundancją, ale odtworzenie sygnału z wartości
iloczynów jest zwykle również możliwe. Tak więc jeśli zapiszemy tylko wartości
większych iloczynów, to odtworzony z nich sygnał powinien być podobny do
oryginału &mdash; jest to kompresja stratna, stosowana np. w popularnych formatach
[[TI:Technologia_Informacyjna/MP3|mp3]] czy [[TI:Technologia_Informacyjna/JPEG|jpeg]].

Problem wyboru reprezentacji pozostaje otwarty:
* [[Przekształcenie Fouriera|transformata Fouriera]] opisuje zwięźle sygnały stacjonarne, w których dominuje  niewielka ilość częstości (sinusoidalnych),  
*  w [[Spektrogram|krótkoczasowej transformacie Fouriera]] trudno  odgadnąć dla nieznanego sygnału optymalną szerokośc okna  (por. dolne wykresy na rys. <xr id="fig:9"> %i</xr>),  
*  w [[Falki (wavelets)|reprezentacji falkowej]] (a z różnych falek możemy konstruować różne  reprezentacje) zwięźle opiszemy krótkie struktury przejściowe (ang.  ''transients'' ), ale np. długi sinus będzie dawał duże wartości iloczynów  z wieloma falkami (rys. <xr id="fig:9"> %i</xr>),
*i tak dalej<math>\ldots</math>.

Dla każdego sygnału zwięzłą reprezentację możemy uzyskać wyrażając go
w innym zestawie funkcji. A gdyby tak dopasować reprezentację do
sygnału, wybierając odpowiednie funkcje z ogromnego (względem rozmiaru
bazy, czyli redundantnego) zestawu? To podejście opisane jest w
rozdziale o [[Reprezentacje_przybliżone#Przybliżenia_adaptacyjne(adaptive_approximations)|Matching Pursuit]]


[[Plik:timefreq_rys_5.jpg|thumb|center|400px|<figure id="fig:9"></figure>Reprezentacje gęstości energii sygnału (długości 256 punktów),
przedstawionego na dole rysunku, w przestrzeni czas-częstość, liczone na
podstawie (od dołu): [[Spektrogram|spektrogramów]] z oknami szerokości 32 i 64 punkty,
[[Falki (wavelets)|transformacji falkowej]] w bazie ortogonalnych falek (falki Meyera) i algorytmu
dopasowania krokowego [[Reprezentacje_przybliżone#Przybliżenia_adaptacyjne(adaptive_approximations)|Matching Pursuit]]. Po lewej stronie każdego wykresu przedstawione widmo
mocy sygnału. W każdym przypadku oś częstości skierowana ku górze.]]

[[Plik:timefreq_rys_6.jpg|thumb|center|400px|<figure id="fig:10"></figure>Przykłady funkcji używanych do reprezentacji sygnału na rys.
9, w kolumnach od lewej: [[Falki (wavelets)|falki]], funkcje używane w [[Spektrogram|spektrogramie]],
[[Reprezentacje_przybliżone#Dyskretny_s.C5.82ownik_funkcji_Gabora|elementy słownika Gabora]] (dopasowanie krokowe).]]