Szeregi
Definicje i przykłady
Zbieżność szeregu
Dla danego ciągu {[math]a_n[/math]} utwórzmy nowy ciąg {[math]s_n[/math]}, zdefiniowany jako:
Def. Jeśli wyżej zdefiniowany ciąg {[math]s_n[/math]} posiada granicę, to granicę tę oznaczamy symbolem:
i nazywamy sumą szeregu nieskończonego [math]a_1+a_2+\dots+a_n+\dots\;[/math]. Mówimy w takim przypadku, że szereg jest zbieżny. Jeśli powyższa granica nie istnieje, to mówimy, że szereg jest rozbieżny.
Uwaga o ciągach i szeregach
Szeregi możemy więc uważać za szczególny przypadek ciągów. Mają one jednak swoją specyfikę, a przy tym są na tyle ważne, że rozważa się je na ogół odrębnie.
Przykładem takiej pewnej odrębności problemów przy rozważaniu ciągów i szeregów jest problem ich zbieżności. W przypadku ciągów (przynajmniej tych które rozważaliśmy) w większości przypadków umiemy policzyć ich granice. Inaczej jest z szeregami: Za pomocą dostępnych nam środków rzadko umiemy znaleźć wartość granicy i najczęściej rozważanym problemem jest problem zbieżności szeregu.
Ciąg sum częściowych
Ciąg {[math]s_n[/math]} nazywamy ciągiem sum częściowych szeregu nieskończonego.
Przykłady
- Szereg: [math]1+1+1+\dots\;[/math] jest rozbieżny do [math]\infty\;[/math], ponieważ [math]s_n=n\;[/math].
- Szereg geometryczny [math]1+q+q^2+\dots+q^n+\dots\;[/math] jest zbieżny, gdy [math]|q|\lt 1\;[/math]. Mamy bowiem:
[math]s_n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q} \;[/math] i dla [math]|q|\lt 1\;[/math] ciąg {[math]s_n[/math]} jest zbieżny, a jego granica jest[math] \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} s_n =\frac{1}{1-q} \;[/math] - Szereg [math]1-1+1-1+1+\dots\;[/math] jest rozbieżny; ciąg {[math]s_n[/math]} jest w tym przypadku: [math]1,0,1,0,1,\dots\;[/math] i nie posiada ani właściwej, ani niewłaściwej granicy.
[math]n[/math]-ta reszta szeregu
[math]n-\;[/math] tą resztą szeregu [math]a_1+a_2+\dots+a_n+\dots\;[/math] nazywamy szereg
Stwierdzenie
Jeśli szereg [math]a_1+a_2+\dots+a_n+\dots\;[/math] jest zbieżny, to [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} r_n=0\;[/math].
Dowód
Zauważmy, że jeśli szereg [math]a_1+a_2+\dots+a_n+\dots\;[/math] jest zbieżny, to również szereg (2) jest zbieżny przy każdej wartości [math]n\;[/math]. Ponieważ
więc
CBDO
Ogólne własności szeregów związane ze zbieżnością
Niektóre własności szeregów są bezpośrednimi konsekwencjami własności ciągów. W tym podrozdziale wymienimy właśnie takie.
Twierdzenie (Warunek Cauchy'ego)
Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby szereg [math]a_1+a_2+\dots\;[/math] był zbieżny, jest, aby:
Dowód
Widzieliśmy, że zbieżność szeregu jest równoważna zbieżności jego sum częściowych. Ponadto, przypomnijmy sobie warunek Cauchy'ego zbieżności ciągu {[math]s_n[/math]}: Mówił on, iż
a że [math]s_n\;[/math] jest [math]n-\;[/math] tą sumą częściową szeregu, to otrzymujemy warunek (3).
CBDO
Twierdzenie
Jeśli szereg [math]a_1+a_2+\dots\;[/math] jest zbieżny, to [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a_n =0\;[/math].
Uwaga
Innymi słowy, jeśli [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a_n \ne 0\;[/math], to szereg [math]a_1+a_2+\dots\;[/math] nie jest zbieżny.
Dowód
Mamy: [math]a_n=s_n-s_{n-1}\;[/math], co daje
ponieważ [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} s_n = \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} s_{n-1}\;[/math].
CBDO
Uwaga
Powyższe twierdzenie nie daje się odwrócić. Istnieją bowiem szeregi [math]a_1+a_2+\dots\;[/math] rozbieżne, dla których jednak [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a_n=0\;[/math]. Takim szeregiem jest szereg harmoniczny:
Mamy bowiem: [math] \sum_{k=2^n}^{2^{n+1}-1}\frac{1}{k} \geq 2^n \frac{1}{2^{n+1}-1}\;[/math]
[math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} \frac{2^n}{2^n(2-\frac{1}{2^n})}=\frac{1}{2}[/math]
tak, więc ciąg sum częściowych szeregu harmonicznego jest ograniczony przez 1/2.
Tak więc [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} s_{2^n} = \infty\;[/math], czyli ciąg sum częściowych szeregu harmonicznego jest rozbieżny, a to znaczy, że sam szereg harmoniczny też jest rozbieżny (do [math]\infty\;[/math] ).
Szereg ograniczony
Szereg nazywamy ograniczonym, jeśli ciąg jego sum częściowych jest ograniczony (tzn. jeśli istnieje taka liczba [math]M\;[/math], że dla każdego [math]n\in N\;[/math] : [math]s_n\lt M\;[/math] ).
Twierdzenie
Każdy szereg zbieżny jest ograniczony.
Dowód
jest to inne wypowiedzenie znanego nam twierdzenia, że każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.
CBDO
Twierdzenie o zbieżności sumy szeregów i iloczynu szeregu przez stałą
Mamy dwa naturalne twierdzenia dotyczące zbieżności szeregu sumy oraz iloczynu szeregu przez stałą.
Twierdzenie o zbieżności sumy
Jeżeli szeregi [math]a_1 + a_2 + \cdots\;[/math] i [math]b_1 + b_2 + \cdots\;[/math] są zbieżne, to
Dowód
Dla ustalenia uwagi weźmy sumę. Mamy
dla różnicy dowód jest analogiczny.
CBDO
Twierdzenie o iloczynie
Jeżeli szereg [math]a_1 + a_2 + \cdots\;[/math] jest zbieżny, to dla dowolnej stałej [math]c\in \mathbb R \; \;[/math]
Dowód
Mamy bowiem
CBDO
Wniosek
W szczególności
Szeregi naprzemienne-twierdzenie Leibniza; twierdzenie Abela
Szereg naprzemienny — definicja
Szeregiem naprzemiennym nazywamy szereg postaci
Twierdzenie Leibnitza
(zwane też częściej kryterium Leibniza) Szereg naprzemienny (4), spełniający warunki [math] a_1\geq a_2\geq a_3\geq \dots \;[/math] oraz
jest zbieżny. Ponadto sumy częściowe tego szeregu: [math]s_n=a_1-a_2+a_3-a_4+\dots \pm a_n\;[/math] oraz suma szeregu spełniają nierówności
Dowód
Ciąg sum częściowych o wskaźnikach parzystych jest niemalejący. Mamy bowiem
Jest to jednocześnie ciąg ograniczony, ponieważ
Skoro tak, to ciąg [math]\{s_{2n}\}\;[/math] jest zbieżny. Oznaczmy jego granicę przez [math]g\;[/math]: [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} s_{2n}=g\;[/math]. Zauważmy, że udowodnimy zbieżność szeregu (5) dowodząc, że [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} s_{2n+1}=g\;[/math].
Mamy [math]s_{2n+1}=s_{2n}+a_{2n+1}\;[/math], co daje
bo [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a_{2n+1}=0\;[/math] na mocy założenia.
Wreszcie, nierówności (6) wynikają z faktów, że ciąg [math]\{s_{2n}\}\;[/math] jest rosnący (więc jego granica jest większa lub równa dowolnemu z wyrazów ciągu), zaś ciąg [math]\{s_{2n+1}\}\;[/math] jest malejący (więc [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} s_{2n+1} \geq s_{2k+1}\;[/math] dla dowolnego [math]k\;[/math] ).
Przykład
Szereg anharmoniczny:
jest zbieżny. Pokażemy później, że sumą tego szeregu jest [math]\ln 2\;[/math]. Interpretacja elektrostatyczna: suma szeregu anharmonicznego to połowa energii elektrostatycznej (w przeliczeniu na 1 jon) jednowymiarowego kryształu jonowego (por. Feynman, t.2 cz. 1)
CBDO
Twierdzenie (Abela)
(zwane też częściej kryterium Abela)
Jeśli ciąg {[math]a_n[/math]} dąży monotonicznie do zera, zaś szereg sum częściowych ciągu {[math]b_n[/math]}: [math]B_n =a_1 + a_2 + \cdots +b_n\;[/math] jest ograniczony, to szereg
jest zbieżny.
Dowód
Oznaczmy przez [math]\{s_n\}\;[/math] ciąg sum częściowych szeregu [math]b_1 + b_2 + \cdots\;[/math] : [math]s_n = b_1+b_2+\dots+b_n\;[/math]. Na mocy założenia, istnieje takie [math]M\;[/math], że dla każdego [math]n\in \mathbb N \; \;[/math] zachodzi [math]|s_n|\lt M\;[/math].
Aby dowieść, że szereg (8) jest zbieżny, oszacujmy sumę
dla [math]n\gt k\;[/math]. Zauważmy najsampierw, iż
dla każdego [math]m\;[/math] i [math]n\geq m\;[/math], ponieważ
Wyrażenie (9) przepiszmy teraz tak:
[math] \leq 2M ((a_k-a_{k+1})+ (a_{k+1}-a_{k+2}) +\dots+a_n)= 2 M a_k \;[/math] na mocy (10).
Analogicznie mamy [math]a_k b_k + a_{k+1} b_{k+1} +\dots + a_n b_n\geq -2 M a_k\;[/math], a stąd
Weźmy teraz jakieś [math]\epsilon\gt 0\;[/math]. Zakładamy, że ciąg {[math]a_n[/math]} jest zbieżny do zera; znaczy to, że istnieje takie [math]k\;[/math], że [math]a_k\lt \frac{\epsilon}{2M}\;[/math]. Wyżej udowodniliśmy (11), co przepiszemy jako [math]|a_k b_k + a_{k+1} b_{k+1} +\dots + a_n b_n| \lt \epsilon\;[/math]. Zgodnie z warunkiem Cauchy'ego zbieżności ciągu (jeżeli [math]|a_n-a_m|\lt \epsilon\;[/math] dla [math]n,m\;[/math] dostatecznie dużych, to ciąg {[math]a_n[/math]} jest zbieżny), szereg [math]\sum_{n=1}^\infty a_n b_n\;[/math] jest zbieżny.
CBDO
Uwagi
- Z wzoru (11) mamy oszacowanie na sumę szeregu: [math] \left| \sum_{n=1}^\infty a_n b_n \right| \leq 2 M a_1; \;[/math] jest tak, ponieważ na mocy wzoru (11) nierówność [math]|a_1 b_1 + a_{k+1} b_{k+1} +\dots + a_n b_n| \leq 2 M a_1\;[/math] zachodzi dla każdego [math]n\;[/math].
- Uwaga 2. Kryterium Leibniza jest szczególnym przypadkiem kryterium Abela: W tym ostatnim trzeba za ciąg {[math]b_n\;[/math]} wziąć [math]b_n = (-1)^n[/math].